專題10條件概率

例1.小智和電腦連續下兩盤棋，已知小智第一盤獲勝概率是0.5,小智連續兩盤都獲勝的概率是0.4,那么

小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.5

【解析】解：設事件A表示“小智第一盤獲勝”，則尸（A）=0.5,

設事件3表示“小智第二盤獲勝”，則P（AB）=0.4,

，小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是:

故選：A.

例2.某種燈泡的使用壽命為2000小時的概率為0.85,超過2500小時的概率為0.35,若某個燈泡已經使用

了2000小時，那么它能使用超過2500小時的概率為（）

A.”B.Lc.LD.—

20172017

【解析】解：記燈泡的使用壽命為2000小時為事件A,超過2500小時為事件B，

則尸網A）=儒=怨$

故選：B.

例3.甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制（無平局），甲在每局比賽中獲勝的概

率均為2,且各局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件下,比賽進行了三局的概率為（）

3

A-1B-1c-1D-1

【解析】解：由題意，甲獲得冠軍的概率為2221212220

X——IX—X------F—X—X—=

3333333327

其中比賽進行了3局的概率為2xLx2+'x2x2=f_

33333327

，所求概率為色+改=2

27275

故選：B.

例4.盒中有10個零件，其中8個是合格品，2個是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1個.已知第

一次抽出的是合格品，則第二次抽出的是合格品的概率是（)

A.-BD-焉

5-1

【解析】解：第一次抽出的是合格品，則還有9個零件，其中7個為合格品,

故第二次抽出的是合格品的概率是工，

9

故選：C.

例5.現從4名男醫生和3名女醫生中抽取兩人加入“援鄂醫療隊”，用A表示事件“抽到的兩名醫生性別

相同”，3表示事件“抽到的兩名醫生都是女醫生”，則尸(例A)=()

1423

A.-B.-C.-D.-

3734

【解析】解：由題意可得：事件A基本事件數，

事件5的基本事件數，C；=3；

31

所以尸(3|A)=§=g.

故選：A.

例6.小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“4個人去的景點不完全

相同”，事件5為“小趙獨自去一個景點”，則尸(B|A)=()

A.-B.-C.-D.-

7777

【解析】解：小趙獨自去一個景點，則有4個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可

能性為3x3x3=27種

所以小趙獨自去一個景點的可能性為4x27=108種，

因為4個人去的景點不相同的可能性甲-4=252種,

所以P(B|A)=E^=3.

2527

故選：A.

例7.口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回的逐一取球，已知在第一

次取得紅球的條件下，第二次仍取得紅球的概率為-.

一5一

【解析】解：口袋中裝有大小形狀相同的紅球2

個，白球3個，黃球1個，

甲從中不放回的逐一取球，

設事件A表示“第一次取得紅球”,事件3表示“第

二次取得紅球”，

21211

P(A),尸(AB)=—x—=—,

636515

在第一次取得紅球的條件下，第二次仍取得紅球

的概率為：

1

P(AB)151

尸網A)=

尸⑷15

3

故答案為一

i33

例8.已知尸(例A)=萬，P(AB)=—,則P(A)

一5一

I3

【解析】解：???P(3|A)=5，P(AB)=—

3

w-3

P(AB)--

:.P(A)15-

尸⑻

A)2-

故答案為：

5

例9.籃子里裝有2個紅球，3個白球和4個黑球.某人從籃子中隨機取出兩個球，記事件A="取出的兩

個球顏色不同"，事件3="取出一個紅球，一個白球”，則P(B|A)=—.

一13一

【解析】解：p(A)=i_』+q+/工

Cl18

/g=等6

P(AB)3

P(3|A)=

尸⑷

故答案為：

13

例10.某種疾病的患病率為0.50,患該種疾病且血檢呈陽性的概率為0.49,則已知在患該種疾病的條件下

血檢呈陽性的概率為0.98.

【解析】解：設事件A表示“患某種疾病”，設事件3表示“血檢呈陽性”,

貝UP(A)=0.5,尸(AB)=0.49,

二在患該種疾病的條件下血檢呈陽性的概率為：

P(B|A)==—=0.98.

P(A)0.5

故答案為：0.98.

例11.已知口袋中有2個白球和4個紅球，現從中隨機抽取兩次，每次抽取1個.

（1）若采取放回的方法連續抽取兩次，求兩次都取得白球的概率；

（2）若采取不放回的方法連續抽取兩次，求在第一次取出紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率.

71

【解析】解：（1）放回抽取，每次取得白球的概率均為==上，

63

所以兩次都取得白球的概率P==

339

（2）記“第一次取出的是紅球”為事件A,“第二次取出的是紅球”為事件3,

則尸"怒2

5

利用條件概率的計算公式，可得尸⑹加窗=11$

例12.某校從學生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.

（1）求男生甲被選中的概率;

（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；

（3）在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率.

【解析】解：（1）從6名成員中挑選2名成員，共有15種情況，記“男生甲被選中”為事件A,事件A所

包含的基本事件數為5種，故尸（A）=g.

（2）記“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件3,貝IJP（A8）=2，由（1）知P（A）=g,故

（3）記“挑選的2人一男一女”為事件C,則P（C）=§，“女生乙被選中”為事件3,P（BC）=上,故

1515

尸⑻。=篝4

例13.哈三中群力校區高二、六班同學用隨機抽樣的辦法對所在校區老師的飲食習慣進行了一次調查，飲

食指數結果用莖葉圖表示如圖，圖中飲食指數低于70的人是飲食以蔬菜為主：飲食指數高于70的人是飲

食以肉類為主.

（1）完成下列2x2列聯表:

主食蔬菜主食肉類總計

不超過45歲4——

45歲以上———

總計———

能否有99%的把握認為老師的飲食習慣與年齡有關？

(2)從群力校區任一名老師設“選到45歲以上老師為事件A,“飲食指數高于70的老師”為事件3,用

調查的結果估計P(B|A)及P(B|A)(用最簡分數作答)；

(3)為了給食堂提供老師的飲食信息，根據(1)(2)的結論，能否有更好的抽樣方法來估計老師的飲食

習慣，并說明理由.

附:

20.0500.0100.001

P(K..k0)

ko3.8416.63510.828

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

不超過45歲45歲以上

r2015667

323679

534245

858

61

8764758

532S

09

30(4x2-16x8)2

【解析】解：⑴由腔==10>6.635

20x10x12x18

即有99%的把握認為老師的飲食習慣與年齡有關,

故答案為：有99%的把握認為老師的飲食習慣與年齡有關,

Cx1_r12

(2)P{B\A)=-=-=-,P(例A)=T=—,

C；8943

故答案為：---

93

(3)為了給食堂提供老師的飲食信息，根據(1)(2)的結論，

“選至U45歲以上老師”與，“選到45歲以下老師”調查差異較大，

為了更科學估計老師的飲食習慣，采用分層抽樣的抽樣方法更好.

故答案為：分層抽樣

例14.某保險公司開設的某險種的基本保費為1萬元，今年參加該保險的人來年繼續購買該險種的投保人

稱為續保人，續保人的下一年度的保費與其與本年度的出險次數的關聯如下:

本年度出險01234..5

次數

下一次保費0.8511.251.51.752

(單位：

萬元)

設今年初次參保該險種的某人準備來年繼續參保該險種，且該參保人一年內出險次數的概率分布列如下:

一年內出險01234..5

次數

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求此續保人來年的保費高于基本保費的概率.

(2)若現如此續保人來年的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率.

(3)求該續保人來年的平均保費與基本保費的比值.

【解析】解：(1)設出險次數為事件X,一續保人本年度的保費為事件A,

則續保人本年度保費高于基本保費為事件C，

則P(C)=P(A>a),P(C)=P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x.5)

=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.

(2)設保費比基本保費高出60%為事件3,

”八_P(BC)_P(x=4)+P(x=5)_0.1+0.05_3

1(1J/Cx)————?

P(C)P(C)0.5511

(3)平均保費=O.85xO.3O+O.15+1.25+5xO.2O+1.5xO.2O+L75xO.lO+2axO.O5

=0.255+0.15+0.25+0.3+0.175+0.1=1.23,

，平均保費與基本保費比值為1.23.

例15.某校準備從報名的7位教師(其中男教師4人，女教師3人)中選3人去邊區支教.

CI)設所選3人中女教師的人數為X,求X的分布列及數學期望；

(II)若選派的三人依次到甲、乙、丙三個地方支教，求甲地是男教師的情況下，乙地為女教師的概率.

【解析】解：(I)X的所有可能取值為0,1,2,3,

且P(X=0)=

O'尸(x=D=管罟,“窄=茅g=C^~35

所以X的分布列為:

X0123

P418121

35353535

41R191Q

i^E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=-....(6分)

353535357

(II)設事件4為“甲地是男教師”，事件3為“乙地是女教師”,

c：c；c；2

則尸⑷尸(陰=

可7

所以尸(B|A)=曳竺^=L…(12分)

P(A)2

例16.甲、乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，

答對則為本隊得1分，答錯不答都得。分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為3,2」，乙隊每人答對

432

的概率都是|.設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用J表示甲隊總得分.

(I)求看=2概率；

(II)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.

【解析】解：(I)=2)=-x-x—+—x—x—+—x—x—=—；…(4分)

43243243224

(II)設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A,“甲隊比乙隊得分高”為事件3則

322

P(A)=lxC^(|)+|lx^(|)x|+lxC-(|)x(1)=|,

1211

P(AB)=_x㈠x(-)2=—,

433318

1

.?.尸(B|A)=曳辿邛=L.(12分)

尸⑷16

3

例17.甲乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答

對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為3,--乙隊每人答對

432

的概率都是設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用4表示甲隊總得分.

（I）求隨機變量J的分布列及其數學期望EC）;

（II）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.

【解析】解：（I）由題設知4的可能取值為0,1,2,3,

3211

P(^=0)=(l--)(l--)(l--)=-,

3213213211

P(^=l)=_(l——)(1——)+(1——)x-x(l——)+(1——)(1——)x-=-

4324324324

32132132111

P^=2)=-x-x(l——)+-x(l——)x-+(l——)x—x—二

43243243224

321]_

p(^=3)=-x-x-

4324

/.隨機變量J的分布列為:

J0123

p1j_111

244244

數學期望E?=0x工+1/+2*口+3/=生.

24424412

（II）設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A,“甲隊比乙隊得分高”為事件3,

貝UP(A)=-xC^x(-)3+—xC^x(-)2x(l--)+-xC^x-x(l--)2=-

4324334333

1.221

P(AB)=-xdx-x(l——)72二一，

433318

1

P(AB)

P(B\A)=18

尸(A)16

3

例18.市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70%,乙廠產品占30%,甲廠產品的合格率是95%,乙廠產品的

合格率是80%,若用事件A、Z分別表示甲、乙兩廠的產品，用5表示產品為合格品.

（1）試寫出有關事件的概率；

（2）求從市場上買到一個燈泡是甲廠生產的合格燈泡的概率.

【解析】解：（1）依題意，p（A）=70%,尸（,）=30%,

P(B|A)=95%,P(B|A)=80%.

進一步可得P(耳|4)=且/=5%,尸(5]由=烏9=20%.

P(A)P(A)

(2)要計算從市場上買到的燈泡既是甲廠生產的(事件A發生)，又是合格的(事件3發生)的概率，也

就是求A與3同時發生的概率，有P(AB)=P(A).P(B