專題28二次函數與新定義創新問題該專題是以二次函數為背景下的創新題型，這種題型往往閱讀量較大，同學們在做題時，要仔細審題理解新定義，進而找到解題方法。1．定義：若拋物線與x軸有兩個交點，且這兩個交點與它的頂點所構成的三角形是直角三角形，則把這種拋物線稱作“和美拋物線”．如圖，一組拋物線的頂點B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n為正整數）依次是直線上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是A1（a1，0），A2（a2，0），A3（a3，0），…An+1（an+1，0）（0＜a1＜1，n為正整數）．若這組拋物線中存在和美拋物線，則a1＝___．2．在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．則拋物線與直線所圍成的陰影部分（不包括邊界）的整點個數有__________個；3．（2022·江蘇蘇州·統考二模）定義：若一個函數的圖像上存在橫、縱坐標之和為零的點，則稱該點為這個函數圖像的“好點”．例如，點是函數的圖像的“好點”．(1)在函數①，②，③的圖像上，存在“好點”的函數是________；（填序號）(2)設函數與的圖像的“好點”分別為點A、B，過點A作軸，垂足為C．當為等腰三角形時，求k的值；(3)若將函數的圖像在直線下方的部分沿直線翻折，翻折后的部分與圖像的其余部分組成了一個新的圖像．當該圖像上恰有3個“好點”時，求m的值．

4．（2022·湖南株洲·株洲市景弘中學?？家荒＃┤鐖D1，若關于x的二次函數（a，b，c為常數且）與x軸交于兩個不同的點，，與y軸交于點C，拋物線的頂點為M，O是坐標原點．(1)若①求此二次函數圖象的頂點M的坐標；②定義：若點G在某一個函數的圖象上，且點G的橫縱坐標相等，則稱點G為這個函數的“好點”．求證：二次函數有兩個不同的“好點”．(2)如圖2，連接，直線與x軸交于點P，滿足，且的面積為，求二次函數的表達式．

5．（2022·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成的矩形的周長與面積相等，則稱這個點為“美好點”，如圖，過點P分別作x軸，y軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形OAPB的周長與面積相等，則P為“美好點”．（1）在點M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好點”的有；（2）若“美好點”P（a，﹣3）在直線y＝x+b（b為常數）上，求a和b的值；（3）若“美好點”P恰好在拋物線第一象限的圖象上，在x軸上是否存在一點Q使得△POQ為直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

6．（2021·河北保定·統考二模）當拋物線(a、b、c為常數，c≠0)與x軸交于A，B兩點時，以AB為邊作矩形ABCD，使點C、點D落在直線y=c上，我們把這樣的矩形ABCD叫做該拋物線的“相約矩形”．（1）①拋物線的“相約矩形”的周長為___________．②當拋物線(c為常數)不存在“相約矩形”，則c的取值范圍是_________．（2）已知拋物線經過點(2，0)，當該拋物線的“相約矩形”是正方形時，求出該拋物線所對應的函數表達式．（3）對于函數(a為常數)．①當該函數的圖象與x軸只有－個交點時，求出交點的坐標；②我們把平面直角坐標系中橫、縱坐標都為整數的點稱為“好點”，當拋物線(a為常數，a>0)的“相約矩形”內部(包括矩形邊界)恰有8個“好點”時，直接寫出a的取值范圍．

7．（2022秋·浙江·九年級期末）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）頂點為P，且該拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．我們規定：拋物線與x軸圍成的封閉區域稱為“G區域”（不包含邊界）；橫、縱坐標都是整數的點稱為整點．(1)求拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a頂點P的坐標（用含a的代數式表示）；(2)如果拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a經過（1，3）．①求a的值；②在①的條件下，直接寫出“G區域”內整點的個數．(3)如果拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a在“G區域”內有4個整點，直接寫出a的取值范圍．

8．（2022·浙江·九年級專題練習）已知二次函數交軸于點A，B（點A在點B左側），交軸于點，設拋物線的對稱軸為直線，且≥．(1)用含的代數式表示出點A、點B的坐標；(2)若拋物線上存在點P使得（點P與點C不重合），且這樣的點P恰好存在兩個，求此時拋物線的解析式；(3)我們將平面直角坐標系中橫坐標、縱坐標都為整數的點叫做整點．當點A、點B都在軸正半軸上，且內部存在2個整點（不包括邊），試寫出1個符合題意的實數的值，并直接寫出的取值規律．

9．（2020·湖北黃岡·九年級統考自主招生）如圖，拋物線，經過點.（1）求拋物線的解析式及頂點M的坐標；（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第一象限，當時，求N點的坐標；（3）我們通常用表示整數的最大公約數，例如.若，則稱a、b互素，關于最大公約數有幾個簡單的性質：①，其中k為任意整數；②；若點滿足：a，b均為正整數，且，則稱Q點為“互素正整點”，當時，該拋物線上有多少個“互素正整點”？

10．（2023秋·湖北武漢·九年級武漢市糧道街中學校考期末）若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們為“友好拋物線”，拋物線：與拋物線：為“友好拋物線”．(1)求拋物線的解析式；(2)點是拋物線上在第一象限的動點，過作軸，為垂足，求的最大值；(3)設拋物線的頂點為，點的坐標為，問在的對稱軸上是否存在點，使線段繞點逆時針旋轉得到線段，且點恰好落在拋物線上？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

11．（2022秋·九年級課時練習）【概念感知】我們把兩個二次項系數之和為1，對稱軸相間，且圖象與y軸交點也相同的二次函數稱為“友好對稱二次函數”，例如：的“友好對稱二次函數”為．【特例求解】（1）的“友好對稱二次函數”為______________；的“友好對稱二次函數”為____________．【性質探究】（2）關于“友好對稱二次函數”，下列結論正確的是___________（填入正確的序號）①二次項系數為1的二次函數沒有“友好對稱二次函數”；②二次項系為的二次函數的“友好對稱二次函數”是它本身；③的“友好對稱二次函數”為．④任意兩個“友好對稱二次函數”與y軸一定有交點，與x軸至少有一個二次函數有交點．【拓屐應用】（3）如圖，二次函數與其“友好對稱二次函數”都與y軸交于點A，點B，C分別在，上，點B，C的橫坐標均為，它們關于的對稱軸的稱點分別力，，連接，，，．①若，且四邊形為正方形，求m的值；②若，且四邊形鄰邊之比為，直接寫出a的值．

12．（2021·山東威?！そy考二模）【信息提取】新定義：在平面直角坐標系中，如果兩條拋物線關于坐標原點對稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的“友好拋物線”．新知識：對于直線和．若，則直線與互相垂直；若直線與互相垂直，則．【感知理解】（1）若拋物線的“友好拋物線”為．則h，k的值分別是；（2）若拋物線與互為“友好拋物線”．則b與n的數量關系為，c與q的數量關系為．【綜合應用】（3）如圖，拋物線的頂點為E，的“友好拋物線”的頂點為F，過點O的直線與拋物線交于點A，B（點A在B的左側），與拋物線交于點C，D（點C在D的左側）．若四邊形AFDE為菱形，求AB的長；

13．（2022春·九年級單元測試）拋物線：與直線：交于、兩點，且．(1)求和的值（用含的代數式表示）；(2)當時，拋物線與軸的另一個交點為．求的面積；當時，則的取值范圍是______．(3)拋物線：的頂點，求出與的函數關系式；當為何值時，點達到最高．(4)在拋物線和直線所圍成的封閉圖形的邊界上把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”，當時，直接寫出“美點”的個數______；若這些美點平均分布在直線的兩側，的取值范圍：______．

14．（2022·江蘇·九年級專題練習）數學來源于生活，數學之美無處不在，在幾何圖形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我們把45°的角稱為一中美角，最美的等腰直角三角形稱為一中美三角．根據該約定，完成下列問題：(1)如圖1，已知正方形ABCD中O是對角線AC上一動點，過O作OP⊥OD，垂足為O，交BC邊于P，△POD是否為一中美三角，并說明理由；(2)如圖2，在平面直角坐標系中，點A（﹣2，0），點B（0，2），點P在第二象限內，且在直線y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好構成一中美三角，求出此時P點的坐標；(3)如圖3，若二次函數y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，P為第二象限上的點，在直線AC上，且∠OPB恰好構成一中美角；Q為x軸上方拋物線上的一動點，令Q點橫坐標為m（0＜m＜3），當m為何值時，△PBQ的面積最大，求出此時Q點坐標和最大面積．

15．（2021春·湖南長沙·八年級長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校校聯考期末）在平面直角坐標系中，我們把橫坐標與縱坐標相等的點（a，a）叫做“至善點”，顯然，這樣的“至善點”有無數個，兩個“至善點”（x1，x1），（x2，x2）之間的距離d＝，叫做“至美距離”．（1）求函數y＝x2﹣2x＋2的圖象的“至善點”，并求出“至美距離”；（2）求函數y＝x2＋mx﹣m上兩個“至善點”之間的“至美距離”的最小值；（3）若二次函數y＝ax2＋bx＋1（a，b是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“至善點”A（x1，x1）、B（x2，x2），且滿足﹣2≤x1≤2，且A、B兩點之間的“至美距離”為2，求代數式b2﹣2b＋5的取值范圍．

16．（2022·北京西城·九年級期中）對于平面直角坐標系中第一象限內的點和圖形，給出如下定義：過點作軸和軸的垂線，垂足分別為M，N，若圖形中的任意一點滿足且，則稱四邊形是圖形的一個覆蓋，點為這個覆蓋的一個特征點．例：已知，，則點為線段的一個覆蓋的特征點．（1）已知：，，點，①在，，中，是的覆蓋特征點的為___________；②若在一次函數的圖像上存在的覆蓋的特征點，求的取值范圍．（2）以點D（3，4）為圓心，半徑為作圓，在拋物線上存在⊙的覆蓋的特征點，直接寫出的取值范圍__________________．

17．（2022·江蘇鹽城·三模）我們規定：關于x的反比例函數稱為一次函數的“次生函數”，關于x的二次函數稱為一次函數的“再生函數”．(1)按此規定：一次函數的“次生函數”為：___________，“再生函數”為：___________；(2)若關于x的一次函數的“再生函數”的頂點在x軸上，求頂點坐標；(3)若一次函數與其“次生函數”交于點、兩點，其“再生函數”與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．①若點，求的正切值；②若點E在直線上，且在x軸的下方，當時，求點E的坐標．

18．（2021·湖北武漢·九年級期中）定義：關于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：的“同軸對稱拋物線”為．(1)請寫出拋物線的頂點坐標；及其“同軸對稱拋物線”的頂點坐標；寫出拋物線的“同軸對稱拋物線”為．(2)如圖，在平面直角坐標系中，點B是拋物線L：上一點，點B的橫坐標為1，過點B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點C，分別作點B、C關于拋物線對稱軸對稱的點、，連接、、、，設四邊形的面積為．①當四邊形為正方形時，求a的值．②當拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區域內（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標均為整數的點時，請求出a的取值范圍．

19．（2021·河北·統考中考真題）下圖是某同學正在設計的一動畫示意圖，軸上依次有，，三個點，且，在上方有五個臺階（各拐角均為），每個臺階的高、寬分別是1和1．5，臺階到軸距離．從點處向右上方沿拋物線：發出一個帶光的點．（1）求點的橫坐標，且在圖中補畫出軸，并直接指出點會落在哪個臺階上；（2）當點落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與形狀相同的拋物線，且最大高度為11，求的解析式，并說明其對稱軸是否與臺階有交點；（3）在軸上從左到右有兩點，，且，從點向上作軸，且．在沿軸左右平移時，必須保證（2）中沿拋物線下落的點能落在邊（包括端點）上，