第8章三角形8.1.2三角形的內角和與外角和1．理解三角形內角和定理的內容，能應用三角形內角和定理解決一些簡單的實際問題．2．能運用三角形外角的兩條性質進行相關的幾何計算和證明，并體會幾何圖形中的不等關系．3．會用簡單的說理來計算與三角形相關的角的度數．重點：三角形內角和與外角和定理．難點：與三角形內外角有關的計算．一、情境導入多媒體展示：(三兄弟之爭)在一個直角三角形村莊里，住著三個內角，平時它們非常團結，有一天，老三不高興了，對老大說：“憑什么你的度數最大，我也要和你一樣大！”老大說：“這是不可能的，否則我們這個家就要被拆散，圍不起來了！”“為什么呢？”老二、老三納悶起來……同學們，你們知道其中的道理嗎？二、合作探究探究點一：三角形的內角和【類型一】判斷三角形的形狀一個三角形的三個內角的度數之比為1∶2∶3，這個三角形一定是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．無法判定解析：設這個三角形的三個內角的度數分別是x，2x，3x，根據三角形的內角和為180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴這個三角形的三個內角的度數分別是30°，60°，90°，即這個三角形是直角三角形．故選A.方法總結：在解決有關比例問題時，通常先設比例系數，然后列方程求解．【類型二】求三角形內角的度數已知，如圖，D是△ABC中BC邊延長線上一點，DF⊥AB交AB于F，交AC于E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度數．解析：在直角三角形DFB中，根據三角形內角和定理，求得∠B的度數，再在△ABC中求∠ACB的度數即可．解：在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∴∠B＝90°－∠D＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.方法總結：求三角形的內角，必然和三角形內角和定理有關，解決問題時要根據圖形特點，在不同的三角形中，靈活運用三角形內角和定理求解．【類型三】三角形的內角與角平分線、高的綜合運用如圖，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度數.解析：由三角形的內角和可得∠BAC的度數，再由角平分線可求得∠BAE＝∠EAC＝eq\f(1,2)∠BAC，在直角三角形ACD中，可求得∠DAC的度數，最后由∠DAE＝∠EAC－∠DAC即可求∠DAE的度數．解：∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝35°.在△CAD中，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠DAC＝180°－90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝35°－20°＝15°.方法總結：本題是常見的幾何計算題，解題的關鍵是利用三角形的內角和定理和角平分線的性質，找出角與角之間的關系并結合圖形解答．探究點二：三角形的外角和及其性質【類型一】利用三角形外角的性質比較角的大小如圖，∠A，∠1，∠2的大小關系為()A．∠A＞∠1＞∠2B．∠A＞∠2＞∠1C．∠2＞∠1＞∠AD．∠2＞∠A＞∠1解析：根據外角的性質即可知．∵∠1＞∠A，∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A.故選C.方法總結：根據三角形外角的性質(三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角)來比較角的大?。绢愋投咳切瓮饨呛投ɡ砣鐖D，∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，若∠1∶∠2∶∠3＝4∶3∶2，則∠ABC的度數為()A．60°B．80°C．90°D．100°解析：設∠1，∠2，∠3的度數分別為4x，3x，2x，則4x＋3x＋2x＝360°，解得x＝40°.∴∠2＝3x＝120°.∴∠ABC＝180°－120°＝60°.故選A.方法總結：三角形中與外角和有關的計算，掌握三角形的外角和等于360°是解題的關鍵．【類型三】利用三角形外角的性質求角度如圖所示，P為△ABC內一點，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數．解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構造三角形的外角，再利用外角的性質即可求出∠A的度數．(也可利用內角和為180°來計算轉換)解：如圖，延長BP交AC于點E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A.∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法總結：利用三角形的外角的性質將已知與未知的角聯系起來是計算角的度數的方法．三、板書設計三角形的內角和與外角和1．三角形的內角和定理：三角形的內角和等于180°.2．三角形內角和定理的證明．3．三角形外角的性質：(1)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角的和；(2)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角．4．三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°.本節課通過一段對話設置疑問，巧設懸念，激起學生獲取知識的求知欲，充分調動學生學習的積極性，使學生由被動接受知識轉為主動學習，從而提高學習效率．然后讓學生自主探究，