5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝cf′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝0nxn－1cosx－sinxaxlnaex復(fù)習(xí)回顧法則1:兩個函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

,即:法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再除以第二個函數(shù)的平方.即:法則1:兩個函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差),即:法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)

1.求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),那么我們可以把平方式展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo).然后能否用其它的辦法求導(dǎo)呢?為了解決上面的問題,我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,這就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

下面，先分析這個函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

從而可以看成是由和經(jīng)過“復(fù)合”得到的，即y可以通過中間變量u表示為自變量

x

的函數(shù).新知講解對于兩個函數(shù)

y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)那么稱這個函數(shù)為函數(shù)

y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作

例.函數(shù)

由和

復(fù)合而成

1.復(fù)合函數(shù)是不是不是是不是是是不是練習(xí)新知講解如何求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？先來研究

的導(dǎo)數(shù).

一方面，另一方面，，可以發(fā)現(xiàn)，

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟:分解—求導(dǎo)—相乘—回代.法則：一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為

yx'=yu'·ux‘.2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）

（2）

（3）解：（1）函數(shù)

可以看作函數(shù)的復(fù)合函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有（2）函數(shù)

可以看作函數(shù)

的復(fù)合函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有（3）函數(shù)

可以看作函數(shù)

和的復(fù)合函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有

例7某個彈簧振子在振動過程中的位移y（單位：mm）關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)滿足關(guān)系式

.求函數(shù)y在t=3s時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義.解：函數(shù)可以看作函數(shù)

和的復(fù)合函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有

當(dāng)

t=3時，它表示當(dāng)t=3s時，彈簧振子振動的瞬時速度為0mm/s.抓住構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的基本初等函數(shù)是求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵，解題時可先把復(fù)合函數(shù)分拆成基本初等函數(shù)，再運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需處理好以下環(huán)節(jié):(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu);(2)關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次;(3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層地求導(dǎo);(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個整體;(5)最后要把中間變量換成關(guān)于自變量的函數(shù)1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

練習(xí)及作業(yè)2.曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是(

)3.設(shè)曲線y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,則a=

.

y'=18x-24.

A2.復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成

，那么稱這個函數(shù)為y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝

.即y對x的導(dǎo)數(shù)等于

.