第01講二次函數

O【知識梳理】

1.二次函數的定義

（1）二次函數的定義：一般地，形如y=ay2+bx+c（a、b、c是常數，aWO）的函數，叫做

二次函數.其中尤、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，6是一次項系數，。是常

數項.^a^+bx+c（a、b、c是常數，aWO）也叫做二次函數的一般形式.

判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將

其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為。這個關鍵條件.

（2）二次函數的取值范圍：一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數，對實

際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義.

2.根據實際問題列二次函數關系式

根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問

題.需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定.

①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數

還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題.

②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數

與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何

知識建立量與量的等式.

W【考點剖析】

--二次函數的定義（共11小題）

1.（2022秋?定遠縣期中）已知y=（〃計2）例+2是關于尤的二次函數，那么加的值為（）

A.-2B.2C.±2D.0

【分析】根據形如＞=依2+bx+cQW0）是二次函數，可得答案.

【解答】解：。九+2）物1+2是y關于x的二次函數，

/.|m|=2且7〃+2W0.

解得m=2.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數的定義、絕對值的定義，利用二次函數的定義得出關于m

的方程是解題關鍵.

2.（2022秋?定遠縣期中）已知函數y（m+2）x?22（機為常數），求當相為何值時:

（1）y是x的一次函數？

（2）y是x的二次函數？并求出此時縱坐標為-8的點的坐標.

【分析】（1）根據形如y=&（AWO,左是常數）是一次函數，可得一次函數；

（2）根據形如y=a/Q是常數，且。#0）是二次函數，可得答案，根據函數值，可得

自變量的值，可得符合條件的點.

【解答】解：（1）由y=-（優+2）^2-2（機為常數），y是x的一次函數，得

2

/m-2=l；

.m+2戶0

解得m=±V3）

當加=±J5時，y是x的一次函數；

（2）y=-（加+2）/2-2（機為常數），是二次函數，得

：m2-2=2,

.m+2卉0

解得機=2,機=-2（不符合題意的要舍去），

當m=2時，y是尤的二次函數，

當y=-8時，-8=-4x2,

解得x=±加，

故縱坐標為-8的點的坐標的坐標是（土圾,-8）.

【點評】本題考查了二次函數的定義，利用了二次函數的定義，一次函數的定義，注意二

次項的系數不能為零.

3.（2022秋?霍邱縣期中）下列函數表達式中，一定為二次函數的是（）

222

A.y=2x+2B.s=3t-1C.y=ax+bx+cD.y=x

x

【分析】根據二次函數的定義：一般地，形如y=a，+bx+c（a、b、c是常數，aWO）的

函數，叫做二次函數，進行分析.

【解答】解：A.y=2尤+2是一次函數，不符合題意；

B.s=3p-1是二次函數，符合題意；

C.y=ax1+bx+c,當a=0時，不是二次函數，不符合題意；

D.y=*2△不是二次函數，不符合題意；

X

故選：B.

【點評】本題主要考查了二次函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握：一般地，形如y=

a^bx+c（〃、b、c是常數，〃W0）的函數，叫做二次函數.

4.（2021秋?揚山縣期末）如果y=（m-2）/+（m-1）x是關于x的二次函數，則m的取

值范圍是（）

A.m于2B.m^lC.機W2且機W1D.全體實數

【分析】直接利用二次函數的定義得出答案.

【解答】解：Yy=（m-2）x2+（m-1）%是關于x的二次函數，

m-2W0,

解得：m手2.

故選：A.

【點評】此題主要考查了二次函數的定義，正確把握二次函數的定義是解題的關鍵.二

次函數的定義：一般地，形如y=a/+6x+c（a、b、c是常數，aWO）的函數，叫做二次

函數.

5.（2022?宣城校級開學）下列函數：①y=3-f*2；②y=-^；③y=x（3-5_r）；④尸

x

（l+2x）（1-2尤），是二次函數的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】利用二次函數定義進行分析即可.

【解答】解：①y=3-aX*③尸X（3-5%）；④y=（l+2x）（1-2尤），是二次函數,

共3個，

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次函數定義，關鍵是掌握判斷函數是否是二次函數，首先是

要看它的左右兩邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次

函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件.

6.（2022秋?蜀山區校級月考）若>=（a+1）x"3l-x+3是關于x的二次函數，則°的值是

（）

A.1B.-5C.-1D.-5或-1

【分析】根據二次函數定義可得|。+3|=2且a+1=0,求解即可.

【解答】解：???函數y=（“+1）小+31-x+3是關于x的二次函數，

；.|a+3|=2且a+l#O,

解得a=-5,

故選：B.

【點評】本題考查的是二次函數的定義，二次函數的定義：一般地，形如>=辦2+6尤+c（a、

b、c是常數，aWO）的函數，叫做二次函數.

7.（2022秋?杜集區校級月考）若函數y=（〃?+2）乂/用-4+3-3是關于x的二次函數，

則m的取值為（）

A.-3B.2C.3D.-3或2

【分析】利用二次函數的定義得到機+2W0且nr+m-4=2,然后解不等式和方程得到滿

足條件的m的值.

【解答】解：根據題意得根+2W0且加2+:w-4=2,

解得向=-3.-2=2,

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數的定義：一般地，形如y=a/+6x+c（縱b、c是常數，Q

0）的函數，叫做二次函數.其中無、y是變量，a、b、c是常量.

8.（2022秋?淮北月考）二次函數y=f-2x+3的一次項系數是（）

A.1B.2C.-2D.3

【分析】根據二次函數的定義，即可解答.

【解答】解：二次函數y=/-2x+3的一次項系數是-2,

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵.

9.（2022秋?包河區校級月考）已知函數>=（機+3）/+1是二次函數，則相的取值范圍為

（）

A.m>-3B.m<-3C.MW-3D.任意實數

【分析】根據二次函數的定義，可得機+3W0,然后進行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：

機+3W0,

-3,

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵.

10.（2022秋?淮北月考）如果函數>=（m-2）工抽，%-4是二次函數，則m的值為-3.

【分析】根據二次函數的定義，可得m2+m-4=2且機-2W0,然后進行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：

m2+m-4=2且小-2W0,

.\m=2或-3且m#2,

m--3.

故答案為：-3.

【點評】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵.二次函

數的定義：一般地，形如y=ax2+6x+c（a、b、c是常數，0）的函數，叫做二次函數.其

中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.尸

a^+bx+c（a、b、c是常數，aWO）也叫做二次函數的一般形式.

11.（2022秋?利辛縣月考）已知函數>=（加+2）是關于尤的二次函數.滿足條

件的m=-3或2.

【分析】根據二次函數的定義：形如>=以2+法+。（a,b,c為常數且aNO）可得加2+機

-4=2且〃?+2W0,然后進行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：

加2+〃？-4=2且7?+2#0,

.,.m—-3或m—2且mW-2,

.,.m=-3或2,

故答案為：-3或2.

【點評】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵.

二.根據實際問題列二次函數關系式（共8小題）

12.（2022秋?大觀區校級月考）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投

放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，設該公司第二、三兩個月投放單車數量的月

平均增長率為x,那么y與x的函數關系是（）

A.y=a（1+無）2B.y—a（1-x）2C.y=（1-x）2+aD.y—^+a

【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量X（1+增長率），如果設

該公司第二、三兩個月投放單車數量的月平均增長率為x,然后根據已知條件可得出方程.

【解答】解：設該公司第二、三兩個月投放單車數量的月平均增長率為尤，

依題意得第三個月投放單車a（1+無）2輛，

貝!Jy=a（1+x）2.

故選：A.

【點評】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，求平均變化率的方法為：若

設變化前的量為。，變化后的量為6,平均變化率為x,則經過兩次變化后的數量關系為

a（l±x）2=b.

13.（2022秋?杜集區校級月考）進入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續進

行兩次降價.若設平均每次降價的百分率是無，降價后的價格為y元，原價為。元，則y

與x之間的函數關系式為（）

A.y=2a（x-1）B.y—2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-無）2

【分析】原價為a,第一次降價后的價格是aX（1-x）,第二次降價是在第一次降價后

的價格的基礎上降價的，為aX（1-x）X（1-x）=a（1-x）2.

【解答】解：由題意第二次降價后的價格是。（1-x）2.

則函數解析式是y=a（1-x）2.

故選：D.

【點評】本題需注意第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎上降價的.

14.(2022秋?無為市月考)據安徽省統計局公布的數據，初步核算2021年安徽省生產總值

為42959.2億元，若設2023年安徽省生產總值為y億元，平均年增長的百分率為x,則y

關于尤的函數表達式是()

A.y=42959.2(l+2x)B.y=42959.2(1-尤)2

C.j=42959.2?D.y=42959.2(1+x)2

【分析】利用2023年安徽省生產總值=2021年安徽省生產總值X(1+平均年增長的百

分率)2,即可得出y關于尤的函數表達式，此題得解.

【解答】解：依題意得y=42959.2(1+x)2,

故選：D.

【點評】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，根據各數量之間的關系，正確找

出y關于尤的函數表達式是解題的關鍵.

15.(2021秋?當涂縣校級期末)某工廠今年八月份醫用防護服的產量是60萬件，計劃九月

份和十月份增加產量，如果月平均增長率為x,那么十月份醫用防護服的產量y(萬件)

與x之間的函數表達式為v=60(x+1產.

【分析】根據平均增長問題，可得答案.

【解答】解：根據題意得：y與x之間的關系應表示為y=60(x+1)2.

故答案為:y=60(x+1)2.

【點評】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，利用增長問題獲得函數解析式是

解題的關鍵.

16.(2022?大觀區校級開學)某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊

靠墻，另外三邊用長為40米的籬笆圍成，已知墻長為18米(如圖所示)，設這個苗圃園

垂直于墻的一邊長為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關于x的函數關系式為

()

苗圃園

A.y—x(40-x)B.y—x(18-x)

C.y—x(40-2無)D.y—2x(40-2x)

【分析】先用含X的代數式表示苗圃園與墻平行的一邊長，再根據面積=長乂寬列出y關

于X的函數關系式.

【解答】解：設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為尤米，則苗圃園與墻平行的一邊長為(40

-2x)米.

依題意可得：>=尤(40-2x).

故選：c.

【點評】本題考查了由實際問題列二次函數關系式，解題的關鍵是明確題意，找出所求

問題需要的條件.

17.(2022秋?金寨縣校級月考)如圖，一邊靠學校院墻，其它三邊用40米長的籬笆圍成一

個矩形花圃，設矩形ABCD的邊AB=x米，面積為S平方米，則下面關系式正確的是

()

墻

ID-

Bc

A.S—x(40-x)B.S—x(40-2x)

C.S=x(10-x)D.S=10(2x-20)

【分析】首先根據矩形ABC。的邊米，求出邊3C的長度是多少；然后根據長方

形的面積=長乂寬，判斷出關系式正確的是哪個即可.

【解答】解：尤米，

：.BC=40-2x米，

S—x(40-2x).

故選：B.

【點評】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，以及長方形的面積的求法，

要熟練掌握.

18.(2022秋?瑤海區校級月考)"個球隊參加籃球比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的

場次數相與球隊數a(w22)之間的函數關系是.

2—2―

【分析】“個球隊都要與除自己之外的(n-1)球隊個打一場，因此要打〃(n-1)場,

然而有重復一半的場次，故比賽場次為上〃(w-1),得出關系式.

2

【解答】解：m=—n(n-1)=—n2-—n,

222

故答案為：機■/--n.

22

【點評】考查函數關系式的求法，在具體的情景中，蘊含數量之間的關系，理解和發現數

量之間的關系是正確解答的關鍵.

19.(2022?安慶一模)如圖，在△ABC中，AB=AC,點。在上，DE//AC,交AB于點

E,點/在AC上，DC=DF,若BC=3,￡B=4,CD=x,CF=y,求y與無的函數關系

式，并寫出自變量x的取值范圍.

c

■ApB

【分析】CD和CF在/中，EB在△BDE中,可判斷應證明△BOEs/^c。，根據

題中所給條件利用等邊對等角，以及平行線的性質也能證得△BOEs△尸CD然后得到

相應各邊的比例關系即可.x在BC上，應大于0,小于BC長.

【解答】解：VAB=AC,DC=DF

：./B=/C=NDFC

y.'：DE//AC

；./BDE=/C

:ABDEsAFCD

???D-B=--B-E

FCFD

???3---x=—4

yx

自變量x的取值范圍0<x<3.

【點評】解決本題的關鍵是利用相似得到相應的線段的比例關系.

廿【過關檢測】

一、單選題

1.(2022秋?安徽馬鞍山?九年級校考期中)下列函數中，是二次函數的有()

①>=1-瓜2,②y=《，③y=3x(l-3x),④y=(1-2x)(1+2元)

x

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據二次函數的定義：形如>=以2+必+。(a,b,c為常數且。片0),逐一判

斷即可.

【詳解】解：①y=l-夜尤2,是二次函數；

②y=2,不符合二次函數的定義，不是二次函數；

③y=3x(l-3力，整理后是二次函數；

④y=(l-2x)(l+2x),整理后是二次函數；

故選：c.

【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵.

2.（2022秋?安徽安慶?九年級安慶市第二中學統考期末）在下列關于尤的函數中，一定是

二次函數的是（）

A.y=8xB.y=x2（l+x）C.y=x2D.y=ax2+bx+c

【答案】C

【分析】根據二次函數的定義逐項分析即可求解.

【詳解】解：A.y=8x是一次函數，不是二次函數，故此選項不合題意；

B.丫=/。+力=/+三最高次項是3次，不是二次函數，故此選項不合題意；

C.y=f是二次函數，故此選項符合題意；

D.y=辦?+6x+c沒有說明aW0,故此選項不一定是二次函數，故此選項不合題意.

故選：C

【點睛】本題考查了二次函數的定義，一般地，形如y=法+c（a,6,c是常數，

awO）的函數，叫做二次函數.熟知二次函數的定義是解題關鍵.

3.（2022秋?安徽淮北?九年級統考階段練習）二次函數^=必一2尤+3的一次項系數是

（）

A.1B.2C.-2D.5

【答案】C

【分析】根據二次函數的定義"一般地，形如y="2+6x+c（a、b、c是常數，"0）的

函數，叫做二次函數.其中尤、y是變量，a、b、c是常量，。是二次項系數，6是一次項系

數，c是常數項"作答即可.

【詳解】解：二次函數＞=尤2-2尤+3的一次項系數是-2.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了二次函數的定義，關鍵是注意在找二次項系數，一次項系數和常

數項時，不要漏掉符號.

4.（2022秋,安徽安慶,九年級統考期中）若y=（〃z+2）-—2是二次函數，則加的值是

（）

A.±2B.2C.-2D.不能確定

【答案】B

【分析】根據二次函數的定義，形如y=法+。（。-0）的式子是二次函數，計算即可.

【詳解】解：根據二次函數的定義，可得：7"一2=2,

解得：m=+2,

當x=-2時，〃2+2=0,

:.m=2,

故選：B.

【點睛】本題主要考查二次函數的定義，熟練的掌握二次函數的定義是解題的關鍵.

5.（2022秋?安徽宣城?九年級統考期末）下列函數中，是二次函數的是（）

22

A.y-7B.y=—C.y=2x~—2x+2D.y=2x+2

xx

【答案】C

【分析】判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整

理（去括號、合并同類項）后，能寫成丁=以2+法+。（a,b,c為常數，。彳0）的形式，

那么這個函數就是二次函數，否則就不是.

【詳解】A.y=-4＞關系式不是整式，故不是二次函數；

x

2

B.y=~,關系式不是整式，故不是二次函數；

x

C.y=2f_2x+2,自變量的次數是2,且二次項的系數不為零，故是二次函數；

D.y=2x+2,自變量的次數不是2,是一次函數，不是二次函數；

故選C.

【點睛】本題考查了二次函數的定義，一般地，形如＞=??+法+。（°,6,。為常數，

。中0）的函數叫做二次函數.

6.（2022秋?安徽安慶?九年級統考期末）已知二次函數丁=/+/+。的圖象與％軸交于

4-1,0）與2（5,0）兩點，與y軸交于點C,若點尸在該拋物線的對稱軸上，則B4+PC的最

小值為（）

A.6B.3+屈C.50D.741

【答案】C

【分析】待定系數法求出二次函數的解析式，得到點C的坐標，由必+PC=P8+尸C28C,

當P、B、C三點共線時，以+PC最小，此時B4+PC=BC,勾股定理求出8C即可.

【詳解】解：將點A、B代入y=Y+法+c,

l-Z?+c=0b=-4

解得

25+5b+c=0c=-5

回y=/一4x-5,

當x=0時，y=-5,

團C(0,-5),

SPA+PC^PB+PC>BC,

當P、B、C三點共線時，B4+PC最小，此時B4+PC=BC,

0E4+PC=BC=^OB2+OC2=752+52=5叵，

故選：C.

【點睛】此題考查了待定系數法求拋物線的解析式，拋物線的對稱性，最短路徑問題，勾

股定理，熟記拋物線的對稱性是解題的關鍵.

7.（2022秋?安徽淮北?九年級淮北市第二中學校聯考階段練習）若丫=Q-2）N-3X+2是

二次函數，則。的取值范圍是（）

A.B.〃>0C.a>2D.

【答案】A

【分析】根據二次函數的二次項系數不為0可得關于。的不等式，解不等式即得答案.

【詳解】解：由題意得：a-2^0,貝

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數的定義，屬于基礎題型，掌握二次函數的概念是關鍵.

8.（2022秋?安徽宿州,九年級統考期末）如果、=（m-2）爐+（m-1"是關于》的二次函

數，則機的取值范圍是（）

A.B.m豐2C.加工2且用wlD.全體實數

【答案】B

【分析】直接利用二次函數的定義得出答案.

【詳解】回y=（2）爐+（加—1》是關于x的二次函數，

0m—2^0,

團HZW2,

故選B.

【點睛】此題主要考查了二次函數的定義，正確把握二次函數的定義是解題的關鍵.

9.（2022秋?安徽蚌埠?九年級校考階段練習）已知拋物線的頂點坐標是⑵-1）,且與y軸交

于點（0,3）,這個拋物線的解析式是（）

A.y=x2-4x+3B.y=x2+4x+3

C.y=x2+4x-lD.y=x2—4x—l

【答案】A

【分析】用待定系數法確定解析式，對照選擇即可.

【詳解】回拋物線的頂點坐標是（2,7）,

回設拋物線的解析式為y=a（x-2）2-l,

把點（0,3）代入解析式，得

3=ax（0—2）2—1,

解得a=l,

0y=（x-2）2-l=x2-4%+3,

故選A.

【點睛】本題考查了待定系數法確定二次函數的解析式，熟練掌握解析式是解題的關鍵.

10.（2016?安徽?九年級專題練習）某種正方形板材的成本y（元）與它的面積成正比，設

邊長為無厘米，即＞=笈2,當尤=3時，y=18,那么當成本為72元時，邊長為（）

A.36厘米B.6厘米C.12厘米D.24厘米

【答案】B

【分析】由待定系數法求出y與尤的關系式，當y=72時代入函數解析式并求解即可獲得

答案.

【詳解】解：將X=3,y=18代入y與X的關系式＞=近2,

可得18=3?A,解得左=2,

所以y=2Y,

當成本＞=72時，可有72=2無，

解得西=6,X2=-6（不合題意，舍去），

所以當成本為72元時，邊長為6cm.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了待定系數法求函數解析式以及根據函數值求自變量的值，正確求

出函數解析式是解題關鍵.

11.（2022秋?安徽淮北?九年級淮北市第二中學校聯考階段練習）若某二次函數圖象的形狀

和開口方向與拋物線y=3/相同，且頂點坐標為（。,-2）,則它的表達式為.

【答案】y=3f-2

【分析】利用頂點式求解即可.

【詳解】圖象頂點坐標為（0,-2）,

可以設函數解析式為y=a/-2,

又回二次函數圖象的形狀和開口方向與拋物線＞=3/相同，

團a=3,

國這個函數解析式為：＞=3/-2,

故答案為：y=3無2一2.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，如果已知三點坐標可以利用一般式求

解，若已知對稱軸或頂點坐標利用頂點式求解比較簡單.

12.（2022秋?安徽馬鞍山?九年級校考期末）某工廠今年八月份醫用防護服的產量是60萬

件，計劃九月份和十月份增加產量，如果月平均增長率為x,那么十月份醫用防護服的產

量y（萬件）與x之間的函數表達式為.

【答案】j=60（x+l）2

【分析】根據平均增長問題，可得答案.

【詳解】解：根據題意得：y與x之間的關系應表示為y=60（x+l）2.

故答案為：y=60（x+l）2.

【點睛】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，利用增長問題獲得函數解析式是解

題的關鍵.

13.（2022秋?安徽亳州?九年級校考階段練習）已知函數y=（m+2）無'"2+'1+1是關于%的二

次函數.滿足條件的加=.

【答案】2或-3

【分析】根據二次函數的定義，即可求解.

【詳解】根據題意得回療+〃-4=2,且m+270,

解得機=2或者"=-3,

即滿足條件的m的值為2或者-3,

故答案為：2或-3.

【點睛】本題主要考查了二次函數的定義，熟練掌握形如y=a/+6x+c（其中a、b、c均

為常數，且aN0）的函數關系稱為二次函數是解題的關鍵.

14.（2022秋?安徽滁州?九年級校考階段練習）若函數＞=（°+1）-+”是關于x的二次函數，

則a的值為.

【答案】1

【分析】根據二次函數的定義可得1"+1|=2且a+lwO,求解即可.

【詳解】解：,??函數y=m+1）/2+"是關于元的二次函數，

」〃+1|=2且a+lwO,

解得。=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了二次函數的定義及絕對值的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的

關鍵.

15.（2022秋?安徽銅陵?九年級銅陵市第十五中學校考期中）二次函數y=/-2x+c與x軸

交于A、8兩點，且AB=4,貝ljc=—.

【答案】-3

【分析】先利用拋物線的對稱性確定A點和B點坐標，然后根據交點式可求出拋物線的解

析式，從而得到c的值.

-2

【詳解】解：回拋物線的對稱軸為直線尤=-萬=1,而A8=4,

0A（-1,0）,B（3,0）,

回拋物線解析式為y=（x+1）（尤-3）,即y=%2-2x-3,

Elc=-3.

故答案為-3.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點問題：利用拋物線與x軸的交點坐標（4，0）,

（巧，0）可設二次函數解析式為丫=。（％-%）（%-馬）（a,b,c是常數，。工0）.

16.（2022秋?安徽合肥?九年級合肥市頤和中學校考階段練習）已知二次函數丁=/+法+。

的圖象的頂點坐標為（2,-3）,求斤,。=.

【答案】-41

【分析】根據二次函數的頂點式即可得到結論.

【詳解】解：?7=無2+為+,的圖象的頂點坐標為（2,-3）,

■1?由題意可設y=（X-2）2-3,

:.y=x2-4x+i,

:.b=~^,c-1.

【點睛】本題主要考查了待定系數法確定二次函數解析式，二次函數的性質.解題的關鍵

是正確求出二次函數解析式.

17.（2022秋,安徽宣城?九年級統考期末）在"探索函數>=依2+版+。的系數a,b,c與圖

像的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中的四個點：

A（0,2）,B（1,O）,C（3,l）,0（2,3）.同學們探索了經過這四個點中的三個點的二次函數圖

像，發現這些圖像對應的函數表達式各不相同，其中a的最大值與最小值的和為

:。的最小值為

3-而

A

1-…-…f………i-'；C

___L

0\123x

【答案】0

【分析】用待定系數法分別求出經過A,B,C三點，A,B,D三點、,A,C,D三點、,B,

C,。三點的函數解析式即可求解.

【詳解】當拋物線經過出0,2),B(l,0),C(3,l)三點時，

c=2

得<a+b+c-0,

9a+3b+c=l

2

a=——

3

解得"

c=2

c=2

28c

y=-x2——x+2；

33

當拋物線經過A(0,2),3(1,0),￡>(2,3)三點時,

c=2

得a+b+c=0,

4〃+2Z?+c=3

5

a二一

2

b_9

解得b「，

c=2

590

y=—x2-—x+2；

當拋物線經過A(0,2),0(2,3)三點時,

c=2

得<9〃+3。+c=1,

4。+2。+c=3

5

a=——

6

解得〈b7=~137，

6

c=6

c=2

513

回y=——x2+——x+2；

66

當拋物線經過5(1,0),DQ,3)三點時,

a+b+c=Q

得＜9Q+3Z?+C=1,

4q+2Z?+c=3

5

a=—

2

解得b2

2

521

團y=——x2Hx-8o,

22

刖的值最大是g,。的值最小是-g,

故答案為0,-|.

【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握待定系數法求函數解析式的方法是解

題的關鍵.

18.（2019秋,安徽亳州?九年級蒙城縣第六中學階段練習）如圖，平面直角坐標系xQv中，

A（0,2）,OM經過原點。和點A,若點M在拋物線＞=；/上，則點M的坐標為

【答案】（后1）,卜61）

【分析】根據回M經過原點。和點A,得出M在A0的垂直平分線上，進而得出垂直平分

線解析式為y=l,再求出兩圖象交點即可.

【詳解】回A（0,2）,fflM經過原點。和點A,

0AO=2,

回M在A0的垂直平分線上，

團垂直平分線解析式為y=i,

回兩圖象交點為：l=；x2,

解得：x=±,

回點M的坐標為：（—

故答案為（6,1）,（—/,1）.

【點睛】本題考查坐標的求解，解題的關鍵是根據圓的幾何性質求圓心位置進而求坐標.

三、解答題

19.（2017秋?安徽阜陽?九年級阜陽市第九中學階段練習）已知函數

y=^nr—m^x1+mx+^m+l）,，〃是常數.

⑴若這個函數是一次函數，求機的值；

⑵若這個函數是二次函數，求機的值.

【答案】（1）m=l；（2）7〃N0且加Hl.

【分析】⑴根據一次函數的定義可得m2-m=0且m#0,再解方程即可得到m的值；

⑵根據二次函數的定義可得m2-m=0,解不等式即可得到m的值.

—升1—0

[m=0或冽=1

[加w0

團"2=1;

⑵依題意得機2一相W0,

團相且加w1.

【點睛】此題主要考查了一次函數及二次函數的定義，關鍵是掌握一次函數y=kx+b的定義

條件是：k、b為常數，Q0,自變量次數為1；二次函數y=ax2+bx+c的定義條件是a，0,

b、c為常數，自變量的最高次數是2.

20.（2020秋?安徽合肥?九年級合肥工業大學附屬中學校考階段練習）當m為何值時，函

數y=（加+1）x'"J2，"T+8%-1是二次函數.

【答案】m=3

【分析】根據二次函數的定義即可求出結論.

【詳解】解：回函數＞=（加+1），HT+8X_I是二次函數

fm+10

-2m—1=2

解得：m=3

即當m=3時，函數＞=（〃7+1）尤混一2%1+8》-1是二次函數.

【點睛】此題考查的是根據二次函數的定義，求參數，掌握二次函數的定義是解題關鍵.

21.（2020秋?安徽?九年級校聯考階段練習）已知3；=（〃7+2）”-"7+（根_3）尤-6是，關于

X的二次函數，試確定7"的值.

【答案】m=3

【分析】根據二次函數的定義：最高次數是2,二次項系數不能是0,求出山的值.

【詳解】解：根據題意得病-〃?-4=2,nr-m-6=0,解得加i=-2,=3,

團〃2+2片0,即〃2,

回根=3.

【點睛】本題考查二次函數的定義，解題的關鍵是二次函數的定義.

22.（2021秋?安徽淮北?九年級統考階段練習）已知函數y=（|"7|T）/+（m+l）x+3.

（1）若這個函數是一次函數，求機的值

（2）若這個函數是二次函數，求的取值范圍.

【答案】（1）m=1；（2）m±1

【分析】（1）根據一次函數的定義即可解決問題；

（2）根據二次函數的定義即可解決問題；

fI—]_0

1

【詳解】解：（1）由題意得，In解得%=1;

[777+17^0

（2）由題意得，\m\-1^0,解得mwl且加w-1.

【點睛】本題考查一次函數的定義、二次函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握基本概念，

（1）根據二次項的系數等于零，一次項的系數不等于零；（2）根據二次項的系數不等于

零，可得方程，根據解方程，可得答案.

23.（2022秋?安徽滁州?九年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，己知拋物線的頂點坐

標是A（4,-2）,與y軸的交點是3（0,-3）,求這個拋物線的解析式并判斷點C（6,-2.5）是否

在此拋物線的圖像上.

111

【答案】y=-—（-V-4）9--2ngy=--x2+—x-3；不在

【分析】設拋物線的解析式為y=a（x-4）2-2,代入3（0,-3）確定。即可，再計算當x=6

時的函數值，比較判定即可.

【詳解】解：回拋物線的頂點坐標是人（4,-2）,

2

設拋物線的解析式為y=a（x-4）-2,

團過3（0,—3）,

團—3—16〃—2,

解得a=--,

16