人教版九年級上冊數學壓軸題試卷及答案

一、壓軸題

1.在銳角△/切。中，力8引C,AD為BC邊上.的高,E為九'中點.

(1)如圖1,過點。作C￡L/由于尸點，連接阮若/瀏我20°,求的度數；

(2)若V為線段劃上的動點(點"與點〃不重合)，過點。作于N點,射線

EN,AB交于P點、.

①依題意將圖2補全；

②小宇通過觀察、實驗，提出猜想：在點.M運動的過程中，始終有/力陷2/物〃.

小宇把這個猜想與同學們進行討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：連接外;要證N.仍用2NJ例〃，只需證/加上2乙必〃.

想法2：設乙必方。，4MUB,只需用a,B表示出/儂；通過角度計算得

4APE=2a.

想法3：在腦?上取點Q,使NA%02/物〃，要證/力峪2/物〃只需證

[\NAQsXAPQ....

請你參考上面的想法，幫助小宇證明N4%=2Z.W.(一種方法即可)

圖1圖2

2.已知函數X=工+2機-1,%=(2〃?+1?+1均為一次函數，m為常數.

(1)如圖1,將直線A。繞點4(—1,0)逆時針旋轉45°得到直線/,直線/交y軸于點

B.若直線/恰好是凹=1+2加-1,〉，2=(2〃?+1?+1中某個函數的圖象，請直接寫出點B

坐標以及m可能的值；

（2）若存在實數b,使得|〃2|-（。-1）/~=0成立，求函數

X=x+2機-1,必=（2〃1+I）x+1圖象間的距離；

（3）當6>1時，函數y=工+2〃?-1圖象分別交x釉，y軸于C,E兩點，

y=（2w+l）x+l圖象交X軸于D點，將函數y=的圖象最低點F向上平移56

2m+1

個單位后剛好落在一次函數M=x+2/〃—1圖象上，設），=y?），2的圖象，線段OD,線段

OE闈成的圖形面積為S,試利用初中知識，探究S的一個近似取信范I韋I.（要求：說出

一種得到S的更精確的近似值的探究辦法，寫出探究過程，得出探究結果，結果的取值范

圍兩端的數值差不超過0.01.）

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁二一耳一+從+耳與x軸正半軸交于點八，且點

A的坐標為（3,0）,過點A作垂直于x軸的直線/.Q是該拋物線上的任意一點，其橫坐

3

標為〃？，過點〃作PQ，/于點Q；歷是直線/上的一點，其縱坐標為-機+一，以

2

PQ,QM為邊作矩形PQMN.

（1）求。的值.

（2）當點。與點M重合時，求〃？的值.

（3）當矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內部時，求〃7的值.

（4）當拋物線在矩形PQ/WN內的部分所對應的函數值y隨工的增大而減小時，直接寫出

〃?的取值范圍.

4.已知點P（2,?3）在拋物線L：y=ax?-2ax+a+k（a,k均為常數，且aM）上，L交y軸

于點C,連接CP.

（1）用a表示k,并求L的對稱軸及L與y軸的交點坐標；

（2）當L經過（3,3）時，求此時L的表達式及其頂點坐標；

（3）橫，縱坐標都是整數的點叫做整點.如圖，當aUO時，若L在點C,P之間的部分與

線段CP所圍成的區域.內（不含邊界）恰有4個整點，求a的取值范圍；

（4）點M（xi,yi）,N（X2,yz）是L上的兩點，若tWxEt+1,當xz23時,均有yRyz,直接寫

出t的取值范圍.

5.如圖，直線/：y=-3x+3與x軸，y軸分別相交于4B兩點,拋物線y=-x2+2x+b經

過點B.

（1）該拋物線的函數解析式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM,設點M

的橫坐標為m,△48M的面積為5,求5與m的函數表達式，并求出5的最大值：

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點/VT.

①寫出點M'的坐標；

②將直線/繞點A按順時針方向旋轉得到直線九當直線/'與直線A”重合時停止旋轉，在

旋轉過程中，直線/'與線段8”交于點C,設點8,“到直線7的距離分別為山，山，當

山+山最大時，求直線/'旋轉的角度（即N8AC的度數）.

6.如圖1,拋物線y=or2+bx-4與工軸交于4-3,0）、8（4,0）兩點，與y軸交于點

C,作直線8c.點。是線段8C上的一個動點（不與8,。重合），過點。作

釉十點E.設點O的橫坐標為機（0〈機v4）.

(1)求拋物線的表達式及點。的坐標；

(2)線段。石的長用含加的式子表示為一；

(3)以DE為邊作矩形。瓦C,使點”在x軸負半軸上、點G在第三象限的拋物線上.

①如圖2,當矩形力石尸C成為正方形時，求機的值；

②如圖3,當點。恰好是線段打的中點時，連接尸。，FC.試探究坐標平面內是否存在

一點尸，使以P,C,F為頂點的三角形與AFCD全等？若存在，直接寫出點尸的必

標；若不存在，說明理由.

7.已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0),頂點D在y軸上，與x軸的一個交點的橫坐標為".

⑴求a、c滿足的關系式；

⑵若直線丫=1?<-2a與拋物線交于A、B兩點(點A在點B左側)，以AB為直徑的圓恒過點

D.

①求拋物線的解析式；

②設直線y=kx-2a與y軸交于點M、直線/I：y=px+q過點B,且與拋物線只有一個公共

點，過點D作x軸的平行線￡/1與〃交于點N.分別記JVDM的面積為S1，

S,

S2，求不-.

8.如圖，。。經過菱形ABCD的三個頂點A、C、D,且與AB相切于點A.

(1)求證：BC為。。的切線；

(2)求NB的度數.

(3)若。0半徑是4,點E是弧AC上的一個動點，過點E作EM_LOA于點M,作EN_LOC

于點N,連接MN,問：在點E從點A運動到點C的過程中，MN的大小是否發生變化？如

果不變化，請求出MN的值；如果變化，請說明理由.

9.將拋物線C：)，=(工-2)2向下平移6個單位長度得到拋物線G，再將拋物線G向左平

移2個單位長度得到拋物線C2.

（I）（2）

（1）直接寫出拋物線Ci，G的解析式；

（2）如圖（1）,點4在拋物線a對稱軸/右側上，點8在對稱軸/上，［Q48是以08

為斜邊的等腰直角三角形，求點4的坐標；

（3）如圖（2）,直線），=履（4wO,攵為常數）與拋物線G交于E，尸兩點，M為

4

線段￡戶的中點：直線），=一下、與拋物線Q交于G,"兩點，N為線段GH的中

K

點.求證：直線MN經過一個定點.

10.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線’1與”軸交于點4匕與'軸交于點Q%的解析式

12

為,一寸，若將拋物線”平移，使平移后的拋物線’2經過點4對稱軸為直線

%=-6,拋物線,2與％軸的另一個交點是E,頂點是0,連結

6

（1）求拋物線”的解析式；

⑵求證：

（3）半徑為1的OP的圓心「沿著直線”=-6從點°運動到R-6,0）,運動速度為1單位/

秒，運動時間為t秒，G）P燒著點,順時針旋轉90°得。匕，隨著。尸的運動，求匕的運動路

徑長以及當。「I與'軸相切的時候t的值.

11.已知四邊形A8CO是矩形.

（1）如圖1,￡、尸分別是A3、8上的點，CE垂直平分8尸，垂足為G,連接

DG.

①求證：DG=CG；

②若8c=2A8,求/DGC的大小;

APD

圖1圖2

(2)如圖2,AB=BC=6,M、N、。分別是AN、CD、AO上的點，MV垂直平分

成，點Q是。。的中點，連接MRPQ,若PQ_LMP,直接寫出CN的長.

12.小聰與小明在一張矩形臺球桌ABCD邊打臺球，該球桌長AB=4m,寬AD=2m,點0、

E分別為AB、CD的中點，以AB、0E所在的直線建立平面直角坐標系。

(1)如圖1,M為BC上一點；

①小明要將一球從點M擊出射向邊AB,經反彈落入D袋，請你畫出AB上的反彈點F的位

置；

②若將一球從點M(2,12)擊出射向邊AB上點F(0.5,0),問該球反彈后能否撞到位于(一

0.5,0.8)位置的另一球?請說明理由

(2)如圖2,在球桌上放置兩個擋板(厚度不計)擋板MQ的端點M在AD中點上且

MQ1AD,MQ=2m,擋板EH的端點H在邊BC上滑動，旦擋板EH經過DC的中點E；

①小聰把球從B點擊出，后經擋板EH反彈后落入D袋，當H是BC中點時，試證明：

DN=BN；

②如圖3,小明把球從B點擊出，依次經擋板EH和擋板MQ反彈一次后落入D袋，已知

ZEHC=75°,請你直接寫出球的運動路徑BN+NP+PD的長。

13.如圖，RtAxABC中，ZC=90°,AB=15,BC=9,點P,Q分別在BC,AC上，CP=

3x,CQ=4x(0<x<3).把aPCQ繞點P旋轉，得到APDE,點D落在線段PQ上.

(1)求證：PQ/7AB；

(2)若點D在NBAC的平分線上，求CP的長；

(3)若4PDE與AABC重疊部分圖形的周長為T,且12WTW16,求x的取值范圍.

14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，過。7?外一點P引它的兩條切線，切點分別為M,

N,若60°KNMPN<180°，則稱P為。7■的環繞點.

①在6（1,0）,8（1,1）,4（0,2）中，。。的環繞點是;

②直線片2x+b與x軸交于點4y軸交于點8,若線段人8上存在。。的環繞點，求b的取

值范圍；

,且用為半徑的所

（2）。7的半徑為1,圓心為（0,t）,以rn,—m（加>0）為圓心

33

有圓構成圖形H,若在圖形H上存在。T的環繞點，直接寫出t的取值范圍.

15.如圖，在直角A43C中，ZC=90%AB=5,作乙ABC的平分線交AC于點D,

在A3上取點。，以點。為圓心經過4、。兩點畫圓分別與A3、BC相交于點E、F

（異于點8）.

（2）若點石恰好是A。的中點,求BF的長;

（3）若的長為3.

4

①求。。的半徑長：

②點F關于3。軸對稱后得到點F，求ABFF'與ADEF的面積之比.

16.如圖，在平面直角坐標系中，以原點。為中心的正方形ABCD的邊長為4m,我們把

A8〃），軸時正方形ABCD的位置作為起始位置，若將它繞點0順時針旋轉任意角度。時，

k

它能夠與反比例函數），=一僅>0）的圖象相交于點E,F,G,H,則曲線段EF,HG與線段

x

EH,GF圍成的封閉圖形命名為"曲邊四邊形EFGH〃.

（1）①如圖1,當軸時，用含m,k的代數式表示點E的坐標為；此時

存在曲邊四邊形EFGH,則k的取值范圍是；

②已知女=3〃/，把圖1中的正方形ABCD繞點0順時針旋轉459時，是否存在曲邊四邊

形EFGH?請在備用圖中畫出圖形，并說明理由.當把黑1中的正方形ABCD繞點0順時針

旋轉任意角度。時，直接寫出使曲邊四邊EFGH存在的k的取值范圍.

③若將圖1中的正方形繞點0順時針旋轉角度。（0。<〃<180。）得到曲邊四邊形EFGH,

根據正方形和雙曲線的對稱性試探究四邊形EFGH是什么形狀的四邊形？曲邊四邊形EFGH

是怎樣的對稱圖形？直接寫出結果，不必證明；

（2）正方形ABCD繞點。順時針旋轉到如圖2位置，已知點A在反比例函數

k

y=—（A>0）的圖象上，AB與y軸交于點M,A8=8,AM=1,試問此時曲邊四邊

x

EFGH存在嗎?請說明理由.

17.如圖，在直角坐標系中，點。在第一象限，C3_L工軸于3，C4_Ly軸于A，

CB=3,C4=6,有一反比例函數圖象剛好過點C.

(1)分別求出過點。的反比例函數和過A，8兩點的一次函數的函數表達式；

(2)直線/_Lx軸，并從y軸出發，以每秒1個單位長度的速度向x軸正方向運動，交反

比例函數圖象于點。，交AC于點E,交直線于點尸，當直線/運動到經過點8時，

停止運動.設運動時間為/(秒).

①問：是否存在/的值，使四邊形為平行四邊形？若存在，求出f的值；若不存在，

說明理由；

②若直線/從V軸出發的同時，有一動點。從點4出發，沿射線8C方向，以每秒3個單

位K度的速度運動.是否存在/的值，使以點。，E，2，C為頂點的四邊形為平行四邊

形；若存在，求出，的值，并進一步探究此時的四邊形是否為特殊的平行四邊形；若不存

在，說明理由.

18.我們規定：有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為60。的凸四邊形叫做''準箏形”.

備呻

(1)如圖1,在四邊形ABCD中，ZA+ZC=270°,ZD=30°,AB=BC,求證：

四邊形ABC力是“準箏形”；

(2)如圖2,在“準箏形”48co中，AB=AD,ZBAC=ZBCD=,8c=4,

CQ=3,求AC的長；

(3)如圖3,在二ABC中，ZA=45°,ZABC=120°,AB=3-6設。是

..A3C所在平面內一點，當四邊形A3CQ是“準箏形”時，請直接寫出四邊形A3CD的

面積.

19.如圖①，在矩形48C。中，AB=3cm,點E從點A出發，沿射線AC

以。(cm/s)的速度勻速移動.連接力石，過點E作所，力/與射線BC相交于點

E,作矩形。ENG,連接CG.設點E移動的時間為"s),ACOE的面積為S(cm2),S與

/的函數關系如圖②所示.

⑵求矩形OE/P面積的最小值;

⑶當ACDG為等腰三角形時，求f的值.

20.如圖，已知點A(3,0),以A為圓心作OA與Y軸切于原點，與x軸的另一個交點

為B,過B作0A的切線I.

(1)以直線I為對稱軸的拋物線過點A及點C(0,9),求此拋物線的解析式；

(2)拋物線與x軸的另一個交點為D,過D作OA的切線DE,E為切點，求此切線長;

(3)點F是切線DE上的一個動點，當△BFD與△EAD相似時，求出BF的長.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、壓軸題

1.(1)證明見解析；(2)①補圖見解析;②證明見解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

(1)證明：*：AB=AC,力。為比1邊上的高，N力介20°,

:?NBAC=2NBAD=4G°.

?:CF工AB,

???N/Q90°.

YE為力。中點，

：.EF=EA=-AC.

2

(2)①當點P在邊AB上是，補全圖形如圖

當點P在AB的延長線上是，補全圖形如圖

②I、當點尸在邊月8上時,

證明：想法1:如圖3,

連接DE.

■:A年AC,月〃為比邊上的窗，

???〃為應?中點.

?"為/C中點,

:.ED〃AB,

:./PEA/APE.

???4%=90。,。為/1C中點,

??.AE=DE=CE=-AC

2

同理可證AE=NE=CE=^AC

2

：.A^NE=CE=DE,

:,A,N,D,C在以點￡為圓心，力。為直徑的圓上,

，N4方2/揚〃

:./AP拄2乙MAD

想法2:設乙必介。，N以0尸，

?:CMLAM,

:.N4M>90。.

Of為4C中點,

1

:.A扭N也一AC.

2

,ZA*N也右乙例分/!)AC=a+萬.

:.ZNEC=ZANE+ZNAC=2a+2B.

■:小AC,ADA.BC,

：,ZBAC=2ZDAC=20.

:.4AP和/PEe/BA82%

???N/1畛2N,必〃

n、當點尸在4?的延長線上時

證明：想法1:

連接M.

；48=祀，，4。為比邊上的高,

???〃為比中點.

???￡為力C中點，

:.ED〃AB,

；"1二NAPE.

TN力屐90°,E為力。中點，

???AE=DE=CE=-AC.

2

同理可證A￡=NE=CE=LAC.

2

:?A片般C&DE.

:.A,N,D,C在以點￡為圓心,4C為直徑的圓上.

???N1=2/彬

???Z/1/^2Z.W.

想法2:設乙物分。，/DAC=B,

ar±

母90。.

￡為力C中點,

1

\AE=NE=-AC.

2

??/AN步/NAC=NMA//DAO。+尸.

??/NEU/ANE+2NAO2a+2B.

JAB^AC,AD1BC,

,?4BAC=24I)AC=2B.

\4AP24PEe/BAC=2c.

??N月峪2N.明〃

想法3：在跖上取點。，使N胡仍2N.M〃,

"1=/2

vAB=AC.AD±BC

:.ZBAD=ZCAD

ZBAD-Zl=ZC4D-Z2

即/3=Z4.

.?.Z3+4NAQ=N4+ZNAQ

即/PAQ=/EAN

vCNLAM

.\ZANC=90

YE為AC的中點，

z.AE=NE=-AC

2

/.ZANE=NE4N,ZPAQ=ZANE

-ZAQP=ZAQP

：.當PAQ?ANQ

ZAPE=4NAQ=2NMAD

、348103

2.(1)(0,1)；1或0⑵y/2(3)---------<S<—

1200010

【解析】

【分析】

（1）由題意，可得點B坐標，進而求得直線/的解析式，再分情況討論即可解的m值；

（2）由非負性解得m和b的值，進而得到兩個函數解析式，設》與x軸、y軸交于T,

P，為分別與x軸、y軸交于G,H,連接GP,TH,證得四邊形GPTH是正方形，求出GP

即為距離；

（3）先根據解析式，用m表示出點C、E、D的坐標以及y關于x的表達式為

y=X=（2機+1）丁+4"221+2機一1,得知y是關于x的二次函數且開口向上、最低

27n2（2加2T2

點為其頂點尸--~~~~7-，根據坐標平移規則，得到關于m的方程，解出m

2tn+12ni+]

\z

值，即可得知點D、E的坐標且拋物線過D、E點，觀察圖象，即可得出S的大體范圍，

如：S<SODE，較小的可為平行于DE且與拋物線相切時圍成的圖形面積.

【詳解】

解：（1）由題意可得點b坐標為（0,1）,

設直線/的表達式為y=kx-l,將點A（-1,0）代入得：k=l,

所以直線/的表達式為：y=x+l,

若直線/恰好是y=x+2〃?-l的圖象，則2m-1=1,解得：m=l,

若直線/恰好是必=（2〃?+l）x+l的圖象，則2m+l=l,解得：m=0,

綜上，〃2=1或者m=0

（2）如圖，v|/n|"（/?-l）Vr^=O

.,.|m|+（l-Z?）>/l-Z?=0

v|/H|>0,1-/?>0

/.|w|=0,1一力=0

/.772=0

y,=x-1,y2=x+\

設H與x軸、y軸交于T,P,為分別與x軸、y軸交于G,H,連接GP,TH

?：OG=OH=OP=OT=\,PH1GT

..?四功形GPTH是正方形

:.GH//PT,/HGP=90。，即”G_LGP

\-HP=2

GP=&：

（3）=X+2/n-1,v2=（2/774-1）x4-1

?.,y=x+2"?-l分別交X軸，y軸于C,E兩點

/.C（l-2w,0）,E（0,2--1）

???％=（2m+l）x+l圖象交x軸于D點

（1、

:.D----------,0

I2m+1）

22

y=yx-y2=（X+2//2-1）[（2/M4-1）^+1]=（2/Z2+1）A+4mjr+2m-l

tn>1

/.2m+1>0

???二次函數）=（2〃7+1）工2+4機、+2機一1開口向上，它的圖象最低點在頂點

???頂點F

2m+1

/

拋物線頂點F向上平移;^一，剛好在一次函數X=X+2加-1圖象上

2m+1

..._色:3-+*-=_區二+（2〃L1）且〃?>1

2m+12/?7+12m+1

：.m=2

2

y=y-y2=5x+16x+3=（x+3）（5x+1）,

）\=x+3ty2=5x+1

（iA

.,.由X=x+3,），2=5/+l得到Q--,0,E（0,3）,

由y=5/+16x+3得到與x軸，y軸交點是（一3,0）,卜川，（0,3）,

（i、

拋物線經過。--,0,E（0,3）兩點

I。/

?.?〉'=）j%的圖象，線段OD,線段OE圍成的圖形是封閉圖形，則S即為該封閉圖形的

面積

探究辦法：利用規則圖形面積來估算不規則圖形的面積.

探究過程：

①觀察大于S的情況.

很容易發現S<S“E

（1A

:D—,0,E（0,3）

<5；

SOD￡=-x3xi=—,

ODt2510

（若有s小于其他值情況，只要合理，參照賦分.）

②觀察小于S的情況.

選取小于5的幾個特殊值來估計更精確的5的近似值，“又值會因人而不同，下面推薦一種

方法，選取以下三種特殊位置：

位置一：如圖

當直線MN與DE平行且與拋物線有唯一交點時，設直線MN與x,y軸分別交于M,N

o\￡（0,3）

I5J

直線OE:y=15x+3

設直線MN:y=15x+A

y=5^2+16x+3

5x~+x+3—仇=0

.*.A=1-4X（3-Z?）=0,“喘

59

二.直線MN:y=15x+—

20

RM

???點M

l300）

159593481

.s=—x——x-----=----------

??JOMN22030012000

當直線DR與拋物線有唯一交點時，直線DR與y軸交于點R

設直線OR：)二丘+8,。(一g,0

直線DR:y=kx+±k

y=5x2+16x+3

5寸+(16-%)尤+3-3=()

.?.△=(16—)2-4x5x3-(攵)=0,4=14

14

直線。/?:)，=14工+行

(14、

???點R0,—

\3/

c11417o7

S=-x—x—=—,S>—

fO),nRK2552525

位置三：如圖

x

當直線EQ與拋物線有唯一交點時，直線EQ與x軸交于點Q

設直線EQ：y=u+3

,/y=5x2+16.v+3

.-.5X2+(16-Z)X=0

.?.A=(16-Z)2=0,r=16

???直線EQ：y=16x+3

???點《磊。)

,c_13,9.c9

OEQ2163232

348197

...----->-->--

120003225

我們發現：在曲線DE兩端位置時的三角形的面積遠離S的值，由此估計在曲線DE靠近中

間部分時取值越接近S的值

探究的結論：按上述方法可得一個取值范圍工生L<s<a

1200010

（備注：不同的探究方法會有不同的結論，因而會有不同的答案.只要來龍去脈清晰、合

理，即可參照賦分，但若直接寫出一個范圍或者范圍兩端數值的差不在0.01之間不得

分.）

【點睛】

本題是一道綜合性很強的代數與幾何相結合的壓軸題，知識面廣，涉及有旋轉的性質、坐

標平移規則、非負數的性質、一次函數的圖象與性質、二次函數的圖象與性質、一元二次

方程、不規則圖形面積的估計等知識，解答的關鍵是認真審題，找出相關信息，利用待定

系數法、數形結合法等解題方法確定解題思路，利用相關信息進行推理、探究、發現和計

算.

3.（1）Z?=l；（2）=4；（3）m=->/7+1：（4）0<m<3或加>4.

【解析】

【分析】

（1）將A點坐標代入函數解析式即可求得b的值；

（2）分別表示出P、Q、M的坐標，根據Q、M的橫坐標相同，它們重合時縱坐標也相

同，列出方程求解即可；

（3）分別表示出PQ和MQ的長度，根據矩形PQMN是正方形時PQ=,即可求得

m的值，再根據頂點在正方形內部，排除不符合條件的m的值；

（4）分〃，￡1,1<m<3,m=3,加>3四種情況討論，結合圖形分析即可.

【詳解】

13

解：（1）將點A（3,0）代入y=—萬工2+法+萬

?3

得0=一一X32+3ZJ+-,

22

解得b=l,；

（2）由（1）可得函數的解析式為），二一gf+x+|,

（I3、

??DP\zn,—2m+H—

I22）

?.?PQtl于點Q,

.熊1，31

?+m+—,

???M是直線/上的一點，其縱坐標為-〃7+』，

2

3

M（3,—tnH—）,

2

若點Q與點M重合，則

133

—nr+m+—=-m+—，

222

解得g=0,加2=4；

(3)由(2)可得"Q=|3?郵，

31,31,

MQ=\(-m+—)-(-/"廣+〃2+/)|=|/”廠-2m\,

當矩形PQMN是正方形時，PQ=MQ

BP|—m2-2m)=\3-m\,

2

即一團2_2/n=3-m或一W-2fn=tn-3,

22

解L/.

2m=3-得肛=+1,/=-+1,

2

解一〃/-2m=m-3得〃4=3+百,〃4=3-V5?

2

13]

又y=——x2+x+—=——(x-l)+2,

222

J拋物線的頂點為(1，2),

???拋物線的頂點在該正方形內部，

???P點在拋物線對稱軸左惻，即機<1,且M點的縱坐標大于拋物線頂點的縱坐標，即

-in+—>2,

2

解得m<-y,故m的值為-I1；

當打￡1時，若拋物線在矩形PQMN內的部分所對應的函數值隨x的增大而減小,

則M點的縱坐標應該小于P點縱坐標，旦P點應該在x軸上側，

3]313

即?m+—<-—nr+m+二旦——zn2+/n+—>0,

22222

3\3

解-m+-<--m2+"什5得0<〃?<4,

1,3

解—〃廠+根+—>0得一1vv3,

22

0<m<1,

②如下圖

當1<v3時，若拋物線在矩形PQMN內的部分所對應的函數值）'隨X的增大而減小,

則M點的縱坐標應該小于P點縱坐標，

313

即-〃?+—<——m2+/?+解得0<相<4,

222

1</?z<3；

③當"7=3時，P點和M點都在直線x=3上不構成矩形，不符合題意；

④如下圖

當初〉3時，若拋物線在矩形PQMN內的部分所對應的函數值y隨X的增大而減小,

則M點的縱坐標應該大于P點縱坐標，

3]3

即-〃?+—>——m2+m+―,解得〃7<0或〃？>4,

222

故機>4,

綜上所述0v〃7<3或〃z>4.

【點睛】

本題考查二次函數綜合，正方形的性質定理，求二次函數解析式.能分別表示出M、P、Q

的坐標并結合圖形分析是解決此題的關鍵，注意分類討論.

4.(1)k=-3-a；對稱軸x=l；y軸交點(0,?3)；(2)y=2x2-4x-3,頂點坐標(1,-5)；

(3)-5^a<-4；(4)-10W2.

【解析】

【分析】

(1)將點P(2,-3)代入拋物線.匕求得k用a表示的關系式：拋物線L的對稱軸為直線

x=--=1,并求得拋物線與y軸交點；

2a

(2)將點(3,3)代入拋物線的解析式，且k=-3-a,解得a=2,k=-5,即可求得拋物線解析式

與頂點坐標；

(3)拋物線L頂點坐標(1,-a-3),點C,P之間的部分與線段CP所圍成的區域內(不含邊

界)恰有4個整點，這四個整點都在x=l這條直線上，且y的取值分別為-2、-1、0、1,

可得l<-a-3W2,即可求得a的取值范圍；

(4)分類討論取a>0與aVO的情況進行討論，找出X1的取值范圍，即可求出t的取值

范圍.

【詳解】

解：(1)..?將點P(2,-3)代入拋物線L：y=ax2-2ax+a+k,

-3=4a-4a+a+k=a+k

:.k=-3-a；

-2a

拋物線L的對稱軸為直線X=------二1,即x=l：

2a

將x-o代入拋物線可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3,故與y軸交點坐標為(0,-3)；

(2)??，經過點(3,3),將該點代入解析式中，

9a-6a+a+k=3?且由(1)可得k=-3-a,

4a+k=3a-3=3?解得a=2,k=-5,

???L的表達式為y=2x2-4x?3；

將其表示為頂點式：y=2(x-l)2-5,

???頂點坐標為(1,-5)；

(3)解析式L的頂點坐標(1,-a-3).

???在點C,P之間的部分與線段CP所圍成的區域內(不含邊界)恰有4個整點，這四個整

點都在x=l這條直線上，且y的取值分別為-2、-1、0、1,

/.l<-a-3<2,

-5^a<-4；

(4)①當aVO時，Vx2>3,為保證》之丫2，且拋物線L的對稱軸為x=l,

???就要保證X1的取值范圍要在卜1,3］上，

即t2-l且t+lW3,解得-lWtW2；

②當a>0時，拋物線開口向上，t23或t+lW-1,解得：t23或tW-2,但會有不符合題意

的點存在，故舍去，

綜上所述：/WtW2.

【點睛】

本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數的圖象及性質，數形結合解題是關

鍵.

I(c\27525(57、

5.(1)y=—x2+2x4-3；(2)S=—m—H-----,—;(3)①M'—；

2(2J88(24)

②45。

【解析】

【分析】

(1)利用直線/的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數解析式即可求出b的

值.

(2)設M的坐標為(m,-"+2必+3),然后根據面積關系將△48M的面積進行轉化.

(3)①由(2)可知m=2,代入二次函數解析式即可求出縱坐標的值.

2

②可將求di+(h最大值轉化為求AC的最小值.

【詳解】

(1)令x=0代入y=-3x+3,

Ay=3,

AB(0,3),

把B(0,3)代入y=-x'2x+b并解得：b=3,

2

???二次函數解析式為：y=-x+2x+3.

(2)令y=0代入y=-X2+2X+3,

/.x=-1或3,

，拋物線與x軸的交點橫坐標為-1和3,

在拋物線上，且在第一象限內，

/.0<m<3,

令y=O代入y=-3x+3,

/.x=l,

???A的坐標為(1,0),

由題意知：M的坐標為(m,-m2+2m+3),

?*?S=S四邊形OAMB-SAAOB=SAOBM+SAOAM-SAAOB

=-xmx3+—xlx(-m2+2m+3)--xlx3

222

1/5,25

=-——(m--)2+—,

228

595

???當m=7時，S取得最大值一.

28

57

(3)①由(2)可知：IVT的坐標為(一，一).

24

②設直線『為直線I旋轉任意角度的一條線段，過點作直線h〃匕過點B作BF_Ui「點

根據題意知：di+d2=BF,

此時只要求出BF的最大值即可，

???/BFM'=90°,

???點F在以BIW為直徑的圓上，

設直線AIVT與該圓相交于點H,

???點C在線段BM，上，

，F在優弧BM'H上，

???當F與重合時，

BF可取得最大值，

此時BMz±li,

57

VA(1,0),B(0,3),Mz(-,一)，

24

，由勾股定理可求得：AB=V10,M，A=—邑，

44

過點M作M，GJ_AB于點G,

設BG-x>

???由勾股定理可得:MB-BG2=MZA2-AG2,

.85I—125

--x)=2

?-7167~1r6r-x

.5瓦

8

BGV2

cosZMzBG=--------=------,ZMZBG=45°

BM，2

X，/ZM,BG=ZCBA=45°

AZBAC-450.

【點睛】

本題主要考查了一次函數與二次函數的綜合以及一次函數旋轉求角度問題，正確掌握一次

函數與二次函數性質及綜合問題的解法是解題的關鍵.

6.(1)y=-x2--x-4,C(0,-4)；(2)4一機；(3)①〃2的值為之；②存在；點

334

142242

夕的坐標為(-4,-2)或(一7，一彳)或［，??

【解析】

【分析】

(1)將4(一3,0)、44,0)代入)，=〃小+加一4,得到關于a、b的二元一次方程組，解

方程組即可求出a、b的值，進而可得到拋物線的表達式和點C的坐標；

(2)設直線BC的解析式為)，=履+〃即可求出解析式的表達式，々x=m,即可得到線段

DE的長用含m的式子表示為〃2-4；

(3)①由點。的橫坐標為機，且0〈根＜4,可得(花=根，再根據四邊形OEFG是正

方形求出點G的坐標，代入函數解析式即可求出m的值：

②利用①中的方法求出點D的坐標、。/、CO的值，再分不同情況討論，利用兩點間距

離公式和全等三角形對應邊相等列方程組求解即可.

【詳解】

(1)將A(-3,0)、8(4,0)代入)，=or?+bx-4中，

[967-3/7-4=0

得4,

16。+4〃-4=0

1

a--

3

解，得，

b=--

3

工拋物線的表達式為y=_lx_4.

將尤=0代入，得y=-4,

???點C(0,-4).

(2)設直線BC的解析式為y="+〃，

將點3(4,0)、C(0,-4)代入可得，

44+〃=0

'b=-4'

k=1

解得〈/

匕=一4

???直線BC的表達式為

當x=m時，y=m-4,

即線段DE的長用含m的式子表示為4-m.

故答案為：4一〃?；

(3)①???點。的橫坐標為機，且0＜帆＜4,

OE=m,

???四邊形。EFG是正方形，

：.DE=EF=FG=4—m,

OF=EF-OE=4-in-m=4-2ni,

???點G在第三象限,

，點G的坐標為(2機一4,機一4),

???點G在拋物線y=上，

，g(2加一4尸--(2/77-4)-4=in-4,

解町二4(不符合題意，舍去)，加2二:，

???當矩形OEFG成為正方形時，/"的值為2.

4

②存在；理由如下：

由①可知FG=DE=4-m,

???點0是線段EF的中點，

工點G的坐標為（-m,m-4）,

???點G在拋物線y=一:工一4上,

'33

—(2m—4)~——(2〃z—4)—4="2—4,

解犯二0（不符合題意，舍去），叱=2,

，點D的坐標為（2,?2）,

?"=122+42=2后,CD=7（2-0）2+（-2+4）2=272，

如圖，設點的坐標為（X,y）,分以下三種情況：

???PF=J(x+2)2+y2=2逐，PC=Jf+(y+4)2=20，

4

X2=~

X=-4:（不合題意，舍去），

解得

J=-2'

%=一

5

???點P的坐標為（Y,-2）；

II、當位于點P'時，方法同I可得點。的坐標為高）；

42

HL當位于點。'時，方法同I可得點尸的坐標為［,.）；

142242

綜上，點P的坐標為（T-2）或（—彳,—彳）或「,?.

JJJJ

【點睛】

此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法確定解析式，兩點間的距離公式，全等三

角形的性質，解本題的關誕是確定函數關系式.

1、

7.(1)c=-6a；(2)①y=-x~-3；②2.

2

【解析】

【分析】

(1)先根據二次函數的對稱性求出拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標，然后根據二次函

數與一元二次方程的聯系、一元二次方程的根與系數的關系即可得；

(2)①先根據(1)可得地物線的解析式和頂點D的坐標，再設

A(x，g-2幻,8(%,履2-2幻，從而可得直線AD、BD解析式中的一次項系數，然后根

據一元二次方程的根與系數的關系可得玉+心=&,X(X2=-4,最后根據圓周角定理可

~a

+4。/ex+4a

得從而可得一一一~=T,化簡可求出a的值，由此即可得出答

X工2

案；

②先求出點B、D的坐標，再根據直線乙與拋物線只有一個交點可得出

一3-9=g〃2，w=〃，然后聯立直線4與4求出點N的坐標，最后利用三角形的面積公

式分別求出S1,S2，由此即可得.

【詳解】

(1)拋物線》=公2+法+。(。>0),頂點D在y軸上，

?.?拋物線的對稱軸為y軸，即r=0,

/.Z?=0?

拋物線與X軸的一個交點的橫坐標為、后，

?.?拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標為-石，

/.仇和-#是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根，

—=>/6x(—■\/6),

a

即c=-6a；

(2)①由(1)可得：拋物線的解析式為y=aP-6a,

頂點D的坐標為。(0,—6a),

由題意，設點A、B的坐標分別為4(內,煙-2。),8(勺,線-2。)，且工2>%，

處-2a+6a_kxi+4。

由點A、D的坐標得：直線AD解析式中的一次項系數為

X)—0內

kx2-2a+6a_kx2+4