第六章6.26.2.2A級——基礎過關練1．(2024年廣州期中)某學校安排4位教師在星期一至星期五值班，每天只安排1位教師，每位教師至少值班1天，至多值班2天且這2天相連，則不同的安排方法共有()A．24種 B．48種C．60種 D．96種【答案】D2．若Aeq\o\al(3,2n)＝10Aeq\o\al(3,n)，則n＝()A．7 B．8C．9 D．10【答案】B3．(2024年貴陽期中)2023年全國中學生數學奧林匹克競賽(決賽)于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來自某所學校的3名同學和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學，則不同的站法有()A．48種 B．64種C．72種 D．120種【答案】C4．(2024年東莞期中)回文聯是我國對聯中的一種．用回文形式寫成的對聯，既可順讀，也可倒讀．不僅意思不變，而且頗具趣味．在數學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數的自然數，稱之為“回文數”．如44，585，2662等；則用數字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數”的個數為()A．15 B．30C．36 D．72【答案】C【解析】分兩類，第1類，用一個數字組成四位數的回文數，有6個；第2類，用兩個數字組成四位數的回文數，只需從這6個數字中任取2個數字，排在前兩位(后兩位由前兩位順序確定)，有Aeq\o\al(2,6)＝30(個).故全部4位回文數共有6＋30＝36個．故選C．5．(2024年成都期中)某電子競技隊伍由1名隊長、1名副隊長與3名隊員構成，按需要擔任第1至5號位的任務，由于隊長需要分出精力指揮隊伍，所以不能擔任1號位，副隊長是隊伍輸出核心，必須擔任1號位或2號位，則不同的位置安排方式有()A．36種 B．42種C．48種 D．52種【答案】B【解析】若副隊長擔任1號位，其他位置就沒有任何限制，有Aeq\o\al(4,4)＝24種安排方式；若副隊長擔任2號位，則從3名隊員中選1人擔任1號位，后面的3個位置無限制條件，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝3×6＝18(種)安排方式．所以一共有24＋18＝42(種)安排方式．故選B．6．(多選)已知Aeq\o\al(m,3)－eq\f(1,2)Aeq\o\al(2,3)＋0?。?，則m的可能取值是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】CD【解析】因為Aeq\o\al(m,3)－eq\f(1,2)Aeq\o\al(2,3)＋0！＝4，所以Aeq\o\al(m,3)－eq\f(1,2)×6＋1＝4，所以Aeq\o\al(m,3)＝6，其中m∈N，m≤3，而Aeq\o\al(0,3)＝1，Aeq\o\al(1,3)＝3，Aeq\o\al(2,3)＝Aeq\o\al(3,3)＝6，所以m的值可能是2或3．故選CD．7．(2024年六安期中)高三年級某班組織元旦晚會，共準備了甲、乙、丙、丁、戊五個節目，出場時要求甲、乙、丙三個節目順序為“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”(可以不相鄰)，則這樣的出場排序有________種(用數字作答)．【答案】40【解析】先排除甲、乙、丙三個節目剩余的2個節目有Aeq\o\al(2,5)＝5×4＝20種排法，因甲、乙、丙的排序為定序，只有2種排法，則根據分步乘法計數原理，滿足條件的出場順序共有20×2＝40種．8．(2024年清遠期中)不等式Aeq\o\al(x,6)<6Aeq\o\al(x-2,6)的解集為________．【答案】{6}【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6，,0≤x－2≤6，))解得2≤x≤6且x∈N*．又eq\f(6！,(6－x)！)<6×eq\f(6！,(8－x)！)，即(8－x)(7－x)<6，即x2－15x＋50<0，解得5<x<10，綜上可知x＝6，故解集為{6}．9．(2023年廣州模擬)某夜市的某排攤位上共有6個鋪位，現有4家小吃類店鋪，2家飲料類店鋪打算入駐，若要排出一個攤位規劃，要求飲料類店鋪不能相鄰，則可以排出的攤位規劃總個數為________(用數字作答)．480【解析】先將4個小吃類店鋪進行全排，再從這4個小吃類店鋪的5個空位選2個進行排列，故排出的攤位規劃總個數為Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480．10．一場晚會有5個演唱節目和3個舞蹈節目，要求排出一個節目單．(1)3個舞蹈節目不排在開始和結尾，有多少種排法？(2)前4個節目要有舞蹈節目，有多少種排法？解：(1)先從5個演唱節目中選兩個排在首尾兩個位置有Aeq\o\al(2,5)種排法，再將剩余的3個演唱節目、3個舞蹈節目排在中間6個位置上有Aeq\o\al(6,6)種排法，故不同的排法共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400(種)．(2)先不考慮排列要求，有Aeq\o\al(8,8)種排列，其中前4個節目沒有舞蹈節目的情況，可先從5個演唱節目中選4個節目排在前四個位置，然后將剩余4個節目排列在后四個位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)種排法，所以前4個節目要有舞蹈節目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440(種)．B級——能力提升練11．(2024年湛江期中)(多選)身高各不相同的六位同學A，B，C，D，E，F站成一排照相，則說法正確的是()A．A，C，D三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B．A與C同學不相鄰，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)種站法C．A，C，D三位同學必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D．A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法【答案】ABD【解析】對于A，將A，C，D三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有eq\f(Aeq\o\al(6,6),Aeq\o\al(3,3))＝120種站法，故A正確；對于B，先排B，D，E，F，共有Aeq\o\al(4,4)種站法，A與C同學插空站，有Aeq\o\al(2,5)種站法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)種站法，故B正確；對于C，將A，C，D三位同學捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種情況，捆綁后有Aeq\o\al(4,4)種站法，故共有2×Aeq\o\al(4,4)＝48種站法，故C錯誤；對于D，當A在排尾時，B隨意站，則有Aeq\o\al(5,5)＝120種站法，當A不在排頭也不在排尾時，有Aeq\o\al(1,4)種，B有Aeq\o\al(1,4)種，剩下同學隨意站有Aeq\o\al(4,4)種，共有Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(4,4)＝384種，故A不在排頭，B不在排尾，共有120＋384＝504種站法，故D正確．故選ABD．12．已知0?。獳eq\o\al(2,n)＝133，則n＝________，計算Aeq\o\al(n+3,2n)＋Aeq\o\al(n,3)＝________．【答案】12726【解析】0?。獳eq\o\al(2,n)＝1＋n(n－1)＝133(n≥2)，即n2－n－132＝(n－12)(n＋11)＝0，所以n＝12(負值舍去).由題意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋3≤2n，,n≤3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≥3，,n≤3，))所以n＝3，所以Aeq\o\al(n+3,2n)＋Aeq\o\al(n,3)＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(3,3)＝6×5×4×3×2×1＋3×2×1＝726．13．(2024年佛山月考)2024年5月10日是南執高級中學藝術展演日，當晚要進行隆重的文藝演出．已知初三，高一，高二分別選送了3，5，7個節目，現回答以下問題：(用排列組合數表示，不需要合并化簡)(1)若初三的節目彼此都不相鄰，共計有多少種出場順序；(2)若初三的節目按照B1，B2，B3的順序出場(可以不相鄰)，共計有多少種出場順序；(3)高一的節目A1不能排最先出場且初三的節目B1不能最后出場，共計有多少種出場順序．解：(1)根據題意先把高一，高二的12個節目排好共有Aeq\o\al(12,12)種排列方式，再把初三的3個節目插入插空進行排列，所以共有Aeq\o\al(12,12)·Aeq\o\al(3,13)種出場順序．(2)(方法一)初三的節目按照B1，B2，B3的順序出場，即只需把其他12個節目排好，空3個位置給B1，B2，B3即可，所以不同的排法共有Aeq\o\al(12,15)種．(方法二)把15人全排有Aeq\o\al(15,15)種情況，因為有Aeq\o\al(3,3)種重復，所以不同的排法共有eq\f(Aeq\o\al(15,15),Aeq\o\al(3,3))或eq\f(1,6)Aeq\o\al(15,15)種.(3)先考慮全部，則共有Aeq\o\al(15,15)種排列方式，其中A1排在最先出場共有Aeq\o\al(14,14)種，B1排在最后出場也共有Aeq\o\al(14,14)種，A1排在最先出場同時B1排在最后出場共有Aeq\o\al(13,13)種，根據題意減去不滿足題意的情況共有Aeq\o\al(15,15)－2Aeq\o\al(14,14)＋Aeq\o\al(13,13)種．C級——創新拓展練14．(2024年中山期中)《西游記》中唐僧師徒四人去西天取經，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取經路上，兇險頗多，那么六位如何站位各人有自己的想法．(結果用數值表示)(1)唐僧說：“徒兒們，妖怪本性不錯，我們六個隨便站吧．”請問一共有多少種站法？(2)八戒提出：“兩只妖怪不能站在排頭和排尾，否則他們會逃走！”那么按照八戒的想法，一共有多少種站法？(3)悟空說：“師傅！師傅！你必須和我站在一起！如果怕妖怪逃走，讓八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中間！”按照悟空的說法，請問一共有多少種站法？解：(1)六個人隨便站，即六個人進行全排列，故符合條件的排法共有Aeq\o\al(6,6)＝720種．(2)因總共有六個位置，兩只妖怪不能站在排頭和排尾，先將兩只妖怪排好，故有Aeq\o\al(2,4)種排法，剩下四