第六章習題課A級——基礎過關練1．在△ABC中，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是()A．3eq\r(3) B．eq\f(9\r(3),2)C．3 D．eq\f(3\r(3),2)【答案】D【解析】c2＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2ab＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6，C＝eq\f(π,3)，由余弦定理可得cosC＝eq\f(1,2)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，可得ab＝2ab－6，即ab＝6，則△ABC的面積是eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)．故選D．2．(2024年重慶長壽區期末)在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，AC＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC＝()A．eq\r(3) B．eq\r(7)C．2 D．3【答案】B【解析】△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，AC＝2，則△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×2×AB×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以AB＝1，則BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cos\f(2π,3))＝eq\r(1＋4－2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(7)．故選B．3．(多選)在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝eq\f(π,6)，則△ABC的面積可以是()A．eq\f(\r(3),2) B．1C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),4)【答案】AD【解析】因為AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝eq\f(π,6)，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，所以BC2－3BC＋2＝0，所以BC＝1或BC＝2．因為S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·BC·sinB，所以S△ABC＝eq\f(\r(3),2)或S△ABC＝eq\f(\r(3),4)．故選AD．4．(2024年連云港連云區期末)已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，a＝4eq\r(3)，b＝12，S＝eq\f(\r(3),2)accosB，則A＝()A．30°或150° B．30°C．45° D．150°【答案】B【解析】因為S＝eq\f(\r(3),2)accosB＝eq\f(1,2)acsinB，所以eq\r(3)cosB＝sinB，可得tanB＝eq\r(3)．因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3)．又a＝4eq\r(3)，b＝12，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得sinA＝eq\f(a·sinB,b)＝eq\f(4\r(3)×\f(\r(3),2),12)＝eq\f(1,2)．因為a＜b，A為銳角，所以A＝eq\f(π,6)．故選B．5．如圖，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC邊上一點，DC＝5，DA＝7，則AB的長為()A．4eq\r(2) B．4eq\r(3)C．8 D．4eq\r(6)【答案】D【解析】因為DC＝5，DA＝7，AC＝8，所以cosC＝eq\f(AC2＋DC2－AD2,2AC·DC)＝eq\f(82＋52－72,2×8×5)＝eq\f(1,2)，所以∠C＝60°，所以在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，由正弦定理，可得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，所以AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(8×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4eq\r(6)．故選D．6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(2,2)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為()A．6 B．3C．4 D．8【答案】A【解析】設向量a與b的夾角為θ，則由題意得，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×2－1×2,\r(22＋－12)·\r(22＋22))＝eq\f(\r(10),10)，則sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，所以平行四邊形的面積為S＝2×eq\f(1,2)×|a||b|sinθ＝eq\r(5)×2eq\r(2)×eq\f(3\r(10),10)＝6．故選A．7．(2024年蘇州期末)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，A＝60°，則角B＝________，△ABC的面積是________．【答案】45°eq\f(3＋\r(3),4)【解析】在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2)sin60°,\r(3))＝eq\f(\r(2),2)．又因為b＜a，所以B＜A，所以B＝45°，則C＝75°，則S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)×sin75°＝eq\f(3＋\r(3),4)．8．若△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝2，c＝eq\r(5)，△ABC的面積S＝eq\f(\r(5),2)cosA，則a＝________．【答案】1【解析】因為b＝2，c＝eq\r(5)，S＝eq\f(\r(5),2)cosA＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(5)sinA，所以sinA＝eq\f(1,2)cosA．所以sin2A＋cos2A＝eq\f(1,4)cos2A＋cos2A＝eq\f(5,4)cos2A＝1，所以cosA＝eq\f(2\r(5),5)(cosA＞0)．所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋5－2×2×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝9－8＝1．所以a＝1．9．(2023年全國甲卷)在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝eq\r(6)，D為BC上一點，AD為∠BAC的平分線，則AD＝________．【答案】2【解析】如圖，記AB＝c，AC＝b，BC＝a，(方法一)由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6，因為b＞0，解得b＝1＋eq\r(3)．由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得eq\f(1,2)×2×b×sin60°＝eq\f(1,2)×2×AD×sin30°＋eq\f(1,2)×AD×b×sin30°，解得AD＝eq\f(\r(3)b,1＋\f(b,2))＝eq\f(2\r(3)×1＋\r(3),3＋\r(3))＝2．(方法二)由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6，因為b＞0，解得b＝1＋eq\r(3)，由正弦定理可得，eq\f(\r(6),sin60°)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(2,sinC)，解得sinB＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，sinC＝eq\f(\r(2),2)．因為1＋eq\r(3)＞eq\r(6)＞eq\r(2)，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°．又因為∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2．10．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(sinB＋sinC)2＝sin2A＋sinBsinC．(1)求A的大小；(2)若b＋c＝6，△ABC的面積為2eq\r(3)，求a的值．解：(1)因為(sinB＋sinC)2＝sin2A＋sinBsinC．所以由正弦定理，得(b＋c)2＝a2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，所以cosA＝－eq\f(1,2)．因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(2π,3)．(2)因為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc＝2eq\r(3)，所以bc＝8，又因為b＋c＝6，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－bc＝36－8＝28．所以a＝2eq\r(7)．B級——綜合運用練11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面積為5eq\r(3)，則△ABC的周長為()A．8＋eq\r(21) B．9＋eq\r(21)C．10＋eq\r(21) D．14【答案】B【解析】由題意及三角形的面積公式，得eq\f(1,2)absinC＝5eq\r(3)，即eq\f(1,2)a×5×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，解得a＝4，根據余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝16＋25－2×4×5×eq\f(1,2)＝21，c＝eq\r(21)，所以△ABC的周長為9＋eq\r(21)．故選B．12．(2024年南充模擬)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，P為△ABC內一點，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，則tanα＝________．【答案】eq\f(1,2)【解析】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，則∠ACB＝45°，∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，則于是∠APB＝180°－α－(90°－α)＝90°，∠BPC＝180°－α－(45°－α)＝135°，則∠CPA＝135°，在Rt△ABP中，AP＝ABcosα＝cosα，在△BPC中，由正弦定理得eq\f(PC,sinα)＝eq\f(1,sin135°)，即PC＝eq\r(2)sinα，在△CPA中，CA＝eq\r(2)，由余弦定理得，(eq\r(2))2＝cos2α＋(eq\r(2)sinα)2－2cosα·eq\r(2)sinα·cos135°，即2＝cos2α＋2sin2α＋2sinαcosα，整理得2sinαcosα＝cos2α，顯然α為銳角，所以tanα＝eq\f(1,2)．13．(2024年沈陽渾南區期中)已知函數f(x)＝2sinxcosx＋2eq\r(3)sin2x－eq\r(3)．(1)求函數f(x)的最小正周期及其單調遞增區間；(2)若A為銳角三角形ABC的內角，且f(A)＝eq\r(3)，a＝2eq\r(3)，求△ABC面積的取值范圍．解：(1)函數f(x)＝2sinxcosx＋2eq\r(3)sin2x－eq\r(3)＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，函數f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π；由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，可得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，即有f(x)的單調遞增區間為[kπ－eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(5π,12)]，k∈Z．(2)若A為銳角三角形ABC的內角，且f(A)＝eq\r(3)，a＝2eq\r(3)，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，由0＜A＜eq\f(π,2)，可得－eq\f(π,3)＜2A－eq\f(π,3)＜eq\f(2π,3)，則2A－eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)，即A＝eq\f(π,3)，B＋C＝eq\f(2π,3)．設B＝eq\f(π,3)＋α，C＝eq\f(π,3)－α，由0＜B＜eq\f(π,2)，0＜C＜eq\f(π,2)，可得－eq\f(π,6)＜α＜eq\f(π,6)，即有sinα∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))．由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，即有b＝4sinB，c＝4sinC，則△ABC面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)×16sinBsinC＝4eq\r(3)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝4eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(π,3)－sin2α))＝4eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－sin2α))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(3)，3\r(3)))．C級——創新拓展練14．(2024年余姚期中)秦九韶是我國南宋時期的著名數學家，他在著作《數書九章》中提出，已知三角形三邊長計算三角形面積的一種方法“三斜求積術”，即在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對應的邊，S△ABC＝eq\f(1,2)eq\r(ab2－\b\