2024—2025學年安徽省馬鞍山中加雙語學校高二上學期第一次月考數學試卷

一、單選題(★)1.直線的傾斜角是（）

A．B．C．D．(★★)2.已知，，若，則實數λ的值為（）

A．2B．C．D．(★★★)3.為空間任意一點，若，若，，，四點共面，則（）

A．1B．C．D．(★★★)4.我們打印用的A4紙的長與寬的比約為，之所以是這個比值，是因為把紙張對折，得到的新紙的長與寬之比仍約為，紙張的形狀不變．已知圓柱的母線長小于底面圓的直徑長（如圖所示），它的軸截面ABCD為一張A4紙，若點E為上底面圓上弧AB的中點，則異面直線DE與AB所成的角約為（）

A．B．C．D．(★★★)5.在空間直角坐標系中，已知點，若點到平面的距離為，則點的坐標可以是（）

A．B．C．D．(★★★)6.過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

A．B．C．或D．或(★★★)7.如圖，已知正方體的棱長為1，則線段上的動點P到直線的距離的最小值為（）

A．1B．C．D．(★★★★★)8.如圖，在體積為5的多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，，，M為BC的中點，，，．則平面PCD與平面QAB夾角的正弦值為（）

A．B．C．D．二、多選題(★★)9.下列說法是錯誤的為（）

A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大B．直線的斜率為tanα，則其傾斜角為αC．斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等D．經過任意兩個不同的點的直線都可以用方程表示．(★★)10.在《九章算術》中，四個面都是直角三角形的三棱錐被稱為“鱉臑”.在鱉臑中，底面，則（）

A．可能成立B．可能成立C．一定成立D．可能成立(★★★★)11.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉換成圖3所示的空間幾何體，若圖3中每個正方體的棱長為1，則下列結論正確的是（）

A．點到直線CQ的距離是B．C．平面ECG與平面的夾角正弦值為D．異面直線CQ與BD所成角的正切值為三、填空題(★★)12.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是________．(★★)13.已知直線在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是___________．(★★★★)14.閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為______．四、解答題(★★★)15.已知直線的方程為．(1)求直線過的定點P的坐標；(2)直線與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于點A，B，當面積最小時，求直線的方程；(★★★)16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一點滿足平面．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．(★★★)17.在直三棱柱中，與交于點是的重心，點在線段（不包括兩個端點）上.(1)若為的中點，證明：平面；(2)若直線與平面所成的角正弦值為，求.(★★★)18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，．E為PD的中點，點F在PC上，且，設點G是線段PB上的一點．(1)求證：CD⊥平面PAD；(2)若．判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由．(3)設CG與平面AEF所成角為，求的范圍.(★★★★)19.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數軸構成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現有一種空間斜坐標系，它任意兩條數軸的夾角均為，我們將這種坐標系稱為“斜坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜坐標系”下向量的斜坐標：，，分別為“斜坐標系”下三條數軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序實數組相對應，稱向量的斜