14.7等邊三角形2023-2024學年滬教版七年級下冊數學課件學習目標1、掌握等邊三角形三個內角相等且等于等于60°的性質；2、經歷等邊三角形判定方法的討論、發現、歸納、說理過程，體會分類討論的思想；掌握等邊三角形的判定方法.名稱圖形概念性質

判定

等腰三角形ABC有兩邊相等的三角形是等腰三角形（等邊對等角）三線合一（等角對等邊）兩邊相等兩腰相等兩底角相等兩角相等軸對稱圖形等邊三角形是特殊的等腰三角形,它的三邊都相等思考1等邊三角形的三個內角分別是多少度?利用等腰三角形的性質，可知等邊三角形的三個內角相等.根據三角形內角和等于180°,可以算出每個角等于60°等邊三角形有這樣的性質:等邊三角形的每個內角等于60°思考2如何判定一個三角形是等邊三角形呢?根據等腰三角形的判定方法,我們可以得到下面判定等邊三角形的方法:三個內角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的性質:1.具備等腰三角形的所有性質.2.特有的性質：(1)三條邊相等；(2)三個角相等，都為60°；符號語言：∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC=AC(等邊三角形的三條邊相等)(3)是軸對稱圖形，有三條對稱軸.

由“等邊對等角”知三內角相等由“三角形內角和等于180°”知每個角為60°符號語言：∵△ABC是等邊三角∴∠A=∠B=∠C=60°(等邊三角形的每個內角都為60°)討論兩邊相等的三角形，滿足怎樣的條件就能成為等邊三角形?我們可以從它的邊與角兩類元素應滿足的條件來考慮(1)底邊與腰相等.滿足底邊與腰相等的條件,可以直接得到這個三角形是等邊三角形.于是得到腰與底邊相等的等腰三角形是等邊三角形(2)一個內角為60°要滿足有一個內角等于60°的條件,其中包括兩種情況:（1）底角為60°角如圖14-47,已知ABC中,AB=AC,且∠B=60°因為AB=AC，∠B=60°(已知)所以∠B=∠C=60°(等邊對等角)又由∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內角和等于180°),得∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°所以∠A=∠B=∠C.所以△ABC是等邊三角形(三個內角都相等的三角形是等邊三角形).（2）頂角為60°角如圖14-48,已知△ABC中,AB=AC,且∠A=60°我們可以類似（1）那樣說明△ABC是等邊三角形由（1）（2）得到有一個內角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.思考：等腰三角形再添加什么條件能變為等邊三角形？(1)底邊與腰相等；從“邊”、“角”元素(2)頂角和底角相等；三條邊相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；思考：等腰三角形再添加什么條件能變為等邊三角形？(3)底角為60°；(4)頂角為60°.有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；等邊三角形每個角均為60°，反過來有一個為60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？60°60°60°60°60°60°等邊三角形的判定：(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形；(2)三個內角都相等的三角形是等邊三角形；符號語言：在△ABC中，

∵AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形（三條邊相等的三角形是等邊三角形）.(3)有一個內角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.符號語言：在△ABC中，∵

∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形（三個內角都相等三角形是等邊三角形）.符號語言：在△ABC中，∵AB=AC，

∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），∴△ABC是等邊三角形（有一個內角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）.1.三邊都相等的三角形叫做____三角形.2.等邊三角形的每個內角都等于____度.3.等邊三角形有____條對稱軸.4.等邊三角形繞中心至少旋轉___度.才能和原來的三角形重合.等邊603120例題如圖14-49,在等邊三角形ABC的邊BC上任取一點D,以CD為邊向外作等邊三角形CDE,聯結AD、BE,試說明BE=AD的理由。解因為△ABC是等邊三角形(已知)所以AC=BC，∠ACD=60°(等邊三角形的性質)因為△CDE是等邊三角形(已知)所以CD=CE，∠BCE=60°所以∠ACD=∠BCE(等量代換)在△ACD與△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，所以△ACD≌△BCE(S.A.S)得BE=AD(全等三角形的對應邊相等).補充例題1：如圖,等邊三角形ABC是,三條內角平分線AD,BE,CF相交于點O.（1）△AOB,△BOC和△AOC有什么關系?請說明理由.（2）求∠AOB,∠BOC,∠AOC的度數。補充例題1：如圖,等邊三角形ABC是,三條內角平分線AD,BE,CF相交于點O.（3）△ABC繞O旋轉,問要旋轉多少度,就能和原來的三角形重合？(只要求說出一個旋轉度數)將△ABC繞O旋轉旋轉120°,就能和原來的三角形重合。（4）點O到各邊的距離相等嗎？OF=OE=OD補充例題2：

如圖，已知B、C、E在一直線上，△ABC、△DCE都是等邊三角形，聯結AE、BD，試說明△ACE與△BCD全等的理由.解：∵△ABC是等邊三角形（已知），

∴AC=BC,∠1=60°(等邊三角形性質).同理，CD=CE,∠2=60°.∴∠1=∠2

(等量代換)，∴∠1+∠3=∠2+∠3（等式性質），即∠BCD=∠ACE.在△ACD與△BCE中AC=BC

（已證）∠ACE=∠BCD（已證）CD=CE（已證）∴△ACD≌△BCE(S.A.S)123變式補充例題2：

如圖，已知B、C、E在一直線上，△ABC、△DCE都是等邊三角形，聯結AE、BD，試說明△ACE與△BCD全等的理由.拓展1：由△ACD≌△BCE還可以得到什么結論呢？BD=AE,∠4=∠5,∠6=∠71235674拓展2：若AC與BD交于點G，AE與CD交于點F，圖中還有全等三角形嗎？△ECF≌△DCG

△BCG≌△ACF

123567467132354FGG拓展3：若聯結GF

，則△CGF是何三角形？等邊三角形△ECF≌△DCG

△BCG≌△ACF

123567467132354FGG1.下列關于等邊三角形的描述錯誤的是(____)A.三邊相等的三角形是等邊三角形B.三個角相等的三角形是等邊三角形C.有一個角是60°的三角形是等邊三角形D.有兩個角是60°的三角形是等邊三角形【解析】解：A、等邊三角形中，各邊都相等，此選項正確；B、三個角相等的三角形是等邊三角形，此選項正確；C、有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，此選項錯誤；D、有兩個角是60°的三角形是等邊三角形，此選項正確；故選：C．C2.如圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點D為BC的中點，DE∥AB交AC于點E，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F，則圖中長度為1的線段有(____)A.3條B.4條C.5條D.6條【解析】解：∵等邊三角形ABC中，AB=2，點D為BC的中點，DE∥AB，∴圖中長度為1的線段有BD，DC，DE，AE，EC，CF，D3.如圖，△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，且點E、M在線段AC上，點G在線段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于(____)A.90°B.120°C.150°D.180°【解析】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，∴∠GMN=∠MGN=∠DEF=60°，∵∠1+∠GMN+∠GME=180°，∠2+∠MGN+∠EGM=180°，∠3+∠DEF+∠DMEG=180°，∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG=3×180°，∵∠GME+∠EGM+∠MEG=180°，∴∠1+∠2+∠3=3×180°-180°-3×60°=180°；故選：D．4.如圖，已知點D，E是BC上的三等分點，△ADE是等邊三角形，那么∠BAC的度數為______．【解析】解：∵E是BC的三等分點，且△ADE是等邊三角形，∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°．故答案為：120°．120°5.小宋把一張等邊三角形的紙片放在如圖所示的兩條平行線m、n上測得∠AEG=20°，那么∠ADF的度數是_____．【解析】解：過A點作AP∥m,如圖，∵m∥n,∴n∥AP，∴∠PAE=∠AEG=20°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAP=∠BAC-∠PAE=60°-20°=40°，40°∵PA∥m,∴∠ADF=∠BAP=40°．故答案為40°．6.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=____度．【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=∠A=60°，∵CG=CD，∴∠GDC=30°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案為：15．157.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E、F分別在BC、AC、AB上，且DF=EF，∠1=60°，試說明BD=CE的理由．解：因為∠1=60°，DF=EF(已知)，所以△DEF是等邊三角形(____________________)，所以DF=DE(等邊三角形的性質)．又因為△ABC是等邊三角形(已知)，所以∠B=∠____=60°(等邊三角形的每個內角等于60°)．所以∠B=∠1(等量代換)．因為∠_____=∠B+∠3(等邊三角形的判定CFDC

【解析】解：因為∠1=60°，DF=EF(已知)，所以△DEF是等邊三角形(等邊三角形的判定)，AAS全等三角形的對應邊相等所以DF=DE(等邊三角形的性質)．又因為△ABC是等邊三角形(已知)，所以∠B=∠C=60°(等邊三角形的每個內角等于60°)．所以∠B=∠1(等量代換)．因為∠FDC=∠B+∠3(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和)，即∠1+∠2=∠B十∠3，所以∠2=∠3(等式性質)．在△BDF和△CED中，

8.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別是BA、BC延長線上的點，且DE∥AC，那么△DBE是等邊三角形嗎？為什么？【解析】解：△DBE是等邊三角形，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠BAC=∠BCA=60°．∵DE∥AC，∴∠D=∠BAC=60°，∠E=∠BCA=60°．∴∠B=∠D=∠E=60°．∴△DBE是等邊三角形．9.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E、F是AB、BC、CA上的點，且AD=BE=CF，則△DEF是等邊三角形嗎？試說明理由．【解析】解：結論：△DEF是等邊三角形．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴BD=CE=AF，在△ADF和△BED中

10.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在AC、BC上，且CD=BE．(1)說明△ABE≌△BCD的理由；(2)求∠AFD的度數．【解析】解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，(等邊三角形三邊都相等)，∠C=∠ABE=60°，(等邊三角形每個內角是60°)．在△ABE和△BCD中，

11.如圖，輪船由A港以每小時24海里的速度向正北方向航行，此時測得燈塔P在北偏東30°的方向(即∠NAP=30°)，半小時后，輪船到達B處，測得燈塔P在北偏東60°的方向(即∠NBP=60°)．(1)此時輪船與燈塔P之間的距離是多少？(2)輪船繼續向正北航行，又經半小時后到達C處．此時輪船與燈塔P的距離又是多少？燈塔P在輪船的什么方向上？【解析】解：(1)∵∠PBC=