雙語國際教育版

系統分析的數學工具

——工程矩陣理論

（適用于數學專業和其它理工科研究生）

倪郁東編著

合肥工業大學數學學院

目錄

第一章線性空間與線性變換1

§1.1線性空間1

§1.2線性變換及其矩陣3

§1.3內積空間8

§1.4正交變換及其幾何與代數特征

§1.5應用于小波變換的框架理論15

第二章矩陣的標準形理論

§2.1線性變換的特征值和特征向量29

§2.2矩陣的相似對角化32

§2.3特征矩陣的標準形34

§2.4矩陣的成7〃標準形34

§2.5矩陣的最小多項式

第三章矩陣分解29

§3.1Gs/防消去法與矩陣三角分解29

§3.2矩陣的QR分解32

§3.3矩陣的滿秩分解34

§34矩陣的奇異值分解34

§3,5矩陣分解的應用

第四章矩陣范數理論及其應用16

§4.1范數與賦范線性空間

§4.2向量范數及其性質17

§4.3矩陣的范數18

§4.4范數的應用19

第五章矩陣分析及其應用20

§5.1矩陣序列20

§5.2矩陣級數21

§5.3矩陣函數22

§5.4矩陣的微分和積分25

§5.5矩陣函數的一些應用26

§5.6梯度分析和最優化27

第六章特征值估計及極性38

§61特征值的估計38

§6.2廣義特征值問題40

§6.3對稱矩陣特征值的極性41

§6.4廣義特征值分析的應用42

第七章廣義逆矩陣43

§7.1投影矩陣43

§7.2廣義逆矩陣46

§7.3總體最小二乘方法49

第八章Matlab中的矩陣運算簡介50

§8.1根本矩陣運算50

§82矩陣分解52

§8.3廣義逆矩陣和解線性系統54

參考文獻57

編著者說明

1、體例格式為：知識要點，章節內容，各章習題。

2、章節內容包括：定義，結論，例題，定理，推論，注記。其中，定理和例題均有證明或解答，而結

論和推論那么不加詳述。

刖a

矩陣的概念和理論已被廣泛地應用于現代科技的各個領域，有力地推動

著現代科學技術的開展。矩陣的思想方法，被廣闊的科技工作者所掌握和應用

（矩陣切換器，線性控制理論），尤其是計算機科學家和控制科學家愛不釋手的

重要工具。

矩陣的概念脫胎于行列式的形式，是作為表達線性方程組的簡單記法而產

生的，但其開展的歷史卻耐人尋味。為了求解線性方程組，1693年萊布尼茨

首次使用行列式概念，1750年克拉姆法那么創立，1820年高斯（G"ss）

提出消元法（這是一種根本而又重要的方法，廣泛用于線性方程組的求解，

更重要的是由此凝煉出了矩陣初等變換的根本方法），但矩陣的概念一直沒

有形成。雖然，1801年高斯已把一個線性變換的全部系數視作一個整體，而

愛森斯坦因（氏也加加）在1844年就討論了線性變換及其乘積，并強調了乘法次

序的重要性。直到1851年，西爾維斯特（SWws/s）首先提出使用二維數表的符

號表示線性方程組，才引入了矩陣的概念。將矩陣作為一個獨立的數學對象進

行的研究，開始于1855年以及其后凱萊（。今的，）發表的一系列研究矩陣理論的

文章。在這些文獻中，他引進了關于矩陣的一些直至現代仍通用的定義，如

矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、矩陣的和、一個數與一個矩陣的數量積、矩

陣的乘積（并且注意到：矩陣的乘法是可結合的，但一般不可交換，且〃?x〃矩

陣只能用〃x,〃矩陣去右乘）、矩陣的逆、轉置矩陣、對稱矩陣等，并借助于行

列式定義了方陣的特征方程和特征根。1858年凱萊發表了《關于矩陣理論的

研究報告》，證明了一個重要結果：任何方陣都滿足它的特征方程。這個結果

現被稱為凱萊―哈密頓定理。由于正是由于這些奠基性的工作，凱萊被認為

是矩陣理論的創始人。

當然，在矩陣理論之中，也積淀了其它眾多科學家的卓越奉獻。埃米特

證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特征根的特殊性質，如現

在稱為埃米特矩陣的特征根性質等。后來，克萊伯施（C/e加M）、布克海姆

（版動也油）等證明了對稱矩陣的特征根性質。泰伯（Taber）引入矩陣的跡的概

念并給出了一些有關的結論。

在矩陣論的開展史上，弗羅伯紐斯（》仍的汝,）的奉獻是不可磨滅的。

他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交

矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以符合邏輯的形式整理了不變

因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合司矩陣的一些重要性質。

1870年，約當（心血〃）研究了矩陣化為標準形的問題，建立了著名的約當

標準型理論。1892年，梅茨勒（A/e口夕）引進了矩陣的超越函數概念并將其

寫成矩陣的邪級數的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限

階矩陣問題，這主要是適用方程開展的需要而開始的。

到19世紀末，矩陣理論已日臻完善，但其應用并不十分廣泛，這主

要歸因于大規模線性方程組求解問題的計算復雜度太大，難以手工進行下

去。進入20世紀之后，當人們漸漸以為有限維度的矩陣理論和方法已經終結

的時候，計算機技術出現了，這使得矩陣理論獲得新生。

矩陣本身所具有的性質依賴于元素的性質即相互關系，矩陣由最初作

為一種工具經過一個多世紀的開展，現在已成為獨立的一門數學分支——

矩陣理論。而矩陣理論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論

等矩陣的現代理論。矩陣及其理論的應用是多方面的，不僅在數學領域里，

而且在力學、物理、科技等方面都十分廣泛的應用。這些應用主要集中于線性

問題表示、計算與分析，以及非線性問題的線性分析與處理。

矩陣理論開展示意圖

1820年高斯（G〃〃ss）提出消元法

1851年西爾維斯特（Sylverster）創立矩陣的概念

-1870年約當（4”向〃）創立標準形理論一

\I7M夕11-1?TVI\I，＜〃，＜■"，〃”,、]/I]^T~侖

1892年，梅茨勒（Maz/o）創立矩陣函數理論

第一章線性空間與線性變換

知識要點：

1、線性空間的概念（數域、線性運算封閉性、線性運算公理），結構（線性無關、基、維數，向量在

基下的線性表示和坐標），過渡矩心和向量的坐標變換（可按形式矩陣乘法直接表示）。

2,線性空間同構的概念（可自學）。

3、線性子空間的概念（定義與充要條件，生成子空間，交空間，和空間，維數定理，直和與直和分解

定理）。

4,線性變換及其矩陣表示（定義與運算，象空間、核空間和不變子空間，線性變換在基下的表示:變換

與矩陣一一對應、不同基下矩陣相似，線性變換下向量的坐標：變換矩陣左乘向量坐標）。

5,歐氏空間與酉空間（內積、范數與距離，正交基、正交陣與酉陣，正交補與正交分解）。

6、正交變換及其特征（正交變換及其線性性，正交變換的幾何特征，正交變換的矩陣特征）。

7、應用于小波變換的框架理論（對偶框架，緊框架，Riesz基）。

§1.1線性空間

一、線性空間的概念

定義1：設非空集合V相對于數域尸具有封閉的加法和數乘運算，并且具有與任何元素之和仍為該元賣

的零元素，同時每個元素均具有與其之和為零元素的負元素。假設V中運算滿足加法結合律與交換律、

數乘結合律與分配律、乘1不變性，那么稱V為數域P上的線性空間。

注1:數域是指對加減乘除四那么運算封閉的數集，如有理數集、實數集、復數集等。

注2：易證零元素和負元素均是唯一的。

例1：數域P上的〃維（列）向量空間P”。

按〃維向量的線性運算，P”構成數域2上的線性空間。

例2：P"中的子集S={x|O=0}。

按產中的線性運算，非空子集S是封閉的，從而構成數域。上的線性空間。

例3：數域P上的"IX〃階矩陣空間P"*"。

按mx〃階矩陣的線性運算，構成數域P上的線性空間。

例4：數域P上的多項式空間

按多項式的線性運算，Pfx]構成數域P上的線性空間。

例5：區間僅，物上的實值連續函數空間C[a,加。

按函數的線性運算，q”,勿構成數域尸上的線性空間。

例6：P'

例7：

二.線性空間的結構

定義2：設囚,見，…,名為數域尸上的線性空間V中的一組向量，假設有P中不全為零的一組數

k\，h，…,k,,使得+…+仁4=。，那么稱《,巴，,，氏線性相關，否那么稱為線性無關。

定義3：設線性空間V中有一組向量因,%，…，％，滿足：

(1)%,。2,…,生線性無關;

(2)丫中任一向量均可由4,%，…,巴線性表示。

那么稱四,巴,?，區為V的一組基，數「稱為V的維數，記為小〃iV.

結論1：設四,見，…，%為數域?二線性空間V的一組基，那么對于任何向量4eV,存在唯一一組數

4,&2,￡P,使得6=仁4+22a2+…從而

V={k}ai+k2a2++人外|匕,內,人￡2}。

將P記為(6,%?稱為夕在基岡,％，…，巴下的坐標。

注：線性空間的基可以理解為空間中的一種參照系，能將所有元素線性表示出來。

例6：(1,0,.???O)。(0,1,??,0)7,(0.0,???.D7'為產中的一組基，dimP''=nx

'10...0>1o]’00...0、

00…0000000

，…,為pnxn中的一組基，

0...()/00；、()0???1；

<0/wxn<0Z/MXM

diinP,,,x,1=mn；

1,兀X?,V"為P[.t]p中的一組基，dimP[x]n=n；

…中任意有限個向量均為CS,句中嫉性無關的向量組，因而C[a,以不是有限維空間V

注：有限維空間的基不是唯一的，但其維數是唯一確定的。

三、過渡矩陣和向量的坐標變換

定義4：設多,%，…，&和4，62,…，仇為線性空間V中的兩組基，愎設

那么矩陣P=(pQ”稱為從%4,…,見到片，人，…，片的過渡矩陣。

將上述基變換表達式簡記為(川，尺,?，月)二(%,a2,,%)P,稱之為基變換公式。

定理1：線性空間基之間的過渡矩陣是可逆的。

證明：設從基岡,火，…,4到基四,42,…,凡的過渡矩陣為尸，那么

(片‘62‘，’片)=(%‘。2,…'%)產。

k、

k

對于任何列向量依,內,?，尤y,p,2=o時，

（6次,…4）?\=。。

/Jb

由比可得卜=0,從而過渡矩陣P是可逆的。

推論：設戶為%,%…多到凡民，…血的過渡矩陣，那么練外…血到四,%，…，?，的過渡矩陣

為p-二

證明：設々,氏…久到%％,,外,的過渡矩陣為。，那么由

（01，02'…,Bn）=…,a）P，a）=1B1,02,…,Bn）Q

可得（可血，…4）=（q,%…，％）P=（4％…，片）QP，從而QP=E,即0=尸。這說明

4,四，…，月到即見，…，％的過渡矩陣為PL

Ai

4出

定理2：設向量a在基岡,%，…,%和月，兒，…，耳下的坐標分別為和,P為4,%,,??,區

、4J

到綜&…血的過渡矩陣,

證明：由.a,），4）二（%/，0.）P得,

固

(，q,%,%)、A.=，(%%，

注：上述公式稱為向量在不同基下的坐標變換公式。

例9：驗證e=1,%=工。3=d和4=1,尸2=3一1，43=（x-l）.均為PLQ中的基，并求前一組?基到

后一組基的過渡矩陣，以及〃=l—2x—3V在后一組基下的坐標。

解：考察+23。3=0，即4+攵2工+&/三。對任何數上成立，那么由多項式理論可知

"卜=卜3=0.因而4,見，。3是線性無關的，并構成巴總）的一組基。

口-11]

由必=1=四,四=x-l=—四+%，笈=。一1）~二四一加2+%及〃=01-2可逆知，

2。L

仇艮、區也構成尸次h的一組基，并且囚,%，％到才,人，&的過渡矩陣為?。

由〃二1一2工-3/=-4-8（工一1）一3（；1-1）2=—44-8四一34可得，〃在回,/??，夕3下的坐標為

3

-80

[3,

II1、<111],1、

注：也可先求出P7=012,再計算出012-2=-8

10

<001

。b?

例10：R,的兩組基分別為

%=(1,1,2,1/,%=(0,2,1,2)7,4=(0,0,3,1)\%=(0,0,0,4尸,

rrTr

A=(l,0,0,0)^2=(l,2,0,0)，A=(0,0,l,l),A=(0,0,-l,l),

試求即見，%，a4到B\、魚、。3、A的過渡矩陣。

解：設（片,外鳳,女）=（q,%,%%）P，那么%%至U%、氏四，凡的過渡矩陣

ooOY7I100]1100、

1

12000200J~200

-11512

213000I’65

-111

J214乂001246'6/

四,線性子空間的概念

定義5：設W是線性空間V的非空子集,假設卬關于V中的加法和數乘也構成線性空間，那么稱W是

V的一個線性子空間。

子空間判別定理：線性空間V的非空子集W為V的子空間的充分必要條件是W對V中的線性運算封

閉。

結論2：設匕、匕為V的子空間，那么匕與匕的交耳。匕也是V的子空間，稱為交空間。

例11：設耳=34/=。},匕=34管=0},那么乂1%=343=0,4"=0}。

結論3：設匕、匕為V的子空間，那么匕與匕的和丫+匕={?+%|%￡匕，％￡匕}也是曠的子空

間，稱為和空間。

rr

例12：設%=（2,—1,0,1），%=（1，T，3,7）7,4=（l,2,l,0）,/72=（-lJJ,l）,

Vt=Span{a^a7},V,=Span{/3^p-,},求匕。匕、吊+匕及它們的一組基。

jt

解：任取aw/n%，那么a=k0[+k2a2=+歐2,即（如%，一凡-夕2），=°。

4

d

解之得，=J（-3,L-L4）、從而a=。（-5,2,3,4尸,k2eRo

由比可得，匕0%=★（-5,2,3,4）半€4，（一5,2,3,41為其一組基。

任取aeV）+匕，那么a=攵四+&%+/血42，因此乂+匕=5%〃{1,4,凡62}。日

??（。1，4,笈）=/?（%，。2，片，42）=3可知，6，火,夕|為匕+匕的一組基。

維數定理：dim（V}）+dim（V2）=dun（V}+V,）+dim（V}PI%）。

證明：設小〃7（匕）=，幾d淅（匕）=幾4油（上（％）=/,取v,n%的一組基岡,巴，，，囚，并將其分別

擴展為匕和匕的基：%%,??,,即%+,??,%?,a"…,0i

考察3+…+k/m+k*i0i+…+km叩RE=0,

由4/++《〃％,=—（勺廿盟++匕討,10ft_1）可知,右端屬于匕n%可由%,％，…,名線性表示，

即有_（心血++L,iZLj=4a++4?，整理后得到

4。1+…+4。/+（”+園++%+吁瓜_1=0。

由即…，即用…,力一的線性無關性可得，4=...=4=&,向=一=3+,1=0，從而

4%+???+《/=。。

再由四，…,名”的線性無關性可得，k尸…=l“=*=?.?=j=U,從而向量埋

名,…,多,線性無關，并構成乂+匕的一組基。由此可得,

dim（V[+V,）=n+m-l,并且dim（Vj+dim（V、）=diin（Vx+V2）+dim（Vl「匕）。

定義6：設匕、匕為V的子空間，假設K+匕中每個向量a的分斛式「=%十%是唯一的，那么春

K+匕為匕與匕的直和，記為M十匕。

直和判別定理：乂+%=匕十匕=KrK={0}o疝九(K)+dim(匕)=dim(匕+匕)。

證明：假設匕+匕是直和，假設存在。￡匕(1匕,。工0,那么。￡片,一。€匕，并且0+(—2)=0,日

零向量分解式的唯一性可得，1=0,這與假設矛盾，因此而乂=匕={0}。

假設“匕={0},假設匕+匕中向量a的分解式不唯一，即存在?血￡匕，

a產B\，a2手區、使得a=%+4=%+⑸。由此可得，6-%=四一夕?￡片「匕，從而

。「網=仇-d=0,即/=%,%=氏，這與假設矛盾，因此匕+匕是直和。

注1：V；+匕為百和的充要條件為某一向量(包括0)的分解式唯一。〔設分解式。=必+%是唯一的.

那么對于0的分解式0=幺+&，a=a+0=(4+4)+(4+四)，由此可得，4=0,夕2=°，因此

0的分解式唯一)

注2：匕、匕的基合并在一起構成K+匕的充分必要條件是乂+匕為直和。

直和分解定理：設匕為v的子空間，那么存在v的子空間匕，使得V=K十匕。

證明：取匕的一組基四,心,…,4，將其擴展為V的一組基%。令

匕=5/%〃{?討??，?"},那么匕。/={()},因此V為匕和匕的直和。

注1：假設囚,火，…,%為V的一組基，那么V=??a〃{q}十曲〃〃{4}十十?〃〃{%},但

1

{q}L.Span{a2\\J-■JSpan{a0}遠充不滿線性空間V0

注2：直和分解的意義還在于符大規模的線性運算分解成較小規模線性運算的線性組合，這將大大加快

線性運算的速度，傅立葉(Fourier)變換的快速計算就是建立在這種思想上的。

§1.2線性變換及其矩陣

一.線性變換及其運算〔定義與運算、構成線性空間)

線性變換是線性運算和運算具有線性性的共性化的概念，其本質是像的線性運算與原像的線性運算

可以互相轉換。如〃維向量的線性變換、函數的微分和積分運算均為線性變換。

定義1：設7是數域尸上線性空間V到V(或另一線性空間)中的映射，假設對任何/IGP,

總成立著丁(。+。)=加+77九T(Aa)=A(Ta),那么稱T是V上線佳變換。

例1：對于

結論1：線性變換的加、減、乘、數乘和逆運算仍為線性變換，按線性運算構成線性空間L(V)。

注：線性變換的研究與其他許多數學對象一樣，常常是從運算性質、特殊區域上的表現、運算表達式等

方面著手的。

二、象空間、核空間和不變子空間

定義2：T(V)={Tx\xeV}tKe")={x|7k=0,xeV}。

定理1：dimT(V)+climKer(T)=dim(V｝。

證明：取K”(T)的一組基因。”?，囚，并將其擴張為V的一組基火，,勾,火+”那么對于任

何V，a=攵烏+…+號《+???/“％,總有Ta=kMTal+i+??■+knTalt,從而

T(V)=Saw{T*…,Ta“}0

對于4+了%+i+…+47%,=0，由r(4+。川+…+4a“)=。可知，

4.臼+1+???+41a“eKer(T),從而可由名,火線性表示，即

4.1。/+1+'''+4%=4％+4,2+?一+〃。/，再由囚，的線性無關性可知，

41==A,=0.從而7囚+”…,r%線性無關。由此可知，//+卜構成7(V)的一組基，因

此dimT(V)=n-l,從而dimT(V}+dimKer(T)=dirn(V)。

定義3：假設7(W)uW,那么稱W為丁的不變子空間。

注：不變子空間是線性變換的屬性在定義空間上的反映，不變子空間中線性變換的性質獨立于其它范圍

中的性質，因此尋找適宜的不變子空間是性質分析的重要的內容。由特征向量生成的子空間就是一個不

變子空間，特征向量的方向就是線性變換的信號增益通道。

結論2：7(7),Ker(T)均為7的不變子空間。

三、線性變換在基下的矩陣表示

定義4：設7為線性空間V上的線性變換，假設V的一組基",/，…，2在7下的像為

%+…+?同

■"2=42。+%2”+…+42緣，那么稱A=(%)“e/X"為7在弓鳥,…,e”下的矩陣表示，并將上述

%=，/+。2怎++%/“

表達式記為T&l/，…，〃)=(地,702「??，%)=(與，《2―”，〃)4。

注：人不一定可逆，但A可逆時7＞「丁，?…?Te”也構成一組基c

結論3：L(V)與P”'同構。即L(V)中線性變換與尸心"中矩陣一一對應，并且保持對應的線性變換。

注：這說明除具體形式和符號不同以外，從線性運算的角度看，兩者沒什么區別。即同一個本質，具有

兩個不同的表現形式。

定理2：設四,和片,…，月為線性空間V中過渡矩陣為P的兩組基，線性變換丁在這兩組

基下的表示分別為A8,那么A=pT4P,即A8相似。

證明：由7(6,=(%,%，…，%)A，T(0\、4,…,0)=電,％…,0)B,

(4月2,…血)=(%%,a〃)P可得，(%%…,4)=(晶尾,…,月)產'，

從而3=/TAP,

注：定理的意義還在于，可將矩陣的相似化理解為線性變換在不同基(或參照系)下的轉換。

a,ala,a,

例2：設線性空間V為由基函數內=ecosbt,x2=esinbt,xy=tecosbt,x4=tesinbt生成的實數城

上的線性空間，令

a,a,a,a,

y=ecosb(t-1),y2=esinb(t-1),y3=tecosb(t-1),y4=tesinb(t-1)0

(1)證明：y,%，為，%也為V的一組基；(2)求到%,工2，工，匕的過渡矩陣；(3)求微分

算子。在基玉,工2，工3，七下的矩陣。

aa

解：)'i=e'cosb[t-1)=e'[cosbt-cosb+sinbt-sinbI=x(-cosb+x2-sinb,

au,

y2=e'sinb(t-1)=e[sinbt-cosb-cosbt-sinb]=-xy-sinb+x2?cosb,

a(

乃=te'cosb(t-1)=te"[cosbt-cosb+sinbtsinb]=x3-cosb-x4-sinb,

a,

y4=te^sinb(t-1)=te[sinbt?cosb-cosbt-sinb]=-x3?sinh+x4?cosb。

(cosb-sinb00\

sinbcosb00

由此可得，（y1,%，/，％）=（X,%，￡，%）0

00cosb-sinb

<o0sinbcosb/

cosb-sinb00'cosb--sinb00、

sinbcosb00sinbcosb00

⑴由=1工。可知，可逆。因此，

00cosb-sinb00cosb-sinb

00sinbcosb<o0sinbcosb/

）1，）’2，為，以線性無關，從而構成V的一組基。

-1/

(cosb-sinb00、cosbsinb00、

sinbcosb00-sinbcosb00

(2)—為加%，%，%到西，W，%'

00cosb-sinb00cosbsinb

<00sinbcosb)00-sinbcosb)

的過渡矩陣o

a,a,「

（3）Dx[=aecosbt-besinbt=axbx2,

1

DX2=ae^sinbt+be"cosbt=bx}+ax2,

a,a,a,

Dxy=ecosbt+atecosbt-btesinbt=玉+axy-bx4,

a,a,a,

DX4=esinbt+atesinbt+btecosbt=x2+bx3+ax4o

"ah1、

由此可得，微分算子。在基內,羽，&,七卜的矩陣為A=|。

ab

、~b%

四.線性變換下向量的坐標

在線性空間中，由于每個向量均能表示成一組基的線性組合，因此向量在線性變換下的像將由基的

像來決定。

結論4：設囚,%，,%為線性空間V的一組基，線性變換了在基岡,％，…，%下的矩陣表示為A,向

量a在此基下的坐標為（￡,&,，（）'，那么7'a的坐標為A（K&,，工了。

例3：

§1.3內積空間

一、內積空間的根本概念

定義1：設V是實數或復數域尸上的線性空間，假設對任何向量都存在尸上確實定數*,），〉，

滿足以下條件：

（1）<x,x>>0,等號成立當且僅當x=0：

⑵〈a-x+/??），,z〉=a（x,z〉+￡〈y,z〉；

⑶〈x,y〉=（y㈤。

那么稱〈X,），〉為X與），的內積，V為內積空間。特別P=R時，V稱為歐氏空間；P=C時，丫稱為

酉空間。

顯然，內積空間中具有兩種相容的根本運算：線性運算和內積，其中內積運算具有線性性。內積運

算雖然不是封閉的，但可視為元素的示性運算。

例1：常見的內積空間產，產1NC］。

結論1：對每一個xeV,令帆=q〈x,?,那么帆為一個實數，并滿足：①同NO，當且僅當匯=0

時等號成立，②|M|=|創用awP,③帆，即可兩成V上的一個范數，稱為內積誘

導的范數，V構成賦范線性空間。

注：假設定義d（x,y）=卜一耳，那么d（x,.y）具有正定性、對稱性并滿足三點不等式，從而d（x,），）構

成V上的一個距離，稱為內積誘導的距離，V構成一個距離空間。

Schwarz不等式：）'〉|?卜||，||）'||，等號成立當且僅當x與），線性相關。

證明：不妨設），H0,由a-線義yx-在可得，

\yyy）

〈羽》一?叫“0,從而|〈尤），〉『,

3）?

并且等號成立當且僅當",y〉x—〈乂），〉），二0即x與），線性相關。

二、正交基

1、正交向量組與Schmidt正交化

定義2：設V是內積空間，蒼ywV,假設〈x,y〉=0,那么稱x與y正交，記為x_L），。假設丫中非零

向量組四,%，…，。〃兩兩正交，那么稱為正交向量組。

結論2：正交向量組必是線性無關的，線性無關向量組必可5。/"而由正交化。

〈心，

a

對于線性無關向量組，令尸1=%，Pl~2-P\'…,

仇=?，一告細氏-L…-你一賓4,那么四，%，…，%是與《，%，…，%相互等價的正交向

(Pn-WPn-V，內Pv

量組。

例2：試將內積空間回中向量i,x,f正交化。

a

解：設四=1,a2=xt%=工2,令方=6，^2=2-Tn~^n\^)

〈%Pv

鳳=a「鋁條兒一條那么笈=1，人=14,四=/7+卜

VV㈤3，/￥26

2、標準正交基

定義3：設囚,見，…，6為〃維內積空間V中兩兩正交的單位向量組，那么稱弓,鬼，…，氏為V的標注

正交基。

結論3：任何有限維內積空間總有標準正交基，標準正交基下向量的內積為對應坐標在P”中的內積。

結論4：標準正交基之間的過渡矩陣尸是酉矩陣或正交矩陣，即P"P=E。

推論：酉空間或歐氏空間中標準正交基之間的過渡矩陣為酉矩陣或正交矩陣。

注：可通過構造酉矩陣或正交矩陣來建立新的標準正交基。

結論5：方陣為酉矩陣(正交矩陣)的充分必要條件是其列向量組構成C"(R")中的標準正交基。

三.正交分解

定義4：假設DaeA,有xJLa,那么稱x與A正交，記為x_LA。假設DaeA,Z?e3,有。_L。，

那么稱A與8正交，記為A_LB。

定理：設匕匕為內積空間V的子空間，并且匕1匕，那么乂+匕是直和。

證明：任取awV,。％,那么aeV；,ae%。由V,J.匕可得，〈a,a〉=(),從而a=0,因此

耳。％={0},從而乂+匕是直和。

結論6：WL={a|a_LW,a￡V}為丫的子空間，稱之為W的正交補空間。

正交分解定理：對于任何V的子空間W,總有V=W十W\

22

例3：在歐氏空間臚2中的內積定義為(AB)這￡叫(A=(%%2,B=(%).),

/=|>1

(\n(on.

設A=[oo)4=[iJ,令w=sps{A，AJ,

求(i)w1"的一個基；(2)將A，4擴展為R"2=w+w，的一個標準正交基。

」丫b、rorh

解：⑴由〈>=0,<)=0,

<0oj\d.JLd

即a+/，=O*+c+d=O,解之得(a,4c,d)'=c(l,—1,1,0)'

由此可得，4=

⑵/1fl。

四.最小二乘法

定義：

定理：

r

最小二乘法定理：設q,/，???，4，〃均為加維列向量，假設x=(xI,x2,...,xn)er使得

M-(N4+天々2+…+七4)||到達最小，那么A'Ar=Ab，其中A=(tzpa2,---,an)。

2rT1T

證明：由口〃一+x2a2+?-?+xnan)||=(/?-Ar)(/?-Av)=xAAx-217Ax+bb可得，

^b-{x}a}+x2a2++x〃a”)口到達最小時，x滿足A「Ar=A%。

||Z?-(x1?I+x2a2++x“a")||的最小值為0時，入滿足Ar=。；

心一(M4十占里十??十的最小值大于。時，由尺(A「A)=A(A’)可知，對于任何he/T,

/fAr=A)總是有解的。

710](1、

例4：設A=I2i,b=1,求Ax=〃的最正確解。

JS

<23

§1.4正交變換及其特征

一、正交變換的概念

定義：設廠是內積空間丫到V中的映射，假設對任何xywV,都有＜笈,7)，＞=＜%)，＞,那么稱T是

V上的正交變換。

注：正交變換保持內積運算不變。

性質：正交變換必為線性變換；

證明：對任何蒼ywV,

+v>+vx,y>—vy,x+y>+vy,x>+vy,y>=0。

由此可得，對任何x,y￡V,T(x+y)=Tx+Ty0

對任何xeV,2GP,

由此可得，對任何xtV,2eP,T(Ax)=ATxo

二.正交變換的特征

定理1：線性變換為正交變換的充分必要條件是在標準正交基下的矩陣為酉矩陣或正交矩陣。

證明：

注：標準正交基之間的過渡矩陣為酉矩陣或正交短陣，因此可利用正交變換來構造新的標準正交基。

定理2：線性變換為正交變換的充分必要條件是將標準正交基變為標準正交基。

證明：

推論：向量在正交變換基下的坐標等于在原標準正交基下的坐標左乘過渡矩陣（也即正交變換系數矩陣）

逆矩陣（也即轉置矩陣）。

注：標準正交基之間的過渡矩陣恰好對應著一個正交變換。

定理3：線性變換為正交變換的充分必要條件是保持長度不變。

證明：

注：保持長度不變的線性變換也保舟夾角不變。

三.正交變換的幾何作用：二維和三維空間中的旋轉、反射變換。

I、二維空間中的旋轉變換

對于任何（x,yw川，設7（x,y）r=（xcosO+ysinO,-xsinO+ycosO）r，那么正交變換T是*°

的旋轉變換。

/b/、7（cosOsin（）\

事實上，假設設q=1,0,當=0,1）,那么7在q,e,下的矩陣為A=.八八。

<-sinOcosO）

由比可知，r是x軸逆時針旋轉。的正交變換。

2,三維空間中的旋轉變換

對于任何（x,y,z）TeR，,設

7T

T(x,y,z)=(xcosycosO-ysinO-zsinycosO,xcosysinO+ycosO-zsinysinO,xsiny+zcosy)那么

正交變換了是內中的旋轉變換。

事實上，假設設0=（1,0,0）7,e2=（0,1,0）/,G=（0,0，l）,那么/在6，6,%下的矩陣為

cosycosO-sinO-sinycosOy

A=cosysinOcosO-sinysinO

、siny0cosy,

由比可知，r是X軸旋轉（仇7）、）軸旋轉6、Z軸旋轉y的正交變換。

3、二維空間中的反射變換

對于任何（x,y）,￡店，設（&）,）『二（r,），）/，弓二（1,0）T，s=（0,1），那么正交變換工是片d

f-10、

關「丁鈾的反射變換，基?6下的矩陣為A=[oJo

設那么正交變換心是解中關于坐標原點的反射變換，基4,S下的矩陣為

設7；（X,、￥=（LX），那么正交變換7；是R2中關于對角線y=x的反射變換，基令G下的矩陣為

<01）

AR=o

Uoj

4,三維空間中的反射變換

對于任何（x,y,z），￡R，,設7[x,），,z）7=（y,x,z）‘，那么正交交換7是內中關于平面y二k的反

射變換，基0=（1,0,0）',S=（0，1，0），63=（0,0，1）'下的矩陣為

’010、

A=100o

、。。b

注：任何正交變換總可分解為一系列旋轉和反射變換的復合。如，A二一一’對應的正交變

sinO-cosO

（cos（）sin（）\（~\0）

換就是對應的旋轉和對應的反射的復合。

、一sinOcosO）（0-1,

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