專題19三角形

一、三角形的角平分線、中線和高

【高頻考點精講】

1、從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高。

2、三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與交點間的線段叫做三角形的角平分

線。

3、三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線。

4、三角形有3條中線，3條高線，3條角平分線，它們都是線段。

【熱點題型精練】

1.（2022?玉林中考）請你量一量如圖△4BC中8c邊上的高的長度，下列最接近的是（）

A

A.0.5cmB.0.7cmC.1.5cmD.2cm

2.（2022?杭州中考）如圖，于點。,已知是鈍角，貝！J（）

C

A

ABD

A.線段CD是△NBC的ZC邊上的高線

B.線段CD是△48C的邊上的高線

C.線段/。是△/8C的3c邊上的高線

D.線段AD是△A8C的NC邊上的高線

3.（2022?江門模擬）如圖所示在△48C中，48邊上的高線畫法正確的是（）

HH

A4,

B

A.HCBBcC.BHCD.BC

4.（2022?西安模擬）如圖，△NBC中，AB==10,NC=8,點。是8c邊上的中點，連接NO,若△/<?￡>的周長為

20,則的周長是（）

A

BDC

A.16B.18C.20D.22

5.（2022?荷澤模擬）在△/8C中，ZACB=90°,CD、C￡分別為邊上的高和中線，若/DCE=20。，則NA4C

的度數(shù)為.

6.（2022?上海模擬）如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做半高三角

形.已知直角三角形N8C是半高三角形，且斜邊/8=10,則它的周長等于.

二、三角形的面積

【高頻考點精講】

1、三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即&=Lx底義高。

2

2、三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分。

【熱點題型精練】

7.（2022?桂林中考）如圖，在△ABC中，/B=22.5°,NC=45°,若/C=2,則△4BC的面積是（）

A.—~—B.1+V2C.2V2D.2+V2

8.（2022?遂寧中考）如圖，D、E、尸分別是△/3C三邊上的點，其中3c=8,2C邊上的高為6,且DE〃BC,則

△。所面積的最大值為（）

A.6B.8C.10D.12

9.（2022?常州中考）如圖，在△/BC中，￡是中線的中點.若的面積是1,則的面積

是.

10.（2022?錦州中考）如圖，為為射線ON上一點，S為射線上一點，/Bi小0=60°,。小=3,從小=1.以

小小為邊在其右側(cè)作菱形為SQ5,且/31小。1=60°,CiDi與射線（W交于點為，得△C18/2；延長為小

交射線ON于點血，以私/2為邊在其右側(cè)作菱形/2&。2。2，且/&/2。2=60°,。2。2與射線交于點當(dāng)，

得△C2與53；延長為。2交射線ON于點小，以2?3為邊在其右側(cè)作菱形/3瑪。3。3,且/用/3。3=60°,C3D3

與射線（W交于點J,得△C3B3B4；…,按此規(guī)律進行下去，則△。202282022&023的面積為

11.（2022?宜賓中考）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊.、b、C

求面積的公式，其求法是：“以小斜塞并大斜塞減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余四約

c2+a2—b22

之，為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=|[c2a2一（）］.現(xiàn)有周

2

長為18的三角形的三邊長滿足a：b：c=4：3：2,則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為

三、三角形三邊關(guān)系

【高頻考點精講】

1、三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊。

2、只要兩條較短的邊長之和大于第三邊的長度就可以判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形。

【熱點題型精練】

12.（2022?西藏中考）如圖，數(shù)軸上4,5兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（

AB

-5-4-3-2-1012345

A.-5B.4C.7D.8

13.（2022?淮安中考）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

14.（2022?南通中考）用一根小木棒與兩根長分別為3c加，6c機的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以為

（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

15.（2022?益陽中考）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要

將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中。的值可以是（）

C.3D.4

16.（2022?河北中考）平面內(nèi)，將長分別為1，5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可

能是（）

d1

11

5

A.1B.2C.7D.8

17.（2022?德陽中考）八一中學(xué)九年級2班學(xué)生楊沖家和李銳家到學(xué)校的直線距離分別是56和3那么楊沖,

李銳兩家的直線距離不可能是（）

A.1kmB.2kmC.3kmD.8km

18.（2022?哈爾濱中考）在△45C中，4D為邊5C上的高，ZABC=30°,ZCAD=20°,則N氏4C是

度.

19.（2022?東營中考）如圖，在。。中，弦/C〃半徑ZBOC=40°,則//OC的度數(shù)為.

四、三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)

【高頻考點精講】

1、三角形的內(nèi)角和等于180°。

2、三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。三角形共有六個外角，其

中有公共頂點的兩個相等。

3、三角形外角的性質(zhì)

（1）三角形的外角和為360°。

（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

（3）三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角。

【熱點題型精練】

20.（2022?北京模擬）如圖，直線4B〃C。，連接2C,點E是2C上一點，N/=15°,4c=27°,則N/EC的

21.（2022?西安模擬）如圖，在△/8C中，ZC=90°,NE是△4BC的外角N24D的平分線，BF平分NABC與

NE的反向延長線相交于點R則N3E&為（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

22.(2022?漳州模擬)將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，則a-0=度.

五、全等三角形的判定與性質(zhì)

【高頻考點精講】

1、三角形全等的判定

(1)三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)。

(2)有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)。

(3)有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA)。

(4)有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)。

2、全等三角形的性質(zhì)

(1)全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。

(2)全等三角形的周長、面積相等。

（3）全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。

（4）全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。

（5）全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。

【熱點題型精練】

24.（2022?成都中考）如圖，在△/2C和△￡）斯中，點E,B,。在同一直線上，AC//DF,AC=DF,只添加

一個條件，能判定△NBC也△￡>￡尸的是（）

A.BC=DEB.AE=DBC.NA=/DEFD.ZABC=ZD

25.（2022?淄博中考）如圖，在△NBC中，點。在NC邊上，過△/AD的內(nèi)心/作=_LAD于點足若

BD=IO,CD=4,則8E的長為（）

A.6B.7C.8D.9

26.（2022?湘西州中考）如圖，在Rt448C中，//=90°,M為的中點，H為AB上一點、,過點C作CG〃

AB,交的延長線于點G,若/C=8,AB=6,則四邊形/CG/f周長的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

27.（2022?湖北中考）如圖，已知AB^DE,請你添加一個條件,使△4BC絲△￡>斯.

28.（2022?日照中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系苫?中，點力的坐標(biāo)為（0,4）,尸是x軸上一動點，把線段上4繞

點尸順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段尸R連接。E則線段。廠長的最小值是

29.（2022?深圳中考）已知△N8C是直角三角形，ZABC=90°,AB=3,BC=5,AE=2心連接CE,以CE為

底作直角三角形CAE,且CQ=DE.尸是邊上的一點，連接8。和8尸，且NFBD=45°,則//長

為.

30.（2022?溫州中考）如圖，3。是△/8C的角平分線，DE//BC,交AB于點、E.

（1）求證：ZEBD=ZEDB.

（2）當(dāng)48=/C時，請判斷CD與瓦）的大小關(guān)系，并說明理由.

31.（2022?懷化中考）如圖，在等邊三角形N5C中，點M為邊上任意一點，延長8c至點N,使CN=/M,連

接NV交NC于點尸，MH上AC于點、H.

（1）求證：MP=NP；

（2）若NB=a,求線段尸〃的長（結(jié)果用含°的代數(shù)式表示）.

32.（2022?北京中考）在△48C中，ZACB=90°,。為△/8C內(nèi)一點，連接8。，DC,延長。C到點￡,使得CE

=DC.

（1）如圖1,延長3c到點尸，使得CR=8C,連接NF,EF.AF1.EF,求證：BDLAF-,

（2）連接NE,交8。的延長線于點〃，連接C",依題意補全圖2.若AB'^+BD?,用等式表示線段CD

與S的數(shù)量關(guān)系，并證明.

33.（2022?資陽中考）如圖，在△/3C中（AB<BC）,過點C作C￡>〃/8,在CD上截取CD=C5,C8上截取CE

=4B,連接DE、DB.

（1）求證：/XABC冬AECD；

（2）若//=90°,AB=3,BD=2后求△BCD的面積.

六、等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)

【高頻考點精講】

1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性質(zhì):①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；③等腰三角形的頂

角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）

3、等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。

4、等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°；②等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對

稱軸；③等邊三角形的內(nèi)角平分線垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸。

【熱點題型精練】

34.（2022?淮安中考）如圖，在△48C中，AB=AC,/A4c的平分線交3c于點。，E為NC的中點，若/8=10,

則。￡的長是（）

A.8B.6C.5D.4

35.（2022?淄博中考）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路Z8〃CD,道路A8與NE的夾角

50°.城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE,要求CF=EF,則/￡的度數(shù)為（

Bn

A.23°B.25°C.27°D.30°

36.（2022?宜賓中考）如圖，在△45。中，AB=AC=5,。是5C上的點，DE〃AB交AC于點、E,DF//AC^AB

于點R那么四邊形4切方的周長是（）

37.（2022?鎮(zhèn)江中考）如圖，點4、B、C、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，4。與5C相交于點O,小正方形的邊

76V29V2

A.2B.-C.--D.--

。DZ）

38.（2022?寧波中考）如圖，在Rt448C中，。為斜邊/C的中點，E為2。上一點，尸為CE中點.若AE=AD,

DF=2,則BD的長為（）

A.2V2B.3C.2百D.4

39.（2022?張家界中考）如圖，點O是等邊三角形N8C內(nèi)一點，04=2,OB=\,OC=?則△NOB與△BOC

V3V3「3四c「

AA.—DB.—C.——D.V3

4幺4

40.（2022?蘇州中考）定義一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等腰△

N8C是“倍長三角形"，底邊3c的長為3,則腰N8的長為.

41.（2022?岳陽中考）如圖，在△48C中，AB^AC,4D_L3c于點。，若2C=6,貝!ICD=.

42.（2022?鄂州中考）如圖，在邊長為6的等邊△N5C中，D、￡分別為邊BC、NC上的點，與相交于點

P,若BD=CE=2,則△48P的周長為.

七、三角形中位線定理

【高頻考點精講】

1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

2、幾何語言：如圖，：點。、￡分別是A8、NC的中點J.DE//BC,DE=LC.