東莞市2024—2025學年第一學期七校聯考試卷

高二數學

滿分150分，考試時間120分鐘

一、單選題：共8小題，每小題5分.在每小題只有一項是符合題目要求.

1.在平面直角坐標系。町中，直線x-百y-1=0的傾斜角等于（）

a兀c兀-2兀一5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

2.若向量Z=（l,-1,2）,S=（2,l,-3）,則忖+［卜（）

A.V7B.2逝C.3D.372

3.在V/3C中，已知4（3,2,6）,8（5,4,0）,C（0,7,l）,點。為線段的中點，則邊上的

中線CD的長為（）

A.6B.472C.V42D.7

4.已知圓G：x?+/一2%一4歹一4=0與圓G：x?+/+4x-10y+4=0相交于48兩點，

則兩圓公共弦所在直線的方程為（）

A.3、一3y一4=0B.3x-3y+4=0C.x+y-3=QD.x+j+3=0

-1

5.設橢圓加產+即2=1的一個焦點與拋物線y2=8x的焦點相同，離心率為5,則此橢圓的

方程為（）

A.B會1B.y2+?=1C.fl+―D./十91

6.3D打印是快速成型技術的一種，它是一種以數字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑

料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構造物體的技術，如圖所示的塔筒為3D打印的雙

曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到

的，已知該塔筒（數據均以外壁即塔筒外側表面計算）的上底直徑為6?cm,下底直徑為

9后cm,喉部（中間最細處）的直徑為8cm,則該塔筒的高為（

A.18cmB.18V2cm

-27n27V2

C.—cmD.------cm

2

7.如圖①，在中，48=28。=6,/48。=90。,￡,尸分別為45,4。上的點，EF//BC,

AE=2EB.如圖②，將△/￡/沿EE折起，當四棱錐N-3C在的體積最大時，點E到平面

NCF的距離為()

4逐B,巫

AA.-----

33

C.V6D.—

2

22

8.已知橢圓q邑+與=1(“>6>0)與圓。2：代+歹2=此若在橢圓&上存在點P,過尸作圓的

ab

切線PZ,PB,切點為Z,8使得乙8尸/=三,則橢圓G的離心率的取值范圍是()

A/八11R「1△、rVsn,AVs

A?(0,-]D.C?r[亍，n1)D?(0,--]

二、多選題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.

9.已知圓C：(x-1)2+3-2)2=25,直線/：(2加+l)x+(〃?+l)y-7%-4=0.則以下命題正確的有

()

A.直線/恒過定點(3,0)B.y軸被圓C截得的弦長為46

C.直線/與圓C恒相交D.直線/被圓。截得弦長最長時，/的方程為x+2y-5=0

10.已知耳工為雙曲線C:二-/=1的兩個焦點，尸為雙曲線C上任意一點，則()

3

A.|^|-|^|=273B.雙曲線C的離心率為孚

C.雙曲線C的漸近線方程為廣土gxD.阿+麗2卜

11.如圖，在棱長為1的正方體N3CD-4耳G2中，M,N分別是48,4D的中點，尸為線

段G2上的動點，則下列說法正確的是()

A.用C一定是異面直線

B.存在點尸，使得MV，尸M

C.直線橋與平面BCC4所成角的正切值的最大值為石

D.過/,N,尸三點的平面截正方體所得截面面積的最大值為更

4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量1=(2,1,1),^=(0,-1,-1),若0+宓)//0-二)，則丸=.

13.已知點尸(6,%)在焦點為歹的拋物線C:/=29(夕＞0)上，若戶用=T，則。=.

14.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數學三巨

匠，他研究發現：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數4(入＞0,且401),那么點

P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點P到2(2,0),B(-2,0)的距離比為?,則點P

到直線2：2"%-y-"=0的距離的最大值是.

四、解答題：共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知兩直線4:x+y+2=0和4：3x—2y+l=0的交點為？.

(1)直線/過點。且與直線x+3y+1=0平行，求直線I的一般式方程；

(2)圓C過點(1,0)且與4相切于點。，求圓C的一般方程.

16.(15分)

如圖，平行六面體中，CB1BD,NGC￡)=45。，ZQCB=60°,

CC、=CB=BD=\.

⑴以向量｛怎，而,后力為基底表示向量嬴，求對角線的長度；

(2)求異面直線與DA所成角的余弦值.

17.(15分)

己知橢圓C的中心為坐標原點O,焦點在X軸上，且橢圓C經過點(0,1),長軸長為2VL

(1)求橢圓C的標準方程;

⑵過點M(LO)且斜率為1的直線/與橢圓C交于43兩點，求弦長|/身；

⑶若直線/與橢圓相交于兩點，且弦。的中點為尸1，￡|,求直線/的方程.

18.(17分)

在三棱錐尸-43C中，平面尸平面NBC,AP/C為等腰直角三角形，PAIPC,

ACLBC,BC=2AC=4,〃為的中點.

(1)求證：AC1PM；

(2)求平面CPA與平面PAB所成角的余弦值；

PN

(3)在線段所上是否存在點N使得平面CAW，平面P/8?若存在，求出詬的值，若不

存在，說明理由.

19.（17分）

22

已知/,5分別是雙曲線C：二-==15>0/>0)的左、右頂點，點尸(2"n)是雙曲線C

ab

上的一點，直線尸4口的斜率分別為3上2，且左/2=14s1=4.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知過點(4,0)的直線/:%=叩+4,交C的左，右兩支于。，￡兩點(異于Z,B).

(i)求機的取值范圍；

(ii)設直線與直線BE交于點0,求證：點0在定直線上.

東莞市2024—2025學年第一學期七校聯考試卷

高二數學試卷答案

選擇題：

題號1234567891011

答案ADABCDBCCDBDAD

填空題：

12.-113.314.372+2^/3

15【解】（1）直線/與直線x+3y+l=0平行，故設直線/為x+3y+G=0,（1分）

fx+y+2=0[x--1

聯立方程組2\1C，（2分）解得,?（3分）

[3x-2y+l=0[_v=-1

直線4:x+y+2=0和：3x-2y+l=0的交點

又直線/過點P,貝卜1-3+C=0,解得￡=4,（4分）

即直線/的方程為無+3了+4=0.（5分）

（2）設所求圓的標準方程為（x-%+（y-b）2"分）

/i：x+y+2=0的斜率為-1,故直線CP的斜率為1,（7分）

1

a=——

（-1-4+（-1-6）2=/6

由題意可得＜（1-4+（0-與2=/,（9分）解得＜b=-y,（11分）

6

叱=1

225

、Q+1r=——

18

故所求圓的方程為（X+：：+]＞+：]=K.（12分）

114

化為一般式：x2+y2+-x+-y--^O.（13分）

16【解】⑴以向量｛3，而，而｝為基底，則有方=方+而+嬴=而+而+五，（2分）

因為匿=5。=1,CBLBD,以三角形BCD為等腰直角三角形，所以CD=亞，（3分）

又因為CG=CB=I，^C.CB=60°,所以三角形GC8為邊長為1的等邊三角形，（4分）

氤2=（CB+CD+五）2=而2+而2+五2+2而而+2CB-~cc1+2五-CD（5分）

B1B

=1+1+2+2xlxV2x^^+2xlxlx—+2xlxV2x--=9,（6分）

222

所以|相|=3,（7分）所以《41=3,即對角線C4的長度為3.（8分）

（2）因為函（=+而+近，|而|=3,

DA=CB，\DA\=\CB\=1，（9分）

所以嬴-DA=~CAI-CB=（CB+~CD+五）-CB=CB2+~CDCB+CCI-CB（11分）

歷15

=1+V2xlx——+lxlx—=—,（12分）

222

所以cos<而,51>—DA=-（14分）

ICXd.\DA\6

即異面直線C4與D4所成角的余弦值為3.（15分）

O

22

17【解】（1）由題意設橢圓C的方程為訝+==l（a>6>0）,

因為橢圓經過點（0,1）所以6=1（1分）

又因為長軸長為20,a=^2（3分）

丫2

所以橢圓C的標準方程為三+y=L（4分）

（2）由已知設直線/的方程為>=xT,設/?,%）,5（x4,y4）.

丫2

將直線歹=%—1代入土+/=1,（5分）得3——4x=0,（6分）

2

（3）法一：設。（西,弘）,。（馬,%）,則C。中點是尸,

于是”！=；,21^匹=；,（10分）即匹+/=必+%=1,（11分）

22

由于C,。在橢圓上，故羨+療=1,5+尺=1,（12分）

兩式相減得到生學+7；-賢=0,即①+@占一%）+（必+%）（%-％）=0，（13分）

22

故支3+（）=0,顯然玉+馬70,于是"2=一1=Q。，（14分）

2占一/2

故直線CD的方程是>-：=一3卜一g],整理得2x+4y-3=0（15分）

丫2

經檢驗，直線2x+4y-3=0與雙曲線三+/=1有兩個交點，合乎題意.（未檢驗，不扣分）

法二：①當直線/的斜率不存在時，C。的中點在x軸上，不符合題意.（10分）

②當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為>-g=k（x-g）,（11分）

設。區,必）,。區%）,則CZ）中點是于是五士三=，，即玉+%2=1,（12分）

122yz22

X221

—+V=1

2,化簡得（2左2+1）——（2左2—2左）x+（g左2—左—g）=o,（13分）

聯立

T=")

7k21

由于A>0,根據韋達定理，V+x=,=1解得k=-7（14分）

1222F+12

故直線CD的方程是=整理得2x+4y-3=0（15分）

18【解】（1）若。為/C中點，連接A?、PD,又M為AB的中點VD//5C,（1分）

由NC_L5C,則MD_LNC,（2分）

又△PNC為等腰直角三角形，

PA1PC,有尸（3分）

由MDcPD=。，貝I|/C_L面尸MD,（4分）

：PA/u面尸MD,AACLPM.（5分）

（2）由（1）可構建以。為原點，752,屈，而為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系,

A(l,0,0),5(-1,4,0),C(-l,0,0),P(0,0,1),(6分)

則CP=(1,0,1),4P=(—1,0,1),BP=(1,-4,1),(7分)

若“=（x,y,z）為面尸48的一個法向量,

AP-n=-x+z=0一1

則,令z=l,即〃=(1,展1)，(8分)

BP-n—x-4y+z-0

若々=（苞,必/1）為面尸4C的一個法向量,

AP.a=一工］+4=0―

則—?，令必=1，即々=(0,1,0),（9分）

。產?%=玉+4=0

.?Jcos〃”a

則平面CP4與平面尸所成角的余弦值為L（11分）

3

PN

（3）若存在N使得平面CNM±平面PAB,目...-A0W4W1,

PBf

則2,44,1-㈤,M(0,2,0),(12分)C2V-(1-2,42,1-A),C"=(1,2,0),(13分)

若碗=（a,b,c）是面CNM的一個法向量,

GV-m=(l-A)fl+42Z>+(l-2)c=0洛^)，(14分)

則,令6=1,則機=(-2,1,

CM-m=a+2b-G1—X

-----12-621

m-n=-2-\1---------=0,(15分)可得4=一.(16分)

21-29

PN1

，存在N使得平面CMW_L平面尸28,此時再■=§（17分）

19【解】（1）由題意可知4一/0）,8（。,0）,因為|/*=2。=4,所以。=2.（1分）

n_n2_n2

因為P（2行,〃），（2分）得為=16，

'2-2A/2+22拒-2-（262_4-4

又因為尸（2立〃）在雙曲線上，則寫匚1=1,（3分）

所以/=16.（4分）

22

所以雙曲線C的方程為工-匕=1.（5分）