高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省河源市2023-2024學年高二上學期期末考試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線與直線平行，則的斜率為（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】將直線化為斜截式可得，易知直線的斜率與直線的斜率相等，即的斜率為；故選：D2.若等差數列中，，則（）A.12 B.14 C. D.【答案】A【解析】設等差數列的公差為，則，解得；因此可得數列的通項公式為，所以.故選：A3.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是的左支上一點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據雙曲線標準方程可知，由雙曲線定義可得，又為左焦點，點是的左支上一點，所以，可得.故選：B4.已知點，，，則原點到平面的距離為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】易知，設平面的一個法向量為，則，解得，取可得；又，所以原點到平面的距離為.故選：A5.在高層建筑中，為了優化建筑結構，減少風荷載影響，設計師可能會將建筑設計成底面樓層高度比較高，隨著樓層往上逐步按照等比數列遞減的“金字塔”形狀，已知某高層建筑共10層，第2層高度為，第層高度記為，是公比為的等比數列，若第層高度小于，則的最小值為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】由題意得，，則，故，由題意得，解得，即的最小值是4.故選：C.6.若圓上到直線的距離為的點恰好有3個，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由圓，可得圓心，則圓心到直線的距離為，要使得圓到直線的為的點恰好有3個，則，可得.故選：A.7.如圖，在正三棱錐中，高，，點分別為的中點，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】在等邊中，因為，可得的高為，所以，在直角中，可得，又因為分別為的中點，可得，在中，可得，所以.故選：B.8.若點既在直線上，又在橢圓上，的左、右焦點分別為，，且的平分線與垂直，則的長軸長為（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】過點、分別作、垂直直線于點、，作的平分線與軸交于，由，故、，則，，由且為的平分線，故，故，又、，故與相似，故，由，令，則，故直線與軸交于點，故，，故，由，故，，故，，由橢圓定義可知，，故，即的長軸長為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.9.若點為原點，且圓與圓沒有公共點，則圓的半徑可以是（）A.1 B.2 C.8 D.9【答案】AD【解析】圓的圓心，半徑，，顯然點在圓外，由于圓與圓無公共點，則圓與圓可以外離，也可以內含，且圓在圓內，設圓的半徑為，于是或，即或，解得或，所以圓的半徑可以是1或9，即AD滿足，BC不滿足.故選：AD10.已知分別為空間中兩條不重合的直線的方向向量，分別為兩個不重合的平面的法向量，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A中，由，可得，則，當時，，所以A錯誤；對于B中，由，可得，則，所以B正確；對于C中，因為分別為兩個不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正確；對于D中，因為分別為兩個不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正確.故選：BC.11.已知數列是等差數列，都是正整數，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.不可能是等比數列C.不是等差數列 D.若，則【答案】AD【解析】由等差數列下標和性質，以及都是正整數，若，則都是正整數，且滿足，所以，即A正確；當數列是非零的常數列時，例如滿足是等差數列，也是等比數列，即B錯誤；不妨設數列的公差為，易知為定值，所以是公差為的等差數列，即C錯誤；由可得，可得，即D正確；故選：AD12.已知直線，拋物線與拋物線的焦點分別為，則（）A.存在，使得直線過點與B.存在，使得直線與各有1個公共點C.若過與的公共點，則與兩準線的交點距離為D.與的交點個數構成的集合為【答案】ABD【解析】拋物線的焦點，準線，拋物線的焦點，準線，當時，直線過點與，A正確；由消去y得，由，得，此時直線與只有一個公共點，由消去x得，由，得，直線與只有一個公共點，因此當時，直線與各有1個公共點，B正確；拋物線與的公共點為和，當直線經過點時，直線的方程為，直線與交于點，與交于點，這兩個交點間距離為，C錯誤；當時，，與的交點個數為0，當時，與的交點個數為2，當時，直線與的交點各有兩個，而當或時，直線經過了的交點此時與的交點個數為3，當且且時，與的交點個數為4，因此與的交點個數構成的集合為，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題.13.橢圓的離心率為_______.【答案】【解析】橢圓的長半軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故答案為：14.已知點，，若直線的一個方向向量為，則_______.【答案】【解析】易知，顯然方向向量與共線，即，解得，所以；因此可得；故答案為：15.已知正項數列滿足，則_______.【答案】【解析】由可得，由累乘可得.故答案為：16.《測圓海鏡》是金元時期李治所著中國古代數學著作，是中國古代論述容圓的一部專著，如第2卷第8題的“弦外容圓”問題是一個勾股形（直角三角形）外與弦相切的旁切圓問題，已知在中，，，點在第一象限，直線的方程為，圓與延長線、延長線及線段都相切，則圓的標準方程為_______.【答案】【解析】根據題意可知，直線的方程為，由可得，所以直線的方程為，聯立直線和的方程，可得；由圓與延長線、延長線及線段都相切，由對稱性可得圓心在的平分線上，即上；如下圖所示：設，且，由直線與圓相切可得，解得或（舍）；結合圖形可知，此時圓心為，半徑為；因此圓的標準方程為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點，，直線與直線垂直.（1）求的值；（2）若圓經過點，且圓心在軸上，求點的坐標.解：（1）依題意，直線的斜率為，由直線垂直于直線，得，所以.（2）線段的中點坐標為，則線段的中垂線方程為，即，由圓經過點，得圓心在直線上，而圓心又在軸上，所以點的坐標為.18.已知數列的前項和為，.（1）若是等比數列且公比，求；（2）若是等差數列且，求的最小值.解：（1）設首項為，由題意得，且是等比數列，故，解得，則，（2）設首項為，公差為，且是等差數列，故，解得，故，，由二次函數性質得，當時，取得最小值，但一定為正整數，則當時，取得最小值，此時.19.如圖,在四棱錐中,底面是正方形,底面,.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖所示：連接BD，AC，因為底面是正方形，所以,又底面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）建立如圖所示空間直角坐標系：則，，設平面PCD的一個法向量為：，則，即，令，得，則，設直線與平面所成的角為，則.20.已知雙曲線經過點，且的一條漸近線的方程為.（1）求的標準方程；（2）若點是的左頂點，是上與頂點不重合的動點，從下面兩個條件中選一個，求直線與的斜率之積.①關于原點對稱；②關于軸對稱.注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）由題意得的一條漸近線的方程為，故，又，解得，故的標準方程為；（2）若選①，關于原點對稱，由題意得，，，故，則，若選②，關于軸對稱，由題意得，，，故，則，21.已知數列前項和為.（1）若，求和：；（2）若，證明：是等差數列.解：（1）由，得，即數列是等差數列，因此，則，所以.（2）由，得，當時，，兩式相減得，即，顯然有，兩式相加得因此，即，成立，所以數列是等差數列.22.已知F是拋物線C：（）的焦點，過點F作斜率為k的直線交C于M，N兩點，且.（1）求C的標準方程；（2）若P為C上一點（與點M位于y軸的同側），直線與直線的斜率之和為0，的面積為4，求直線的方程.解：（1）由題，，則直線的方程為，，，聯立方程組，得，，，則，拋物線的方程為.（2）由（1），，，設直線MP的方程為，因為直線MN與FP的斜率之和為0，所以P與N關于y軸對稱，，聯立方程組，得，所以，，得，所以直線MP過定點，所以，所以，，，，，所以直線MP的方程為.廣東省河源市2023-2024學年高二上學期期末考試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線與直線平行，則的斜率為（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】將直線化為斜截式可得，易知直線的斜率與直線的斜率相等，即的斜率為；故選：D2.若等差數列中，，則（）A.12 B.14 C. D.【答案】A【解析】設等差數列的公差為，則，解得；因此可得數列的通項公式為，所以.故選：A3.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是的左支上一點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據雙曲線標準方程可知，由雙曲線定義可得，又為左焦點，點是的左支上一點，所以，可得.故選：B4.已知點，，，則原點到平面的距離為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】易知，設平面的一個法向量為，則，解得，取可得；又，所以原點到平面的距離為.故選：A5.在高層建筑中，為了優化建筑結構，減少風荷載影響，設計師可能會將建筑設計成底面樓層高度比較高，隨著樓層往上逐步按照等比數列遞減的“金字塔”形狀，已知某高層建筑共10層，第2層高度為，第層高度記為，是公比為的等比數列，若第層高度小于，則的最小值為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】由題意得，，則，故，由題意得，解得，即的最小值是4.故選：C.6.若圓上到直線的距離為的點恰好有3個，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由圓，可得圓心，則圓心到直線的距離為，要使得圓到直線的為的點恰好有3個，則，可得.故選：A.7.如圖，在正三棱錐中，高，，點分別為的中點，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】在等邊中，因為，可得的高為，所以，在直角中，可得，又因為分別為的中點，可得，在中，可得，所以.故選：B.8.若點既在直線上，又在橢圓上，的左、右焦點分別為，，且的平分線與垂直，則的長軸長為（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】過點、分別作、垂直直線于點、，作的平分線與軸交于，由，故、，則，，由且為的平分線，故，故，又、，故與相似，故，由，令，則，故直線與軸交于點，故，，故，由，故，，故，，由橢圓定義可知，，故，即的長軸長為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.9.若點為原點，且圓與圓沒有公共點，則圓的半徑可以是（）A.1 B.2 C.8 D.9【答案】AD【解析】圓的圓心，半徑，，顯然點在圓外，由于圓與圓無公共點，則圓與圓可以外離，也可以內含，且圓在圓內，設圓的半徑為，于是或，即或，解得或，所以圓的半徑可以是1或9，即AD滿足，BC不滿足.故選：AD10.已知分別為空間中兩條不重合的直線的方向向量，分別為兩個不重合的平面的法向量，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A中，由，可得，則，當時，，所以A錯誤；對于B中，由，可得，則，所以B正確；對于C中，因為分別為兩個不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正確；對于D中，因為分別為兩個不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正確.故選：BC.11.已知數列是等差數列，都是正整數，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.不可能是等比數列C.不是等差數列 D.若，則【答案】AD【解析】由等差數列下標和性質，以及都是正整數，若，則都是正整數，且滿足，所以，即A正確；當數列是非零的常數列時，例如滿足是等差數列，也是等比數列，即B錯誤；不妨設數列的公差為，易知為定值，所以是公差為的等差數列，即C錯誤；由可得，可得，即D正確；故選：AD12.已知直線，拋物線與拋物線的焦點分別為，則（）A.存在，使得直線過點與B.存在，使得直線與各有1個公共點C.若過與的公共點，則與兩準線的交點距離為D.與的交點個數構成的集合為【答案】ABD【解析】拋物線的焦點，準線，拋物線的焦點，準線，當時，直線過點與，A正確；由消去y得，由，得，此時直線與只有一個公共點，由消去x得，由，得，直線與只有一個公共點，因此當時，直線與各有1個公共點，B正確；拋物線與的公共點為和，當直線經過點時，直線的方程為，直線與交于點，與交于點，這兩個交點間距離為，C錯誤；當時，，與的交點個數為0，當時，與的交點個數為2，當時，直線與的交點各有兩個，而當或時，直線經過了的交點此時與的交點個數為3，當且且時，與的交點個數為4，因此與的交點個數構成的集合為，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題.13.橢圓的離心率為_______.【答案】【解析】橢圓的長半軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故答案為：14.已知點，，若直線的一個方向向量為，則_______.【答案】【解析】易知，顯然方向向量與共線，即，解得，所以；因此可得；故答案為：15.已知正項數列滿足，則_______.【答案】【解析】由可得，由累乘可得.故答案為：16.《測圓海鏡》是金元時期李治所著中國古代數學著作，是中國古代論述容圓的一部專著，如第2卷第8題的“弦外容圓”問題是一個勾股形（直角三角形）外與弦相切的旁切圓問題，已知在中，，，點在第一象限，直線的方程為，圓與延長線、延長線及線段都相切，則圓的標準方程為_______.【答案】【解析】根據題意可知，直線的方程為，由可得，所以直線的方程為，聯立直線和的方程，可得；由圓與延長線、延長線及線段都相切，由對稱性可得圓心在的平分線上，即上；如下圖所示：設，且，由直線與圓相切可得，解得或（舍）；結合圖形可知，此時圓心為，半徑為；因此圓的標準方程為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點，，直線與直線垂直.（1）求的值；（2）若圓經過點，且圓心在軸上，求點的坐標.解：（1）依題意，直線的斜率為，由直線垂直于直線，得，所以.（2）線段的中點坐標為，則線段的中垂線方程為，即，由圓經過點，得圓心在直線上，而圓心又在軸上，所以點的坐標為.18.已知數列的前項和為，.（1）若是等比數列且公比，求；（2）若是等差數列且，求的最小值.解：（1）設首項為，由題意得，且是等比數列，故，解得，則，（2）設首項為，公差為，且是等差數列，故，解得，故，，由二次函數性質得，當時，取得最小值，但一定為正整數，則當時，取得最