第八章8.28.3.2A級——基礎過關練1．想要檢驗是否喜歡參加體育活動是不是與性別有關，應該檢驗()A．零假設H0：男性喜歡參加體育活動B．零假設H0：女性不喜歡參加體育活動C．零假設H0：喜歡參加體育活動與性別有關D．零假設H0：喜歡參加體育活動與性別無關【答案】D2．(2024年汕頭期中)利用獨立性檢驗對兩個隨機事件是否有關系進行研究時，若根據α＝0.005的獨立性檢驗認為“X與Y有關系”，則具體計算出的數據應該是()A．χ2≥6.635 B．χ2<6.635C．χ2≥7.879 D．χ2<7.879【答案】C3．為了考察某種中成藥預防流感的效果，抽樣調查40人，得到如下數據：藥物流感患流感未患流感服用218未服用812根據表中數據，計算χ2的值為()A．2.4 B．4.8C．24 D．48【答案】B4．考察棉花種子是否經過處理跟生病之間的關系得到有關數據，根據數據計算得χ2＝0.164，則根據小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，下列判斷正確的是()A．種子是否經過處理跟是否生病有關B．種子是否經過處理跟是否生病無關C．種子是否經過處理決定是否生病D．以上都是錯誤的【答案】B【解析】由χ2＝0.164＜2.706＝x0.1，即沒有充分證據認為種子是否經過處理跟是否生病有關．5．為加強高三學生的素質教育，促進學生全面發展，某校對高三學生文化課與體育課的成績進行了調查統計，結果如下：文化課體育課合計不及格及格及格57221278不及格164359合計73264337在探究體育課成績和文化課成績是否相關時，根據以上數據可得到χ2約為()A．0.004 B．1.255C．2.058 D．38.214【答案】B【解析】由題中數據，知χ2＝eq\f(337×(57×43－221×16)2,73×264×278×59)≈1.255．故選B．6．(2024年濱州期末)(多選)為考查某種營養品對兒童身高增長的影響，選取部分兒童進行試驗，根據100個有放回簡單隨機樣本的數據，得到如下列聯表，由表可知下列說法正確的有()營養品身高合計有明顯增長無明顯增長食用a1050未食用b3050合計6040100A．a＝40B．b＝20C．χ2≈12.667D．根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，可以認為該營養品對兒童身高增長有影響【答案】ABD【解析】a＝50－10＝40，A正確；b＝60－a＝60－40＝20，B正確；零假設為H0：該營養品對兒童身高增長無影響，因為χ2＝eq\f(100×(40×30－10×20)2,60×40×50×50)≈16.667＞10.828＝x0.001，所以根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即可以認為該營養品對兒童身高增長有影響，C錯誤，D正確．7．根據分類變量x與y的觀察數據，計算得到χ2＝2.974，根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析變量x與y__________(填“相互獨立”或“不相互獨立”)．【答案】相互獨立【解析】χ2＝2.974<3.841＝x0.05，所以分析變量x與y相互獨立．8．(2024年煙臺期末)已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001．在檢驗喜歡某項體育運動與性別是否有關的過程中，某研究員搜集數據并計算得到χ2＝7.235，則根據小概率值α＝________的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關．【答案】0.01【解析】因為6.635<7.235<10.828，所以根據小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關．9．(2024年長春期中)針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關”作了一次調查，其中女生人數是男生人數的eq\f(1,2)，男生追星的人數占男生人數的eq\f(1,3)，女生追星的人數占女生人數的eq\f(2,3)，若根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷中學生追星與性別有關，則男生至少有______人．參考數據及公式如下：α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828參考公式：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.【答案】30【解析】設男生人數為x，依題意可得列聯表如下：類別喜歡追星不喜歡追星合計男生eq\f(x,3)eq\f(2x,3)x女生eq\f(x,3)eq\f(x,6)eq\f(x,2)合計eq\f(2x,3)eq\f(5x,6)eq\f(3x,2)根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷中學生追星與性別有關，則χ2>3.841，由χ2＝eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,18)－\f(4x2,9)))\s\up12(2),\f(2x,3)×\f(5x,6)×x×\f(x,2))＝eq\f(3,20)x>3.841，解得x>25.61，由題知x應為6的整數倍，∴根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷中學生追星與性別有關，則男生至少有30人．10．(2024年潮州期末)人的性格可以大體分為“外向型”和“內向型”兩種，樹人中學為了了解這兩種性格特征與人的性別是否存在關聯，采用簡單隨機抽樣的方法抽取90名學生，得到如下數據：性別外向型內向型男性4515女性2010(1)以上述統計結果的頻率估計概率，從該校男生中隨機抽取2人、女生中隨機抽取1人擔任志愿者．設這三人中性格外向型的人數為X，求X的數學期望．(2)對表格中的數據，依據α＝0.1的獨立性檢驗，可以得出獨立性檢驗的結論是這兩種性格特征與人的性別沒有關聯．如果將表格中的所有數據都擴大為原來10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷這兩種性格特征與人的性別之間的關聯性，得到的結論是否一致？請說明理由．附：參考公式：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)).α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解：(1)由統計結果可知，外向型男生在所有男生中占比為eq\f(3,4)，外向型女生在所有女生中占比為eq\f(2,3)，故從該校男生中隨機抽取一人為外向型男生的概率是eq\f(3,4)，從該校女生中隨機抽取一人為外向型女生的概率是eq\f(2,3).(方法一)X的所有可能取值為0，1，2，3，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,48)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(21,48)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,8)，所以E(X)＝0×eq\f(1,48)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(21,48)＋3×eq\f(3,8)＝eq\f(13,6).(方法二)從該校男生中隨機抽取2人，抽到性格外向型的人數記為Y1，從該校女生中隨機抽取1人，抽到性格外向型的人數記為Y2，則Y1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,4)))，Y2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)))，所以E(Y1)＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2)，E(Y2)＝1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).所以E(X)＝E(Y1＋Y2)＝E(Y1)＋E(Y2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(13,6).(2)零假設為H0：這兩種性格特征與人的性別無關聯．由所獲得的所有數據都擴大為原來10倍，可知χ2＝eq\f(900×(450×100－150×200)2,600×300×650×250)＝eq\f(90,13)≈6.923>2.706＝x0.1，依據α＝0.1的獨立性檢驗，可以推斷這兩種性格特征與人的性別有關聯，與原來的結論不一致，原因是每個數據擴大為原來的10倍，相當于樣本量變大為原來的10倍，導致推斷結論發生了變化．B級——能力提升練11．(多選)有兩個分類變量X，Y，其列聯表如下：XY合計Y＝y1Y＝y2X＝x1a20－a20X＝x215－a30＋a45合計155065其中a，15－a均為大于5的整數，若依據α＝0.05的獨立性檢驗可以認為Y與X有關，則a的可能取值為()A．6 B．7C．8 D．9【答案】CD【解析】根據a>5且15－a>5，a∈Z，知a可取6，7，8，9，由表中數據及題意，得χ2＝eq\f(13×(13a－60)2,20×45×3×2)≥3.841＝x0.05，知a可能取值為8，9.12．(2024年海南期末)某制藥公司為了驗證一種藥物對治療“抑郁癥”是否有效，隨機選取了100名抑郁癥患者進行試驗，并根據試驗數據得到下列2×2列聯表：項目用藥未用藥癥狀明顯減輕3733癥狀沒有減輕822根據表中數據，計算可得χ2＝________(結果精確到0.001)，依據小概率值α＝________(填臨界值表中符合條件的最小值)的獨立性檢驗，可以認為該藥物對治療“抑郁癥”是有效的．附：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】5.8200.05【解析】由2×2列聯表中數據得χ2＝eq\f(100(37×22－8×33)2,45×55×70×30)＝eq\f(1100,189)≈5.820，因為5.820>3.841＝x0.05，所以α＝0.05．13．(2024年深圳期末)某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創新活動，A，B在實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在實驗地隨機抽取各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優質花苗．(1)求圖中a的值，并求綜合評分的中位數；(2)填寫下面的2×2列聯表，并根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析優質花苗與培育方法是否有關，請說明理由．項目優質花苗非優質花苗合計甲培育法20乙培育法10合計解：(1)由直方圖的性質，得0.005×10＋0.010×10＋0.025×10＋10a＋0.020×10＝1，解得a＝0.040．因為(0.02＋0.04)×10＝0.6>0.5，所以中位數位于[80，90)內，設中位數為x，則有0.020×10＋0.040×(90－x)＝0.5，解得x＝82.5．故綜合評分的中位數為82.5．(2)由(1)得優質花苗的頻率為0.6，所以樣本中優質花苗的數量為60，得如下列聯表：項目優質花苗非優質花苗合計甲培育法203050乙培育法401050合計6040100零假設為H0：優質花苗與培育方法無關，χ2＝eq\f(100×(20×10－30×40)2,60×40×50×50)≈16.667>7.879＝x0.005，所以根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為優質花苗與培育方法有關．C級——創新拓展練14．(2024年濟南模擬)直播帶貨是助農的一種新模式，這種模式是利用主流媒體的公信力，聚合銷售主播的力量助力打通農產品產銷鏈條，切實助力邊遠地區農民增收．某邊遠地區有統計數據顯示，2023年該地利用網絡直播形式銷售農產品的銷售主播年齡等級分布如圖1所示，一周內使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2所示，若將銷售主播按照年齡分為年輕人(20歲～39歲)和非年輕人(19歲及以下或者40歲及以上)兩類，將一周內使用的次數為6次或6次以上的稱為經常使用直播銷售用戶，使用次數為5次或不足5次的稱為不常使用直播銷售用戶，且經常使用直播銷售用戶中有eq\f(5,6)是年輕人．圖1圖2現對該地相關居民進行“經常使用直播銷售與年齡關系”的調查，采用隨機抽樣的方法，抽取一個容量為200的樣本，請你根據圖表中的數據，完成下列2×2列聯表，根據α＝0.1的獨立性檢驗，能否認為經常使用直播銷售與年齡有關？項目年輕人非年輕人合計經常使用直播銷售用戶不常使用直播銷售用戶合計解：由題圖1知年輕人有200×(45.5%＋34.5%)＝160(人)，非年輕人有200－160＝40(人)．由題圖2知經常使用直播銷售用戶有200×(30.1%＋19.2%＋10.7%)＝120(人)，不常使用直播銷售用戶有200－1