廣東省2021-2023三年中考數學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類一．二元一次方程組的應用（共1小題）1．（2022?廣東）《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？二．一次函數綜合題（共1小題）2．（2023?廣東）綜合運用如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點E，BC交y軸于點F．（1）當旋轉角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）（2）若點A（4，3），求FC的長；（3）如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y＝x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關于n的函數表達式．三．二次函數的應用（共1小題）3．（2021?廣東）端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數相同．在銷售中，該商家發現豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；（2）設豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關于x的函數解析式并求最大利潤．四．二次函數綜合題（共2小題）4．（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標．5．（2021?廣東）已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象過點（﹣1，0），且對任意實數x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．（1）求該二次函數的解析式；（2）若（1）中二次函數圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C；點M是（1）中二次函數圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．五．正方形的性質（共1小題）6．（2023?廣東）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒．素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關系；（2）證明（1）中你發現的結論．六．圓的綜合題（共2小題）7．（2023?廣東）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．8．（2021?廣東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．（1）求證：CF⊥FB；（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積．七．作圖—復雜作圖（共1小題）9．（2023?廣東）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．（1）實踐與操作：用尺規作圖法過點D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）應用與計算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長．八．翻折變換（折疊問題）（共1小題）10．（2021?廣東）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．廣東省2021-2023三年中考數學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類參考答案與試題解析一．二元一次方程組的應用（共1小題）1．（2022?廣東）《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？【答案】學生有7人，該書單價53元．【解答】解：設學生有x人，該書單價y元，根據題意得：，解得：．答：學生有7人，該書單價53元．二．一次函數綜合題（共1小題）2．（2023?廣東）綜合運用如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點E，BC交y軸于點F．（1）當旋轉角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）（2）若點A（4，3），求FC的長；（3）如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y＝x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關于n的函數表達式．【答案】（1）當旋轉角為22.5°時，OE＝OF；（2）FC的長為；（3）S關于n的函數表達式為．【解答】解：（1）當OE＝OF時，在Rt△AOE和Rt△COF中，，∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋轉角），∴2∠AOE＝45°，∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，∴當旋轉角為22.5°時，OE＝OF；（2）過點A作AG⊥x軸于點G，則有AG＝3，OG＝4，∴，∵四邊形OABC是正方形，∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，∴∠COG＝∠GOA，∴Rt△AOG∽Rt△FOC，∴，∴，∴FC的長為；（3）過點N作直線PQ⊥BC于點P，交OA于點Q，∵四邊形OABC是正方形，∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA，又∠FON＝45°，∴∠FCN＝∠FON＝45°，∴F、C、O、N四點共圓，∴∠OFN＝∠OCA＝45°，∴∠OFN＝∠FON＝45°，∴△FON是等腰直角三角形，∴FN＝NO，∠FNO＝90°，∴∠FNP+∠ONQ＝90°，又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，∴∠NOQ＝∠FNP，∴△NOQ≌△FNP（AAS），∴NP＝OQ，FP＝NQ，∵四邊形OQPC是矩形，∴CP＝OQ，OC＝PQ，∴，＝，，＝，＝，＝，∴，又∵△ANQ為等腰直角三角形，∴，∴，∴S關于n的函數表達式為．三．二次函數的應用（共1小題）3．（2021?廣東）端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數相同．在銷售中，該商家發現豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；（2）設豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關于x的函數解析式并求最大利潤．【答案】（1）豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元；（2）y關于x的函數解析式為y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利潤為1750元．【解答】解：（1）設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價（a﹣10）元，則，解得：a＝40，經檢驗a＝40是方程的解，∴豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元，（2）由題意得，當x＝50時，每天可售出100盒，當豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65）時，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵x＜70時，y隨x的增大而增大，∴當x＝65時，y取最大值，最大值為：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．答：y關于x的函數解析式為y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利潤為1750元．四．二次函數綜合題（共2小題）4．（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）△CPQ面積的最大值為2，此時P點坐標為（﹣1，0）．【解答】（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）過Q作QE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，設P（m，0），則PA＝1﹣m，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴C（﹣1，﹣4），∴CF＝4，∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA，∴，即，∴QE＝1﹣m，∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA＝PA?CF﹣PA?QE＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）＝﹣（m+1）2+2，∵﹣3≤m≤1，∴當m＝﹣1時S△CPQ有最大值2，∴△CPQ面積的最大值為2，此時P點坐標為（﹣1，0）．5．（2021?廣東）已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象過點（﹣1，0），且對任意實數x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．（1）求該二次函數的解析式；（2）若（1）中二次函數圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C；點M是（1）中二次函數圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）二次函數解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，N點的坐標為（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣2﹣，0）．【解答】解：（1）不妨令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解得：x1＝x2＝3，當x＝3時，4x﹣12＝2x2﹣8x+6＝0．∴y＝ax2+bx+c必過（3，0），又∵y＝ax2+bx+c過（﹣1，0），∴，解得：，∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，又∵ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，∴ax2﹣2ax﹣3a﹣4x+12≥0，整理得：ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，∴a＞0且Δ＝0，∴（2a+4）2﹣4a（12﹣3a）＝0，∴（a﹣1）2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．∴該二次函數解析式為y＝x2﹣2x﹣3．（2）存在，理由如下：令y＝x2﹣2x﹣3中y＝0，得x＝3，則A點坐標為（3，0）；令x＝0，得y＝﹣3，則點C坐標為（0，﹣3）．設點M坐標為（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0），根據平行四邊形對角線性質以及中點坐標公式可得：①當AC為對角線時，，即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴n＝1，即N1（1，0）．②當AM為對角線時，，即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴n＝5，即N2（5，0）．③當AN為對角線時，，即，解得：m1＝1+，m2＝1﹣，∴n＝或﹣2﹣，∴N3（，0），N4（﹣2﹣，0）．綜上所述，N點坐標為（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣2﹣，0）．五．正方形的性質（共1小題）6．（2023?廣東）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒．素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關系；（2）證明（1）中你發現的結論．【答案】（1）∠ABC＝∠A1B1C1；（2）證明過程見解答．【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；（2）∵A1B1為正方形對角線，∴∠A1B1C1＝45°，設每個方格的邊長為1，則AB＝＝，AC＝BC＝＝，∵AC2+BC2＝AB2，∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠A1B1C1．六．圓的綜合題（共2小題）7．（2023?廣東）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．【答案】（1）證明過程詳見解答；（2）①證明過程詳見解答；②．【解答】（1）證明：∵點A關于BD的對稱點為A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；（2）①證明：如圖2，設CD⊙O與CD切于點F，連接OF，并延長交AB于點G，∴OF⊥CD，OF＝OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD＝BD，AB∥CD，AC＝BD，OA＝AC，∴OG⊥AB，∠FDO＝∠BOG，OA＝OB，∴∠GAO＝∠GBO，∵∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG（ASA），∴OG＝OF，∴OG＝OE，由（1）知：AA′⊥BD，∴∠EAO＝∠GAO，∵∠EAB+∠GBO＝90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°，由（1）知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO＝，∴tan30°＝，∴；②解：如圖3，設⊙O切CA′于點H，連接OH，∴OH⊥CA′，由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA＝OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′，∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，∴，∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，∴AA′＝CA′，∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，設AE＝OE＝x，則OD＝OA＝，∴DE＝OD﹣OE＝（）x，在Rt△ADE中，由勾股定理得，＝1，∴x2＝，∴S⊙O＝π?OE2＝．8．（2021?廣東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．（1）求證：CF⊥FB；（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積．【答案】（1）（2）證明見解答；（3）【解答】（1）證明：∵CD＝DF，∴∠DCF＝∠DFC，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠DFC＝∠EFC，∴∠DFE＝2∠EFC，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∵CD∥EF，CD∥AB，∴AB∥EF，∴∠EFB＝∠AFB，∴∠AFE＝2∠BFE，∵∠AFE+∠DFE＝180°，∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，∴∠BFE+∠EFC＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BF；（2）證明：如圖1，取AD的中點O，過點O作OH⊥BC于H，∴∠OHC＝90°＝∠ABC，∴OH∥AB，∵AB∥CD，∴OH∥AB∥CD，∵AB∥CD，AB≠CD，∴四邊形ABCD是梯形，∴點H是BC的中點，∴OH＝（AB+CD），連接CO并延長交BA的延長線于G，∴∠G＝∠DCO，∵∠AOG＝∠DOC，OA＝OD，∴△AOG≌△DOC（AAS），∴AG＝CD，OC＝OG，∴OH是△BCG的中位線，∴OH＝BG＝（AB+AG）＝（AF+DF）＝AD，∵OH⊥BC，∴以AD為直徑的圓與BC相切；（3）如圖2，由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，∵∠DFE＝120°，∴∠CFE＝60°，在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，∴CF＝2EF＝4，∴CE＝＝2，∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ECD＝∠CEF＝90°，過點D作DM⊥EF，交EF的延長線于M，∴∠M＝90°，∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，∴四邊形CEMD是矩形，∴DM＝CE＝2，過點A作AN⊥EF于N，∴四邊形