常系數

第七節齊次線性微分方程

基本思路:求解常系數線性齊次微分方程求特征方程(代數方程)之根轉化

第七章1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:則微分①②2.

當時,

特征方程有一個實二重根時,特征方程有一對共軛復根3.當特征方程:

1.求方程的通解.解:特征方程為故所求通解為解得2.求解下列二階常系數齊次線性微分方程：解：方程的特征方程為解得故題設方程的通解為2.求下列微分方程的通解：解特征方程為即特征根通解為3.P62，三解:特征方程為方程的通解為由初始條件可得2.求下列微分方程的通解：解:特征方程為特征根即通解為常系數非齊次線性微分方程第八節一、二、

第七章

二階常系數非齊次線性微分方程:根據解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數.①—待定系數法一、

①

為實數

,為m

次多項式.設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得pq提示

此時

2

p

q

0

要使(＊)式成立

Q(x)應設為m次多項式

Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則

y*

Qm(x)e

x

y*

Q(x)e

x

設方程y

py

qy

Pm(x)e

x

特解形式為

Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得

提示

此時

2

p

q

0

但2

p

0

要使(＊)式成立

Q(x)應設為m

1次多項式

Q(x)

xQm(x)

其中Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(2)如果

是特征方程r2

pr

q

0的單根,則y*

xQm(x)e

x

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則

y*

Qm(x)e

x

y*

Q(x)e

x

設方程y

py

qy

Pm(x)e

x

特解形式為

Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得

提示:

此時

2

p

q

0

2

p

0

要使(＊)式成立

Q(x)應設為m

2次多項式

Q(x)

x2Qm(x)

其中Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(3)如果

是特征方程r2

pr

q

0的重根,

則y*

x2Qm(x)e

x

(2)如果

是特征方程r2

pr

q

0的單根,

則y*

xQm(x)e

x

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則

y*

Qm(x)e

x

y*

Q(x)e

x

設方程y

py

qy

Pm(x)e

x

特解形式為

Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得

結論

二階常系數非齊次線性微分方程

y

py

qy

Pm(x)e

x有形如y*

xk

Qm(x)e

x的特解

其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式

而k按

不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

k是

作為特征根的重數(k=0,1,2),

例1.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數,得于是所求特解為例2.

的通解.

解:

本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數,得因此特解為代入方程得所求通解為例3.求方程

y''

2y'+y=ex(1+x)的通解.解：特征方程是r2

2r+1=0,其根為r1=r2=1，對應齊次線性方程的通解為

因

=1是特征方程的重根，Pm(x

)=x+1,故特解形式為代入原方程中得所以從而有一特解為故原方程的通解為結論

二階常系數非齊次線性微分方程

y

py

qy

Pm(x)e

x有形如y*

xk

Qm(x)e

x的特解

其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式

而k按

不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

k是

作為特征根的重數(k=0,1,2),

1.求微分方程的通解.解:特征方程的根為對應齊次方程的通解為再求出非齊次方程的一個特解因為1不是特征根，故應取如下形式將其代入原方程，得比較同次冪系數得故原方程的通解為2.

已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數得故原方程為對應齊次方程通解:原方程通解為二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第一步利用歐拉公式將f(x)變形

第二步

求如下兩方程的特解

是特征方程的

k重根(

k=0,1),

故等式兩邊取共軛:為方程③的特解

.②③設則②有特解:第三步

求原方程的特解

利用第二步的結果,根據疊加原理,原方程有特解:原方程

小結:對非齊次方程則可設特解:其中

為特征方程的

k重根(k=0,1),

例4.

的一個特解

.解:

本題

特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數,得于是求得一個特解例5.

的通解.

解:

特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數,得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為例6.

特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為求下列高階常系數線性非齊次方程特解的形式:解:小結:對非齊次方程則可設特解:其中

為特征方程的

k重根(k=0,1),

例6.解:

(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為求下列高階常系數線性非齊次方程特解的形式:例6.解:

(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為求下列高階常系數線性非齊次方程特解的形式:例6.解:

(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為求下列高階常系數線性非齊次方程特解的形式:練.求微分方程的通解.解:對應的齊次方程的特征方程為特征根為故該齊次方程的通解為因而不是特征根.故可設原方程的特解形式則求出并代入原方程，化簡、整理后可得即于是故所求通解內容小結

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為思考與練習時可設特解為

時可設特解為提示:1.(填空)

設2.(1)(3)(2)下列方程具有什么樣形式的特解？解方程具有特解形式：(2)因方程具有特解形式:不是特征方程的根,(1)故因的單根,是特征方程故(3)因所以方程具有特解形式：的二重根,是特征方程例7.求物體的運動規律.解:問題歸結為求解無阻尼強迫振動方程

當p

≠k

時,齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為第七節例1(P294)中若設物體只受彈性恢復力f和鉛直干擾力代入④可得:④當干擾力的角頻率p

≈固有頻率k

時,自由振動強迫振動

當

p

=k

時,非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為若要利用共振現象,應使p

與k

盡量靠近,或使隨著

t

的增大,強迫振動的振幅這時產生共振現象.可無限增大,若要避免共振現象,應使p

遠離固有頻率k;p

=k.自由振動強迫振動對機械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機機座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機的調頻放大即是利用共振原理.內容小結

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為高階線性微分方程一、解的結構1、線性方程解的性質是二階線性齊次方程（2）的兩個解,也是該方程的解.(疊加原理)

（1）.

（2）.分別是方程的特解,則是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)是二階線性齊次方程(2)的兩個線性無關解,則數)是該方程的通解.

2、線性方程通解的結構是二階非齊次方程（1）Y(x)

是相應齊次方程的通解,則是非齊次方程（1）的通解.的一個特解,

是

n

階齊次方程的n

個線性無關解,則方程的通解為線性無關常數注：是對應齊次方程的n

個線性無關特解,（4).給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解二、常系數線性微分方程

（一）常系數齊次線性微分方程

1）.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:則微分①②2）.當時,

特征方程有有一個實二重根②注意時,特征方程有一對共軛復根3）.當特征方程:

y

py

qy

f(x)=Pm(x)e

x有形如y*

xkQm(x)e

x的特解

其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式

而k按

不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

當

是特征方程的k重根時,（二）常系數非齊次線性微分方程

1.對非齊次方程則可設特解:其中

為特征方程的

k重根(k=0,1),

思考與練習時可設特解為

時可設特解為提示:1.(填空)

設解:對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為2.3.求微分方程的通解.解:對應的齊次方程的特征方程為特征根為故該齊次方程的通解為因而不是特征根.故可設原方程的特解形式則求出并代入原方程，化簡、整理后可得即于是故所求通解4.(1)(3)(2)下列方程具有什么樣形式的特解？解:方程具有特解形式：(2)因方程具有特解形式:不是特征方程的根,(1)故因的單根,是特征方程故(3)因所以方程具有特解形式：的二重根,是特征方程3.

求微分方程的通解(其中為實數).解:

特征方程特征根:對應齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為5.寫出微分方程待定特解的形式.解設的特解為設的特解為則所求特解為特征根（重根），6.求微分方程的通解.解:特征方程的根為對應齊次方程的通解為再求出非齊次方程的一個特解因為1不是特征根，故應取如下形式將其代入原方程，得比較同次冪系數得6.求微分方程的通解.解比較同次冪系數得故所求特解為所以原方程得通解為7.求微分方程的通解.解特征方程特征根因為零是特征方程的二重根，而自由項是二次多項式，故設演算及并代入原方程比較系數，可得所求通解為8.寫出微分方程待定特解的形式.解設的特解為設的特解為則所求特解為特征根（重根），完9.求微分方程通解.解特征方程為特征根為故對應齊次方程的通解為觀察可得,的一個特解為的一個特解為為由非齊次線性微分方程的疊加原理知是原方程的一個特解,從而原方程的通解為11.求方程的通解.解對應齊次方程的特征方程的特征根為故對應齊次方程的通解作輔助方程是單根,代入上式得取虛部得所求非齊次方程特解為

故設從而題設方程的通解為解例5

原方程通解待定待定f(x)=e

x[Pm1(x)cos

x+Pm2(x)sin

x]

型11/12例2求方程的一個特解.解題設方程右端的自由項為其中對應的齊次方程的特征方程為特征根為所以應設特解為把它代入題設方程,型,由于不是特征方程的根,得比較系數得解得于是,所求特解為例3求方程的通解.解題設方程對應的齊次方程的特征方程為特征根為于是,因故可設題設方程是特征方程的單根,的特解：代入題設方程,比較等式兩端同次冪的系數,該齊次方程的通解為得得于是,求得題設方程的一個特解例3求方程的通解.解因故可設題設方程是特征方程的單根,的特解：代入題設方程,比較等式兩端同次冪的系數,得得于是,求得題設方程的一個特解從而,所求題設方程的通解為例4求方程

的特解.解解得特征根為其對應齊次方程的特征方程為由第六節定理4知,題設方因特征方程有重根程的特解是下列兩個方程的特解的和:(1)(2)的特解所以設方程(1)整理后得并消去將其代入方程(1)即例4求方程

的特解.解于是得特解求導后代入方程,得特解所以題設方程的特解為：又因特征方程有重根解出所以設方程的特解為(2)例6求方程的通解.解對應的齊次方程的特征方程為特征根所求齊次方程的通解因此方程的特解形式可設為代入題設方程易解得故所求方程的通解為由于不是特征方程的根,7.求微分方程的通解.解故題設方程可化為即注意到上述方程化為令則原方程又化為利用特征方程法，因其特征根故得其通解為從而所求通解為例8.寫出下列方程特解的形式.(1)y''2y'+y=1+x+x2(2)y'''3y''+3y'+y=e

x

(x5)解:(1)特征方程是

r22r+1=0因

=0不是特征根，故有特解形式為其根為r1=r2=1.(2)特征方程為因

=1是特征方程的三重根,故有特解形式為其根為r1=r2=r3=1.例9.

求解定解問題解:

本題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得10.

求微分方程的通解(其中為實數).解:

特征方程特征根:對應齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為11.

已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數得對應齊次方程通解:原方程通解為例12.設連續函數f(x)滿足方程上式兩邊關于x求導得解：將方程寫為再求導，得設y=f(x),則問題可化為求解初值的問題：

y''+y=sinx,

y|x=0,y'x=0

=1.因特征方程r2+1=0的根為r1,2=

i，故對應應齊次線性方程的通解為

y=C1cosx+C2sinx.又因

i=i是特征方程的根，可設特解為y*=x(acosx+bsinx).代入原方程后解得于是故原方程的通解為將初始條件代入上式，得C1=0，從而即例13.寫出方程y''4y'+4y=8x2+e2x+sin2x的一個特解y*的形式.解：令f1(x)=8x2,