模塊4雙曲線與方程

§第1節雙曲線的定義、標準方程及簡單幾何性質

一、內容提要

1.雙曲線定義：設Fi，Fz是平面內的兩個定點，若平面內的點P滿足||PFi|—|PFz||=2a(0<

2a<IFiFzl),則點P的軌跡是以Fi，F?為焦點的雙曲線.

2.雙曲線的標準方程及簡單幾何性質

X2V2y2x2

標準方程亞一標=l(a>0,b>0)~2~7~2=l(a>0,b>0)

azbz

焦點坐標左焦點Fi(—c,0),右焦點Fz(c,0)上焦點Fi(0,c),下焦點F2(0,-C)

22

焦距|FIF2|=2c,其中c叫做半焦距，且c?=a+b

*w

圖形J《?——

F萬K

范圍x<—a或x>a,yGRy<一a或y>a,xGR

對稱性關于x軸、y軸、原點對稱

實軸端點(頂點)(±a,0)(0,土a)

虛軸端點(0,±b)(±b,0)

實軸長2a,其中a叫做實半軸長

虛軸長2b,其中b叫做虛半軸長

ba

漸近線y=±-xy=±x

ab

c

e=-(e>1)

離心率a

雙曲線通徑公式：過焦點且與雙曲線實軸垂直的弦叫做通徑，通徑長為—.

3.a

二、考點題型

類型I:雙曲線定義的運用

【例1】雙曲線C:^—y2=l的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上，且|PF1|=6,則|PF2

【變式1】已知雙曲線C:?-y2=l的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線/與雙曲線C的右

支交于A,B兩點，若|AB|=2,則AABFi的周長為.

【變式2】雙曲線9一?=1的左焦點為F，A(l,2),P為雙曲線右支上一點，則|PA|+|PF|的

最小值為.

【反思】可以發現，雙曲線定義與橢圓運用思路類似，實際上大部分題目處理思路也相同，故要

類比學習.

【例2】已知點0(0,0),A(—2,0),B(2,0),設點P滿足|PA|-|PB|=2,且P為函數y=3,4—x2圖

象上的點，貝IJ|0P|=()

D4710

D.------C.V7D.V10

A號5

類型II:雙曲線的標準方程及簡單幾何性質

【例3】若方程三=1表示雙曲線，則實數m的取值范圍為------------

22fm>0

【反思】對于方程二+t=1,若n>0則該方程表示橢圓；若mn<0,則該方程表示雙曲線.

mn

ImHn

［例4］雙曲線Ax2-y2=1的實軸長是虛軸長的2倍，貝IJ入=.

【例5】已知雙曲線C:三一1=1,則C的右焦點的坐標為__________；點(4,0)到其漸近線的

63

距離是.

【反思】無論焦點在哪個坐標軸上，雙曲線的漸近線都有個統一的求法：把標準方程中的“1”

換成“0"，反解出y即得漸近線的方程.例如本題將所給方程變為1-(=0,可反解出漸近

63

線y=±yX.

【變式】若雙曲線馬-昌=1的離心率為2,則此雙曲線的漸近線方程為.

a2bz-------------------

【反思】離心率和漸近線斜率由a,b,c的比值決定，故在求它們的過程中，可對a,b,c按比

例賦值，不會影響結果.例如，本題也可由c=2a直接令a=l,c=2,于是b=Vc2—a2=W,

也得出

-a=V3

【例6】雙曲線C與雙曲線?—y2=1有相同的漸近線，且過點(2,2),則雙曲線C的方程為

【反思】與雙曲線捺―\=1色>1)/>0)共漸近線的雙曲線可設為g-g=A(A^0)

§第2節雙曲線的焦點三角形相關問題

一、內容提要

雙曲線的焦點三角形問題常用雙曲線的定義求解，但除定義外，可能還需結合圖形（如等腰、

等邊、直角三角形，矩形，平行四邊形等）的幾何性質才能求解問題，因此本節將歸納高考中

雙曲線常見的圖形和幾何條件的處理思路.

二、考點題型

類型I：焦點三角形中的特殊圖形

【例1】已知雙曲線C:\-?=l（a>0）的左、右焦點分別為Fi,Fz，點P在雙曲線C上，且

PFi1PF?,則△PF/?的面積為.

【反思】解析幾何小題中對直角的常見翻譯方法有：①勾股定理；②斜率之積為T;③向量數

量積等于0；④斜邊上的中線等于斜邊的一半等.選擇合適的方法前應先預判計算量.

【變式】設F（c,0）是雙曲線捻—仁=1缶>力>0）的右焦點，過原點。的直線與雙曲線交于A,

B兩點，且AF_LBF,且△ABF的周長為4a+2c,則該雙曲線的離心率為（）

【反思】似曾相識吧？沒錯，橢圓也是類似的處理方法，再一次說明了兩者解題的共性.

類型II：定義與中點相關

【例2】已知雙曲線C。一總=l（a>0,b〉0）的左、右焦點分別為Fi，F2,過￡的直線/交雙

曲線C的右支于點P,以雙曲線C的實軸為直徑的圓與/相切，切點為H,若|FiP|=2|FiH|,則C

的離心率為（）

A.—B.V5C.2V5D.V13

2

【反思】當出現中點時，可往中位線方向思考，而原點0是FiFz的中點，常作為構造中位線的隱

藏條件.

【變式】設雙曲線1的左焦點為F,P為雙曲線右支上的一點,且PF與圓x2+y2=9相

切于點N,M為線段PF的中點，0為原點，貝.

類型ni：定義與解三角形相關

【例3】已知FI,F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且NF1PF2=60。，|PFi|=3呷,貝！I

C的離心率為（)

A.CB.當C.V7D.V13

2

【變式1】已知雙曲線馬一弓=19>0,13>0）的左、右焦點分別為Fi，F,過F2的直線/交雙

azbz2

曲線的右支于A、B兩點，且|AB|=IAFJ,coszAFiB=則雙曲線的離心率為（）

A.§B.V3C.2D.V5

2

【反思】從上面兩道題可以看出，焦點三角形中的角度（非直角）類條件，常用余弦定理翻譯成

a,b,c的方程，求離心率.

【變式2】雙曲線C：m—^=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為Fi,Fz,過點F?的直線/與雙曲

線C的右支交于A,B兩點，且|BF/=|F1F2|,甌=2印，則C的離心率為.

【變式3】設雙曲線=l（a>0,b>0）的左、右焦點為Fi，F2,過F?的直線與雙曲線的右

支交于A,B兩點，AB中點為P,若|AB|=四干”|,^^隹人=45。則該雙曲線的離心率為（）

A.V3B.6C.竽D等

【反思】在雙曲線離心率問題中，若給出兩條線段的比例關系，則可設其中一條線段的長，并嘗

試將圖形中的其它線段也用設的變量來表示，再結合雙曲線的定義把它們轉換成a,b,c,建

立方程求離心率.

類型IV：定義與幾何性質綜合

【例4】點F(c,O)為雙曲線\—、=l(a>0,b>0)的右焦點，P為雙曲線左支上一點，線段P

F與圓M:(x-j)2+y2=9相切于點Q,若員=2試則雙曲線的離心率為.

【反思】①解析幾何中遇到線段比例的條件，構造相似比是一個值得考慮的方向；②焦點三角

形PF1F2條件下求雙曲線的離心率，若能分析三邊比值關系，則可代公式e=”廣弁來算.

【例5】我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”利用了雙曲線的光學性質：如圖1,Fi,Fz是雙曲

線的左、右焦點，從F2發出的光線m射在雙曲線右支上一點P,經雙曲線反射后，反射光線n的

反向延長線過F1；如圖2,當P異于雙曲線頂點時，雙曲線在P處的切線平分NF1PF2,若雙曲

線C的方程為三=1,則下列結論不正確的是()

916

A.射線n所在直線的斜率ke(-i)

B.當m，n時，|PF1|?|PF2|=32\0

C.當射線n過點Q(7,5)時，光線由Fz到P,再到Q經過的)二任

路程為13

D.若T(1,O),直線PT與C相切，則|PF2|=12

圖1圖2

§第3節雙曲線漸近線相關問題

一、內容提要

圓錐曲線中，漸近線是雙曲線獨有的幾何性質，相關考題較多，本節將歸納一些常見題型.

1.借助漸近線分析直線與雙曲線的交點個數：

①當直線/過原點時，若其斜率ke（-co，-|]ug，+00）,則直線/與雙曲線沒有交點，如圖

1;若ke（—則直線/與雙曲線有兩個關于原點對稱的交點，如圖2.

②當直線過雙曲線內部定點P時,若其斜率k=±之即直線與漸近線平行,則直線與雙曲線有1個

a

交點，如圖3中的A和勿若ke（—P，P）,則直線與雙曲線的兩支各有1個交點，如圖3中的/；

若ke（—00,-|）ug-+00）,則直線與雙曲線的同支有2個交點，如圖4中的/.

③當直線過雙曲線外部定點P（不與原點重合）時，分析交點個數還需借助切線，如圖5,。和〃

是與漸近線平行的直線，/2和/3是雙曲線的兩條切線，我們讓直線/從。出發繞點P逆時針旋轉,

恰好為時，與雙曲線有1個交點；轉到Z1和1之間時，與雙曲線在同支有2個交點；恰好為

%時，與雙曲線有1個交點；在"和b之間時，沒有交點；恰好為b時，有1個交點；在13

和〃之間時，與雙曲線在同支有2個交點；恰好為〃時，有1個交點；從繼續轉回。的過

程中，與雙曲線在兩支上各有1個交點.

2.漸近線的角度關系：如圖6,雙曲線的兩條漸近線關于x軸、y軸對稱，所以圖6中左右兩個

角相等，設為a,中間兩個角也相等，設為口，且a+G三90。.

3.雙曲線的兩類特征三角形：

①如圖7,設F為雙曲線\—\=1缶＞0加＞0）的右焦點，過F作一條漸近線的垂線，垂足

為A,則在AA0F中，|AF|=b,|OA|=a,|OF|=c這個三角形有雙曲線的全部特征參數，所

以把AAOF稱為雙曲線的“特征三角形”.由對稱性，這樣的特征三角形有4個.由于點A滿

足|OA|=a，所以A在圓x2+y2=a2±,由0A，AF可得AF是該圓的切線，若要求點A的坐

r_b（x2=《2

標，可聯立y=aX求得所以圖7中點A的坐標為（匕，當.

lx2+y2=a2|/=警I。。）

②如圖8,A為雙曲線的右頂點，過A作x軸的垂線交一條漸近線于點B,則在AAOB中，|0A

|=a,|AB|=b,|OB|=c，這個三角形也有雙曲線的全部特征，所以把AAOB稱為雙曲線的“特

征三角形”，由對稱性，這樣的特征三角形有4個.

二、考點題型

類型I:借助漸近線進行圖形分析

【例1】記雙曲線C:'—"=l(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C

無公共點”的e的一個值________.

【變式】雙曲線l(a>,b>0)的焦距為2c,Fi，F2為其左、右兩個焦點，直線/經

過點(0,b)且斜率為1,若I上存在點P滿足|PFi|-|PFz|=2b,則C的離心率的取值范圍為()

A.(1V2B.(V2-V3)C.(l-V3)D.(V2-+00)

【反思】從上面兩道題可以看出，涉及直線與雙曲線的交點個數問題，常借助漸近線來分析臨界

狀態.

【例2】已知雙曲線C:g-g=l(a>0,b>0),若直線x=-b與C的兩條漸近線分別交于A,B

兩點，0為原點，且加與質的夾角為60°,則C的離心率為()

A.2B-C.V3D.—

23

【變式1】已知雙曲線C:\—、=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi，F2,以線段F1F2為直

徑的圓與y軸的正半軸交于點B,連接FiB,F?B分別交雙曲線的漸近線于點E,F,若四邊形0

FBE為平行四邊形，則C的離心率為.

【反思】①雙曲線的兩條漸近線分別關于x軸、y軸對稱，由此可得到一些特殊的角度相等關系,

這也是漸近線最基礎的幾何性質；②兩漸近線夾角為90。的雙曲線是等軸雙曲線，其離心率為

V2.

2

【變式21已知Pi(xi，yi),P2(x2，y2)兩點均在雙曲線「宏一丫2=l(a>0)的右支上，若

Xix2+yiy2>0恒成立，則a的取值范圍是.

【反思】可以發現，本題我們又用到了通過判斷數量積的正負來分析角度的銳鈍這一方法.

【例3】已知F是雙曲線C:\一A=l(a>0,b>0)的右焦點，點A是C的左頂點，0為原點,

過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,若NPAF=30°,則C的離心率為.

【反思】上圖中的APOF的三邊長分別為a,b,c,我們把它叫做雙曲線的一個“特征三角形”，

在后續的某些題目中，熟悉這一結論，可以迅速發現圖形中的一些幾何關系.

【變式1］已知雙曲線C:\—2=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi,Fz，過F1的直線與C

的兩條漸近線分別交于A,B兩點，若用=E曰印=0,則C的離心率為.

【變式2】已知雙曲線E:||T=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi,Fz,圓0。2+丫2=22與

E的一條漸近線的一個交點為M,若|MF2|=^^^2|,則E的離心率為()

A.V2B.V3C.V5D.V6

【變式3】已知雙曲線C:\—\=l(a>0,b>0)的左焦點為F,右頂點為A,點B在C的一條

漸近線上，且FBLB0,0為原點，直線FB與y軸交于點D,若直線AB過線段0D的中點，則C

的離心率為()

A.V2B.V3C.2D.V5

【總結】由例3及其變式可發現,漸近線中對于幾何條件的翻譯和做法,與前面小節大同小異.

類型II：漸近線相關的綜合運算

［例4］已知雙曲線=l(a>0,b>0)的左焦點為F,過F且與x軸垂直的直線/與雙曲

線交于A,B兩點，交雙曲線的漸近線于C,D兩點，|CD|=V^|AB|,則雙曲線的離心率為.

【例5】已知雙曲線接一"=l(a>0,b>0)的左焦點為F,過F且斜率為蔣的直線交雙曲線

于點A(xi，yQ,交雙曲線的漸近線于點B(X2)丫2),且xt<0<x2,若|FB|=3|FA|,則雙曲線

的離心率是.

【總結】從上面兩道題可以看出，漸近線有關問題，若不便從幾何角度分析，也可用其方程參與

運算，按代數的方法來求解問題，但這樣做計算量往往更大一些，為次選方案.

§第4節高考中雙曲線常用的二級結論

一、內容提要

解析幾何中存在無數的二級結論，本節篩選出了一些在高考中比較常用的雙曲線二級結論,

記住這些結論可適當縮短解題時間.

1.焦點三角形面積公式：如圖1,設P是雙曲線三一弓=l(a>0,b>0)上一點，Fi

a2b2

h2

(-C-0),F2(C-0)分別是雙曲線的左、右焦點，ZT1PF2=e,則SAPF#2=c|yp|=

tan-

證明：一方面，APF1F2的邊F1F2上的高h=|yp|,所以SAPFF2=之下#21-h=?2c-|yp|=

c|yP|;另一方面，記|PFi|=m,|PFz|=n，則|m-n|=2a①，

22

在△PF1F2中，由余弦定理，IF1F2F=IPFil+|PF2|-2|PF/?IPF2I?cos/FiPF2,

所以4c2=m2+n2-2mncos0=(m—n)2+2mn—2mncos0=(m—n)2+2mn(l—cos。,)②,

將式①代入式②可得：4c2=4a2+2mn(l一cos。)所以m=J：-■=2b

、'2(l-cos0)l-cos0

2b2rsin02sin-cos-2

SAPF=1mnsin0=1■sine=b2.^^-=bQ2.—b

故F12~~e

l-cos0l-cos02sin2^tan-

2-基于雙曲線第三定義的斜率積結論：如上圖2,設A,B分別是雙曲線g-g=l(a>O,b

>0)的左、右頂點，P是雙曲線上不與A,B重合的任意一點，則kPA-kPB=

注：上述結論中A,B是雙曲線的左、右頂點，可將其推廣為雙曲線上關于原點對稱的任

意兩點，如上圖3,只要直線PA,PB的斜率都存在，就仍然滿足kpA-kpB=?下面給出證明.

證明：設A(xi，y),P(X2-y2),則B(-xx--y。所以kpA?kpB=紀工?出地=室彎①,

X2—X]X2-X]x2—X]

因為點A在雙曲線上，所以—'=1,故y/=b2值—1)=家x/—a2),同理，y2=

22

捺(X：一a2),所以yi-(x^-a-xj+a)=(x；—x》,代入①得:kPA-kPB=^;

在上述條件中令A(-a,0),B(a,0),即得內容提要第2點的特殊情況下的結論.

3.中點弦斜率積結論：如圖4,AB是雙曲線\一2=19>0,1)>0)的一條不與坐標軸垂直且

不過原點的弦，M為AB中點，則kAB，koM=?此結論可用下面的點差法來證明?

期一在=1

證明：設A—，yi）,B（X2，丫2）-。X2,%Hy2,因為A,B都在雙曲線上，所以,

9一魚二i

Va2b2

兩式作差得：亨一■=o,整理得：紇約―二號①，

zzz

abX]-X2Xi+x2a

注意到株=kAB，鬻=等=?所以式①即為kAB-k0M=g

Xj—X2X1+X22XMXMa

注：中點弦結論和上面的第三定義斜率積結論的結果都是?這是巧合嗎？不是，兩者之間有必

然的聯系.如上