PAGE1-課時分層作業(十一)雙曲線的簡潔幾何性質(建議用時：60分鐘)[基礎達標練]一、選擇題1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點為(3，0)，則該雙曲線的離心率等于()A.eq\f(3\r(14),14)B.eq\f(3\r(2),4)C.eq\f(3,2)D.eq\f(4,3)C[由題意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝eq\f(3,2).]2．已知雙曲線方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，過P(1，0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則共有l()A．4條 B．3條C．2條 D．1條B[因為雙曲線方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，所以P(1，0)是雙曲線的右頂點，所以過P(1，0)并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線，與雙曲線只有一個公共點，另外還有兩條就是過點P(1，0)分別和兩條漸近線平行的直線，所以符合要求的共有3條，故選B.]3．雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點到漸近線的距離為eq\r(3)，則雙曲線C的焦距等于()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)C[由已知得e＝eq\f(c,a)＝2，所以a＝eq\f(1,2)c，故b＝eq\r(c2－a2)＝eq\f(\r(3),2)c，從而雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，由焦點到漸近線的距離為eq\r(3)，得eq\f(\r(3),2)c＝eq\r(3)，解得c＝2，故2c＝4，故選C.]4．若實數k滿意0<k<5，則曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,5－k)＝1與曲線eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,5)＝1的()A．實半軸長相等 B．虛半軸長相等C．離心率相等 D．焦距相等D[若0<k<5，則5－k>0，16－k>0，故方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,5－k)＝1表示焦點在x軸上的雙曲線，且實半軸的長為4，虛半軸的長為eq\r(5－k)，焦距2c＝2eq\r(21－k)，離心率e＝eq\f(\r(21－k),4)；同理方程eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,5)＝1也表示焦點在x軸上的雙曲線，實半軸的長為eq\r(16－k)，虛半軸的長為eq\r(5)，焦距2c＝2eq\r(21－k)，離心率e＝eq\f(\r(21－k),\r(16－k)).可知兩曲線的焦距相等，故選D.]5．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)的半焦距為c，且直線l過(a，0)和(0，b)兩點，已知原點到直線l的距離為eq\f(\r(3)c,4)，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2D[直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0，原點到直線l的距離d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(ab,c)＝eq\f(\r(3),4)c，即ab＝eq\f(\r(3),4)c2，所以a2(c2－a2)＝eq\f(3,16)c4.整理得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝eq\f(4,3)，又b>a>0，所以e2＝1＋eq\f(b2,a2)>2，故e＝2.]二、填空題6．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為2eq\r(5)，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線方程為________．eq\f(x2,4)－y2＝1[由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(1,2)，,a2＋b2＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))故所求雙曲線方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.]7．若a>1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是________．(1，eq\r(2))[e2＝1＋eq\f(1,a2)，由a>1得1<e2<2.所以1<e<eq\r(2).]8．若直線x＝2與雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的兩條漸近線分別交于點A，B，且△AOB的面積為8，則焦距為________．2eq\r(5)[雙曲線的漸近線方程為y＝±bx，則A(2，2b)，B(2，－2b)，|AB|＝4b，從而S△AOB＝eq\f(1,2)×4b×2＝8.解得b＝2，所以c2＝5，從而焦距為2eq\r(5).]三、解答題9．雙曲線與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1有相同的焦點，它的一條漸近線為y＝x，求雙曲線的標準方程和離心率．[解]由橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1，知c2＝64－16＝48，且焦點在y軸上，∵雙曲線的一條漸近線為y＝x，∴設雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,a2)＝1.又c2＝2a2＝48，∴a2∴所求雙曲線的方程為eq\f(y2,24)－eq\f(x2,24)＝1.由a2＝24，c2＝48，得e2＝eq\f(c2,a2)＝2，又e>0，∴e＝eq\r(2).10．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2，0)，右頂點為(eq\r(3)，0)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))>2，其中O為原點，求k的取值范圍．[解](1)設雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝eq\r(3)，c＝2.又因為a2＋b2＝c2，所以b2＝1，故雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)將y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1中，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0，由直線l與雙曲線交于不同的兩點得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝（－6\r(2)k）2＋36（1－3k2）>0，))即k2≠eq\f(1,3)且k2<1.①設A(xA，yA)，B(xB，yB)，則xA＋xB＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，xAxB＝eq\f(－9,1－3k2)，由eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))>2得xAxB＋yAyB>2，而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋eq\r(2))(kxB＋eq\r(2))＝(k2＋1)xAxB＋eq\r(2)k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·eq\f(－9,1－3k2)＋eq\f(\r(2)k·6\r(2)k,1－3k2)＋2＝eq\f(3k2＋7,3k2－1)，于是eq\f(3k2＋7,3k2－1)>2，解此不等式得eq\f(1,3)<k2<3.②由①②得eq\f(1,3)<k2<1.故k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).[實力提升練]1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均與曲線C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，則該雙曲線的離心率等于()A.eq\f(3\r(5),5) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(5),5)A[曲線C的標準方程為(x－3)2＋y2＝4，所以圓心坐標為C(3，0)，半徑r＝2，雙曲線的漸近線為y＝±eq\f(b,a)x，不妨取y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，因為漸近線與圓相切，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(|3b|,\r(a2＋b2))＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝eq\f(4,5)a2＝c2－a2，即eq\f(9,5)a2＝c2，所以e2＝eq\f(9,5)，e＝eq\f(3\r(5),5)，選A.]2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C[法一：因為直線AB經過雙曲線的右焦點，所以不妨取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，取雙曲線的一條漸近線為直線bx－ay＝0，由點到直線的距離公式可得d1＝eq\f(|bc－b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc－b2,c)，d2＝eq\f(|bc＋b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc＋b2,c)，因為d1＋d2＝6，所以eq\f(bc－b2,c)＋eq\f(bc＋b2,c)＝6，所以2b＝6，得b＝3.因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq\f(a2＋9,a2)＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，故選C.法二：由d1＋d2＝6，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以b＝3.因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq\f(a2＋9,a2)＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，故選C.]3．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過點F作x軸的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為________．±1[不妨設點B在第一象限，則A1(－a，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，A2(a，0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，所以eq\o(A1B,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c，\f(b2,a)))，eq\o(A2C,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a，－\f(b2,a))).因為A1B⊥A2C，所以eq\o(A1B,\s\up8(→))·eq\o(A2C,\s\up8(→))＝0，所以c2－a2－eq\f(b4,a2)＝0，整理得，eq\f(b2,a2)＝1，即eq\f(b,a)＝1，所以漸近線的斜率為±1.]4．已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則實數m的值是________．±1[由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,x2－\f(y2,2)＝1))消去y得x2－2mx－m2－2＝0.則Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以線段AB的中點坐標為(m，2m)．又點(m，2m)在圓x2＋y2＝5上，所以m2＋(5．直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點．(1)求線段AB的長；(2)當a為何值時，以AB為直徑的圓經過坐標原點？[解]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋1，,3x2－y2＝1，))得(3－a2)x2－2ax－2＝0.由題意可得3－a2≠0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2a,3－a2)，x1x2＝eq\f(－2,3－a2).(1)|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(（1＋a2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(（1＋a2）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\