高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省綿陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名用0.5毫來果色簽字筆填寫清楚，同時(shí)用2B鉛筆將考號準(zhǔn)確填涂在“準(zhǔn)考證號”欄目內(nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用榢皮擦擦干凈后再選梌其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束后將答題卡收回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線的斜率為，則直線的一個(gè)方向向量，對于A，因，即向量與共線，A是；對于B，因，即向量與不共線，B不是；對于C，因，即向量與不共線，C不是；對于D，因，即向量與不共線，D不是.故選：A.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為.故選：C3.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則，則，因此，.故選：B.4.已知，兩點(diǎn)到直線：的距離相等，則（）A. B.6 C.或4 D.4或6【答案】D【解析】點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到直線的距離相等，所以，所以或.故選：D5.科技博覽會需從5個(gè)女生（分別記為，，，，）中選2人參加志愿者服務(wù)，已知這5個(gè)人被選中的機(jī)會相等，則被選中的概率為（）A.0.25 B.0.4 C.0.5 D.0.75【答案】B【解析】由題意若被選中，則只需從其余四個(gè)人中再選一個(gè)人即可，所以被選中概率為.故選：B.6.在平行六面體中，，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中，，若，，，則，則，所以，.故選：A.7.如圖，定圓的半徑為定長，是圓外一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn).線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)的軌跡是（）A.射線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓【答案】C【解析】連接、，如圖所示：因?yàn)闉榈拇怪逼椒志€，所以，所以為定值，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以，根據(jù)雙曲線定義，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長的雙曲線.故選：C.8.如圖，已知菱形所在平面與矩形所在平面相互垂直，且，為線段的中點(diǎn).則直線與的所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)菱形對角線相交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，又為矩形的邊的中點(diǎn).所以，又面面，，面，所以面，所以面，又面，所以，所以兩兩互相垂直，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，，則，所以，所以，所以直線與的所成的角為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A.將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面B.若非零向量，，滿足，，則有C.與一個(gè)平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量D.若，，為空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面【答案】AC【解析】對于A，由單位向量的定義：長度為1的向量，可得將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故A正確；對于B，若非零向量，，不共面，則取為平面的一組基底向量，為平面的法向量滿足，，但不共線，故B錯(cuò)誤；對于C，由法向量的定義可知與一個(gè)平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量，故C正確；對于D，因?yàn)椋裕狞c(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下面敘述正確的是（）.A.這組數(shù)據(jù)是近似對稱的 B.數(shù)據(jù)中可能有極端大的值C.數(shù)據(jù)中可能有異常值 D.數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同【答案】BCD【解析】一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，說明數(shù)據(jù)中有極端大的值，也即異常值，眾數(shù)只是比較多的數(shù)據(jù)，可以與中位數(shù)相同，這組數(shù)據(jù)顯然不可能近似對稱，A錯(cuò)，BCD正確．故選：BCD．11.某電商平臺對去年春節(jié)期間消費(fèi)的前1000名網(wǎng)購者，按性別等比例分層抽樣100名，并對其性別（（男）、（女））及消費(fèi)金額（（消費(fèi)金額>400），B（200<消費(fèi)金額≤400），（0<消費(fèi)金額≤200）進(jìn)行調(diào)查分析，得到如人數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則下列選項(xiàng)正確的是（.這1000名網(wǎng)購者中女性有490人 B.C. D.【答案】BC【解析】對于，由表格可知，在樣本中女性占比是，所以估計(jì)這名網(wǎng)購者中有480名女性，故錯(cuò)誤；對于，表格中可知共有35名，所以，故正確；對于，包含的樣本有17個(gè)，所以，故正確；對于，包含個(gè)，故，故錯(cuò)誤.故選：BC12.設(shè)橢圓：（）與雙曲線：（，）有相同的左右焦點(diǎn)且分別為，，離心率分別為，.設(shè)與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且滿足，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】設(shè)，，則，解得，即，故B正確；顯然，可得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，且，即，整理得，則，即，故D正確；因?yàn)椴缓銥?，所以不一定垂直，故C錯(cuò)誤；故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線：與直線：.若，則______.【答案】2【解析】因?yàn)椋裕獾?故答案為：2.14.利用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從個(gè)個(gè)體（）中抽取15個(gè)個(gè)體，若第二次抽取時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為______.【答案】【解析】第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽取到的概率為，則，解得，所以在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.故答案為：.15.已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，且的面積為（為雙曲線的半焦距），則的漸近線方程為______.【答案】【解析】如下圖所示：雙曲線的漸近線方程為，即，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，則，由勾股定理可得，易知為的中點(diǎn)，則，即，可得，即，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16.如圖①是直角梯形，，，是邊長為2的菱形，且，以為折痕將折起，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)的位置時(shí)，四棱錐的體積最大，是線段上的動點(diǎn)，則面積的最小值為______.【答案】【解析】折起前，連接菱形的對角線，交于點(diǎn)，所以，所以折起后有，因?yàn)榱庑蔚倪呴L為2，所以，又因?yàn)椋宜栽谥校校裕哉燮鹎昂笏倪呅蔚拿娣e固定，若以為折痕將折起，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)的位置時(shí)，四棱錐的體積最大，則此時(shí)點(diǎn)到平面的距離最大，則此時(shí)有面面，又面面，，面，所以面，又面，所以，又，所以兩兩互相垂直，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：若要面積最小，則只需點(diǎn)到直線的距離最小即可，由題意，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，又因?yàn)椋裕矗裕驗(yàn)槿c(diǎn)共線，所以不妨設(shè)，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以面積的最小值為.故答案為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.從出游方式看，春節(jié)期間是家庭旅游好時(shí)機(jī).某地區(qū)消費(fèi)者協(xié)會調(diào)查了部分2023年春節(jié)以家庭為單位出游支出情況，統(tǒng)計(jì)得到家庭旅游總支出（單位：百元）頻率分布直方圖如圖所示.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（1）求的值；（2）估計(jì)家庭消費(fèi)總支出的平均值及第80百分位數(shù).（結(jié)果保留一位小數(shù)）解：（1）由頻率分布直方圖，得，∴.（2）平均值為.第80百分位數(shù)為，則，解得.18.已知直線：（），圓：.（1）試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并加以證明；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.解：（1）∵（），∴，令解得∴直線恒過定點(diǎn).又，∴點(diǎn)在圓內(nèi)部，∴直線與圓相交.（2）∵圓：的圓心為，半徑為3，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，弦長最小，此時(shí)，∴直線的斜率為，∴直線的方程為，即.圓心到直線的距離為，∴，∴弦長的最小值為4，此時(shí)直線的方程為.19.已知空間四點(diǎn)，，，，滿足.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積.解：（1）由題意得，.∵，則，解得（2）由，得，∵，，，∴，.∴.∴以，為鄰邊的平行四邊形的面積為12.20.多項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，從，，，四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中至少有兩個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（1）甲同學(xué)有一道多項(xiàng)選擇題不會做，他隨機(jī)選擇至少兩個(gè)選項(xiàng)，求他猜對本題得5分的概率；（2）現(xiàn)有2道多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題乙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為；丙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.解：（1）甲同學(xué)所有可能的選擇答案有11種：，其中正確選項(xiàng)只有一個(gè)，樣本空間,共11個(gè)基本事件，所以他猜對本題得5分的概率為.（2）由題意得乙得0分的概率為，丙得0分的概率為，乙比丙剛好多得5分的情況包含：事件：乙得10分，丙得5分，則；事件：乙得7分，丙得2分，則；事件：乙得5分，丙得0分，則；所以乙比丙總分剛好多得5分的概率.21.在三棱臺中，平面，，且，，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且（）.（1）求證：平面；（2）已知，且直線與平面的所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面所成夾角的余弦值.解：（1）∵，且是的中點(diǎn)，則.∵平面，平面，∴又平面，∴平面，因?yàn)槠矫妫?①∵，∴，則.∵，∴，∴在平面中.②∵平面，∴由①②知平面.（2）由題意得，平面，∴平面.由（1）可知，故為坐標(biāo)原點(diǎn).如圖，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.∵，∴，.∴，，，∵，∴由棱臺的性質(zhì)得，.由（1）可知平面的一個(gè)法向量為，且.直線與平面的所成角的正弦值為，∴（），即，解得.∴平面的一個(gè)法向量為，且.平面的法向量為.∵，，，即，當(dāng)時(shí)，，∴平面的一個(gè)法向量為..∴平面與平面所成夾角的余弦值.22.在直角坐標(biāo)系中，已知，，，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，記點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）給出如下定理：在一般情況下，若二次曲線的方程為：（，，不全為0），則經(jīng)過該曲線上一點(diǎn)