第08講相似三角形的性質（7種題型）

O【知識梳理】

一、相似三角形的性質定理

1.相似三角形性質定理1

相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.

2.相似三角形性質定理2

相似三角形周長的比等于相似比.

3.相似三角形性質定理3

相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

二.相似三角形的判定與性質

（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩

方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等.

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的

公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造

相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法

有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可.

三.相似三角形的應用

（1）利用影長測量物體的高度.①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性

質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決.②測量方法：在同一

時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度.

（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）.①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”

型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角

形.②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度.

（3）借助標桿或直尺測量物體的高度.利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三

角形的邊，利用視點和盲區的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度.

四.作圖-相似變換

（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到.

（2）相似圖形的作圖在沒有明確規定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單

的相似變換作圖.如圖所示：

（3）如果題目有條件限制，可根據相似三角形的判定條件作為作圖的依據.比較簡單的是把原三角形的三

邊對應的縮小或放大一定的比例即可得到對應的相似圖形.

五.射影定理

（1）射影定理：

①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項.

②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.

（2）Rt^ABC中，ZBAC=90°,AO是斜邊8C上的高，則有射影定理如下：①

@AB1=BD'BC-,Ad=CD?BC.

BDC

D【考點剖析】

題型一：相似三角形性質定理i

Afi3

例1.已知AABCsM8G,頂點A、B、C分別與A、Bl、G對應，—=—,BE、分別是它們的對應

4月2

中線，且3E=6.求8向的長.

【變式1］已知AA5Cs的瓦6，頂點A、B、C分別與4、5、G對應，AC=12,AG=9,幺的平分

線Aid的長為6,求NA的平分線的長.

【變式2】求證：相似三角形對應高的比等于相似比.

【變式3】求證：相似三角形對應中線的比等于相似比.

【變式4】求證：相似三角形對應角平分線的比等于相似比.

【變式5】如圖，AABC和的與G中，和8E是AABC的高，人。和耳耳是AA,耳￡的高，且NC=NC；,

ADAB

ARA^i

ADBE

求證:

【變式6】如圖，。是AABC的邊8C上的點，NBAD=NC,BE是AA5c的角平分線，交A。于點R

BD=1,CD=3,求BRBE.

題型二：相似三角形性質定理2

例2.若MBCsADEF,AABC與ADEF的相似比為1:2,則AABC與ADEF的周長比為（)

(A)1:4(B)1:2(C)2:1(D)1:0

【變式1].已知AABCSA414c1,頂點A、B、C分別與Ai、Bi、G對應，它們的周長分別為48和60,且

AB=12,B,Ct=25,求BC和All的長.

【變式2].如果兩個相似三角形的最長邊分別為35厘米和14厘米，它們的周長相差60厘米，那么大三角

形的周長是.

【變式3】如圖，在A/WC中，AB=12,AC=IO,BC=9,是8c邊上的高.將A/WC沿EF折疊，

使點A與點。重合，則ADEF的周長為.

【變式4】.如圖，梯形ABC。的周長為16厘米，上底CD=3厘米，下底AB=7厘米，分別延長和BC

交于點P,求APCD的周長.

【變式5】如圖，在AABC中，/C=90。，AB=5,BC=3,點尸在AC上（與點A、C不重合），點。在

8C上，PQ//AB.當APQC的周長與四邊形朋8。的周長相等時，求”的長.

c

題型三：相似三角形性質定理3

例3.(1)如果把一個三角形的三邊的長擴大為原來的100倍，那么這個三角形的面積擴大為原來的_

________倍；

(2)如果一個三角形保持形狀不變但面積擴大為原來的100倍，那么這個三角形的邊長擴大為原來的.

________倍.

【變式1】兩個相似三角形的面積分別為5c7層和16cs2,則它們的對應角的平分線的比為()

(A)25:256(B)5:16(C)A/5:4(D)以上都不對.

【變式2】.如圖，點。、E分別在AABC的邊A8和AC上，DE//BC,DE=6,BC=9,=16.求又卸

的值.

【變式3】如圖，在AABC中，。是48上一點，若NB=/ACD,AD=4cm,AC=6cm,

2

S^CD=8cm,求/SABC的面積.

A

【變式4】如圖，在AABC中，點。、E1在A3、AC±,DE//BC,AADE和四邊形8CED的面積相等，求

AD.BD的值.

【變式5】如圖，在AABC中，ADYBC,BEVAC,D、E分別為垂足.若NC=60。，SACDE=1,求四邊

形。E4B的面積.

【變式6】如圖，及AABC中，點。是8C延長線上一點，直線EF//2。交AB于點￡,交AC于點G,交

1CF

AD于點尸，右5AAa=TS四邊形EBCG，求~7~n的值.

A

題型四.相似三角形的判定與性質

例4.（2023?蕪湖模擬）如圖，在△ABC中，。為2C邊上的一點，且/。4。=/艮

AD_AC

（1）求證:

BA'BC

(2)若AC=2,BC=4,設△ADC面積為Si,△ABO面積為8,求證：S2=3SI.

【變式1］（2023?天長市校級二模）在正方形A8CO中，點E、/分別是邊AS、上的點，連接EF,EF

_LFG且跖=八7.

圖1圖2

(1)如圖1,當點G在C。上時，求證：DG=BE；

(2)如圖2,當點8與點E重合時，EG,FG分別交C￡）于點M,N,求證：MG1=MN-MD.

【變式2】（2023?瑤海區校級一模）將矩形ABCD沿。E折疊，使點A落在點尸處，折痕為。E,其中A8

圖1圖2

(1)如圖（1）,若點E恰好在邊上，連接AR求證：AABFsADAE；

(2)如圖（2）,若E是的中點，所的延長線交BC于點G,求BG的長.

【變式3］（2022秋?滁州期末）如圖，點P是正方形ABC。邊上一點，。是邊延長線上一點，若

AB=12,B4=5,PQ±BP.求C0的長.

QCB

【變式4】(2022秋?宣城期末)如圖，△ABC中，分別在邊AB、AC上取點。、E,使嶇望，再取BC的

ABAC

中點連接AM交于點N.

(1)求證：DE//BC-,

(2)判斷線段DN與NE的大小關系，并說明理由.

【變式5】.(2022秋?貴池區期末)如圖，在△ABC中，BC=3,。為AC延長線上一點，AC=3CD,ZCBD

=NA,過。作。/〃A2,交BC的延長線于點

(1)求證：△HCDsAHDB；

（2）求8〃的長.

題型五.相似三角形的應用

例5.（2022秋?杜集區校級月考）如圖所示，某測量工作人員頭頂A與標桿頂點尸、電視塔頂端E在同一

直線上，已知此測量人員的頭頂距地面的長48為1.6加，標桿的長為32%且8C的長為2租，C。的長

為5m,求電視塔的高.

【變式1】.（2022秋?蚌山區月考）《鐵血紅安》在中央一臺熱播后，吸引了眾多游客前往影視基地游玩.某

天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時發現：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直

線上（如圖）.已知小明的眼睛離地面1.6米，涼亭頂端離地面2米，小明到涼亭的距離為2米，涼亭離

城樓底部的距離為40米，小亮身高1.7米.請根據以上數據求出城樓的高度.

【變式2】.（2022秋?包河區期中）如圖，直立在8處的標桿42=2.9米，小愛站在廠處，其中眼睛E,標

桿頂4樹頂C在同一條直線上（人，標桿和樹在同一平面內，且點RB,D在同一條直線上）.已知

B￡>=6米，尸3=2米，斯=1.6米，求樹高CD

【變式3】.（2022?蕪湖一模）《九章算術》中記載了一種測量井深的方法.如圖，在井口8處立一根垂直于

井口的木桿3D,從木桿的頂端。點觀察井內水岸C點，視線。C與井口的直徑AB交于點E如果測得

48=1.8米，米，BE=0.2米.請求出井深AC的長.

【變式4】.（2022秋?大觀區校級月考）一塊三角形材料如圖所示，NA=30°,NC=90°,AB=12.用這

塊材料剪出一個矩形C0EF,其中，點。、E、F分別在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形CQEF的面積

最大.點E應選在何處？

【變式5】.（2022秋?廬陽區校級期中）如圖是小孔成像實驗，火焰AC通過小孔。照射到屏幕上，形成倒

立的平行實像，像長8。=30外OA=50cm,OB=\Ocm,求火焰AC的長.

【變式6】.（2022秋?懷遠縣期中）小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高.如圖所示，

在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物的影長OC為16米，OA的影長。。為20米，小明

的影長BG為2.4米，其中。、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、。三點在同一直線上，且

OD,EFLFG.己知小明的身高所為1.8米，求旗桿的高A3.

【變式7】.（2022秋?定遠縣月考）小明利用數學課所學知識測量學校門口路燈的高度.如圖：為路燈主

桿，AE為路燈的懸臂，是長為1.8米的標桿.已知路燈懸臂AE與地面8G平行，當標桿豎立于地面

時，主桿頂端A、標桿頂端。和地面上一點G在同一直線上，此時小明發現路燈E、標桿頂端。和地面

上另一點下也在同一條直線上（路燈主桿底端8、標桿底端C和地面上點R點G在同一水平線上）.這

時小明測得FG長1.5米，路燈的正下方”距離路燈主桿底端B的距離為3米.請根據以上信息求出路

燈主桿的高度.

【變式8】.（2022秋?金寨縣校級月考）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,高

80mm,要把它加工成長方形零件使長方形尸。MN的邊在2c上，其余兩個頂點P,N分別

在A8,AC上，求這個長方形零件尸面積S的最大值.

【變式9】如圖，在AABC中，矩形QEFG的一邊。E在BC邊上，頂點G、尸分別在48、AC邊上，AH是

BC邊上的高，4/與GP交于點K.若AH=32c〃z,BC=48cm,矩形。EFG的周長為76。相，求矩形。EFG

的面積.

【變式10].如圖，正方形。EPG的邊EF在AABC的邊BC上，頂點。、G分別在邊A3、AC上，AH是

AABC的高，BC=60厘米，A”=40厘米，求正方形DEFG的邊長.

【變式11】在銳角AABC中，矩形。E/G的頂點。在邊上，頂點E、尸在8c邊上，頂點G在AC

邊上，如果矩形。EPG的長為6,寬為4,設底邊BC上的高為x,AABC的面積為y,求y與x的函

數關系式.

題型六.作圖-相似變換

例6.（2022秋?包河區期中）如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的網格中，△ABC的頂點均

在格點（網格線的交點）上.

（1）將△A8C先向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度得到△AiBiCi（A,B,C的對應點

分別為Ai,Bi,C1）畫出△4B1C1；

（2）若282c2s△ABC,且相似比為2：1,畫出一個282c2.

r-

?

L_

I

I

r-

i

L_

I

I

r-

i

L_

I

I

I--

I

L_

【變式】（2022秋?固鎮縣校級期中）如圖1,在8義8方格紙中，AABC的三個頂點都在小方格的頂點上,

按要求畫一個三角形，使它的頂點都在方格的頂點上.

（1）請在圖2中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且相似比為2：1；

（2）請在圖3中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且相似比為&：1.

題型七.射影定理

例7.（2021秋?金安區月考）如圖，RtzXABC中，ZBAC=90°,4￡>_L8C于點。，若AB=4,AC=3,則

8。為（）

【變式】（2022秋?杜集區校級月考）如圖，RtZkABC中，ZACB=90°,CD_LAB于。，AD=9,CD=6,

則BD的長為.

【過關檢測】

一、單選題

1.（2022秋?安徽安慶?九年級?？茧A段練習）下列4x4的正方形網格中，小正方形的邊長均為1,三角形

的頂點都在格點上，則與團ABC相似的三角形所在的網格圖形是（)

2.（2023?安徽蚌埠?模擬預測）下列說法中正確的是（）

①等邊二角形二條高的交點就是它的重心；②二角形的重心到一邊的距離等于這邊上中線長的二分之

一；③三角形的重心到一邊中點的距離等于這邊上中線長的三分之一；④三角形的重心到一邊的距離等

于這邊上高的三分之一

A.①③④B.②③④C.①②③D.①②③④

3.（2022秋?安徽安慶?九年級統考期末）如圖，已知0ABemBDC,其中AC=4,CD=2,則BC=

C.2A/3D.4

4.（2023?安徽滁州??？寄M預測）在ABC中，點。，E分別是AB,邊的中點，點尸在QE的延長線

上，添加一個條件，使得四邊形為平行四邊形，則這個條件不可以是（）

A.AD^CFB.LBDE/4CFEC.△CFE^ABC4D.ZA=ZF

5.（2023?安徽?統考中考真題）如圖，點E在正方形A3C。的對角線AC上，￡F_LAB于點/，連接并

延長，交邊3c于點交邊A2的延長線于點G.若AF=2,FB=1,則MG=（)

6.（2023春?安徽安慶?九年級統考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AO上一點，DE=2AE,

連接AC、BE相交于點O,若“紡的面積為1,則ABC的面積為（）

A.10B.12C.13D.18

7.（2023?安徽?模擬預測）如圖，點P是；A5C的重心，過點尸作OE〃AC交BC,AB于。，E,

EF〃3C交AC于點八若3C=11,則跖的長為（）

X\

BDC

1111

A.—B.3C.—D.4

43

8.（2022?安徽?九年級專題練習）如圖，在平行四邊形A8CL）中，點E是上一點，AE=2ED,連接

8E交AC于點G,延長BE交C。的延長線于點孔則要■的值為

()

CJF

土:

2113

A.-B.-C.一D.-

3234

9.（2023?安徽阜陽?一模）如圖，尸是矩形ABCD內的任意一點，連接B4,PB,PC,PD,得到

^PAD,一PAB,PBC,PCD,設它們的面積分別是S-52,S3,S4,下列結論錯誤的是（）

A.若5|=凡，則尸點在AB邊的垂直平分線上

B.$2+S4=S]+4

C.若AB=4,BC=3,則上4+P3+PC+PD的最小值為10

D.若△尸以，且鉆=4,BC=3,貝！]PA=2.5

10.（2023?安徽合肥?合肥市五十中學西校校考模擬預測）如圖，四邊形ABCZ）是矩形，CE平分/BCD,

AELCE,EA、CB的延長線交于點尸，連接。E,連接交CE于點G.下列結論錯誤的是（）

I.

FB（,

A.圖中共有三個等腰直角三角形B.ZDGC=ZEBC

C.ABAD=CGCED..CDGs一CEB

二、填空題

Afi1

11.（2023春?安徽宿州?九年級統考階段練習）已知ABC^^A'B'C',且不演=7，5ABC=4,則

AD2

S"B'C=-------------

12.（2023?安徽亳州?九年級專題練習）如圖，在RtAABC中，NA=90。，點。是斜邊BC上的一個動點,

過點。分別作DMIAB于點M,DV/AC于點N.

（1）的度數是

（2）若AB=6,AC=8,連接MN,當線段MN有最小值時，線段A"的長為.

13.（2023?安徽六安?統考模擬預測）如圖，在.71BC中，點。在邊A3上，點E在邊BC上，把QBE沿直

線DE折疊，DBE恰好與ADCE重合,CD=AC.若3c=6,△BCD的面積為3,則AO的長為

14.（2023?安徽宿州?統考三模）如圖，點A在反比例函數y=乙的圖象上，連接。4交反比例函數y=F的

x3尤

圖象于點8,若點A的橫坐標為3,則點8的橫坐標為.

15.（2023?安徽蚌埠??？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，點3（6,0）,A是y軸正半軸上的動點，以

AB為一邊在AB的右側作面積為48的矩形ABCD,連接。C,則OC的最大值為.

16.（2023,安徽合肥?統考三模）如圖，0ABe中，ZABC=90°,AB=3C,點。是邊AC上一點,

CD=2AD,連接過點C作于點E,連接AE.

(1)ZAEC=°；

(2)若BC=3非,貝l|AE=.

三、解答題

17.(2023?安徽滁州?統考三模)在Rt^ABC中，/ACS=90。，AD平分,C轉交3C于點。，3E平分

圖1圖2

(1)當AC=3C時，如圖1,求證：△AEF回VBZ加；

(2)連接C尸，如圖2.

①求證：AEFsAFC；

②)若EF=20，A尸=8,求AC的長.

18.(2023春?安徽安慶?九年級統考期末)如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,邊AC的垂直平分線政

交BC于點、F,交AC于點E,AC于點連接AF交助于點D

A

⑴求證：AADHsMBH；

（2）若點。為瓦7的中點，求證：AH=2HE；

⑶在（2）的條件下，若BC=4色，求E尸的長.

19.