培養學生數學思維深刻性的路徑探索目錄TOC\o"1-2"\h\u23211培養學生數學思維深刻性的路徑探索 1192401引言 1267702理論基礎 2153312.1概念界定 258102.2模型構建 3168123深刻性思維品質的培養策略 485673.1知識的形成：注重概念教學，挖掘思維的深度 4263994.2知識的完善：構建“導圖—解題”網，拓寬思維的廣度 544794.3知識的拓展：重視一題多變，形成思維的梯度 7248394.4知識的升華：滲透思想文化，形成思維的厚度 7108755總結 929958參考文獻 9摘要：數學深刻性思維品質是一切思維品質的基礎，反映了學生觸及問題的深入程度。數學抽象又是數學學科素養中最重要的素養，是數學最基本的思維方式。它們二者緊密聯系，思維的深刻性可以看成是抽象思維特征的一個重要體現。因此，文章從思維的深度、廣度、梯度、厚度四個方面進行思考，并提出了與之對應的四條教學策略，探討了如何在抽象素養觀下發展學生思維的方法。關鍵詞：抽象素養；數學思維；四思四行；策略1引言數學學科核心素養是核心素養體系在數學學科中的滲透，反映了我國人才培養的質量以及數學學科的教育水平。它包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象以及數據分析。思維品質一般是指思維的深刻性、廣闊性、敏捷性、靈活性、批判性和獨創性。這些思維品質反映在數學思維上就形成了數學的思維品質。關于二者的關系，學界普遍認可數學思維品質對數學學科素養具有積極的促進作用。鄭毓信認為：“應將思維的發展看成數學核心素養的基本涵義。”[3]張奠宙認為：“數學核心素養可以界定為‘精準智能思維與行為的養成’，如果用一個關鍵詞來概括數學思維的特征，那就是‘精準思維’?！盵4]《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中也明確指出：“數學學科核心素養是是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現。”[5]由此可見，數學思維品質是數學學科素養的重要組成部分，發展數學思維品質能夠有效促進學生數學學科素養的形成。盡管以思維品質促進學科素養的觀點在理論上具有可行性，人們也對此進行了大量研究并取得一定研究成果，但是，如何突破實踐操作上的困難，在課堂教學活動過程中加以應用，這方面的文章仍舊比較匱乏，并且大多是對思維品質和學科素養兩個整體的策略研究。因此，文章從發展學生數學素養的目的出發，考慮到教學實際上就是幫助學生在學習數學的過程中掌握這一學科的關鍵能力，要做到這一點，學生就需要具備洞悉事物本質的眼光和能力，而這恰恰與思維的深刻性品質和數學抽象能力不謀而合。數學深刻性思維品質是一切思維品質的基礎，反映了學生觸及問題的深入程度。數學抽象又是數學學科素養中最重要的素養，是數學最基本的思維方式，反映了數學的本質特征。它們二者緊密聯系，思維的深刻性可以看成是抽象思維特征的一個重要體現，因此，思維的深刻性是抽象思維能力培養中必須要關注的環節?；谏鲜龇治?，文章從思維的深度、思維的廣度、思維的梯度以及思維的厚度四個方面進行思考，初步構建了以促進學生思維的深刻性為目的，并最終指向數學抽象素養形成的框架模型，并在此基礎上，提出了與之對應的四條教學策略，以期望能夠為數學課堂中思維品質的真正落實、核心素養的真正落地提供一條清晰且具有實際操作性的解決路徑。2理論基礎2.1概念界定數學抽象是學生形成理性思維的先決條件，對提升學生數學思維能力具有重要意義。要理解它，就要先明白何為抽象？何為數學抽象？“抽象”起初是來自拉丁語“abstractio”，表示排除、抽出的意思。《辭?！分袑ⅰ俺橄蟆倍x為：從許多事物中，舍棄個別的、非本質屬性，抽象出共同的、本質屬性的思維過程。數學抽象作為一種特殊的抽象，它的研究對象是數學中的數量關系和空間形式，類比抽象的產生路徑，數學抽象也是一個有舍有得的過程，舍去事物外在之物理屬性，得到數學對象之本質規律。因此，數學抽象素養可以理解成培養學生數學抽象能力的素養，這種能力的形成表現為：能夠形成數學的概念和法則；能夠形成命題和建立模型；能夠形成數學基本思想方法；能夠形成數學的理論體系等等。數學深刻性思維品質又是一切思維品質的基礎。徐利治教授指出：“透視本質的能力是構成創造力的一個因素?！盵6]透視本質的能力即是我們通常所說的思維的深刻性，它反映了學生觸及問題的深入程度。思維越深刻，越容易脫離常規方法的束縛，理解不同問題、解法之間的本質區別和聯系，這樣也就能從整體上把握問題本質，促進思維的靈活性、敏捷性、獨創性等其他思維品質的合力發展。推動促進“深刻性”思維品質數學抽象素養關于二者之間的關系，史寧中教授曾經指出：“真正的知識是來源于感性的經驗、通過直觀和抽象而得到的，并且，這種抽象是不能獨立于人的思維而存在的。”[7]推動促進“深刻性”思維品質數學抽象素養圖SEQ圖\*ARABIC12.2模型構建時至今日，我們可以發現有許多看似非?！绊槙场钡恼n堂，學生學習結束后卻收獲甚微，因為他們的思維仍然止步于表層的認識，得不到深入，長此以往，學生終將如“大浪淘沙”一樣，被這個時代所拋棄。因此，發展學生思維的深刻性成為一個必然趨勢，教師在教學活動中就要有意識地去培養學生思維的深刻性，如何去培養？文章基于思維的四個“度”，構建了圖2的“深刻性——抽象素養”思維模型。深度深度梯度梯度厚度厚度數學概念數學概念廣度 廣度圖SEQ圖\*ARABIC2該模型構建了以思維的廣度、深度、厚度、梯度為一體的“四位一體”框架模型。首先，以思維的廣度鋪設形成二維平面，又以思維的深度朝縱向發展形成三維立體結構，然后，在縱深發展過程中，還要保證思維的梯度，實現思維的螺旋上升，同時，融入數學文化，充實思維的厚度。該模型以促進學生思維的深刻性為目的，并最終指向數學抽象素養的形成。在此大框架下，又對如何實現思維四個“度”的問題進行進一步的探索。我們認為，該模型立足一個交點：數學概念。因為數學中的“雙基”可以看作是數學思維構建的基礎，而絕大部分數學知識本身就是由一些基本概念組合發展而來的，所以，我們將基本的數學概念作為思維發展的原點有其合理性。起點的選擇確定了，思維的發展也就有了具體的落腳點，即通過挖掘概念的本質特征實現思維的深度、通過一題多變實現思維的梯度、通過數學知識的網絡建構實現思維的廣度、通過提煉數學思想方法、體會數學文化魅力實現思維的厚度。3深刻性思維品質的培養策略3.1知識的形成：注重概念教學，挖掘思維的深度學生對概念本質理解的程度決定了學生思維的深淺程度。概念的理解是在對概念內容高度凝練、抽象概括后再重新還原、解剖和分析的過程?？墒聦嵣?，教師最容易忽視的恰恰也是概念的探索，教學由于時間的限制等因素，教師往往就省略了這個步驟，導致在一開始就沒有將概念“是什么”和“為什么”講清、講透，這樣一來，學生思維得不到深度延伸，學生對概念的理解仍然處于膚淺的認識。因此，教師在教學中需要注意引導學生經歷對事物屬性經過抽象概括提煉成概念的過程，從類似這樣的揭示知識發生過程中促進思維的縱深發展。以高中函數概念生成為例，要理解函數本質，根本上要回答兩個問題：一是學生如何從初中函數的變量說過渡到高中函數的對應說，突破認知瓶頸；二是教師如何設計教學幫助學生從集合的角度抽象出函數概念。階段1回答“為什么要建立函數概念”的問題這個階段，教師可以結合函數概念的歷史發展過程實施教學。古往今來，許多數學家和數學教育家都對函數賦予了自己的見解，教師可以通過相關閱讀材料的展示，重現問題發生的情境，讓學生循著數學家的足跡去了解函數概念的歷史發展脈絡，對“為什么”能夠心中有數。階段2回答“怎么建立函數概念”的問題情境圖3是北京市2016年11月23日的空氣質量指數變化圖，表示空氣質量指數，表示這一天內的任意時刻。圖SEQ圖\*ARABIC3問題1你認為這里的是的函數嗎？問題2上述情境中有變量嗎？有幾個變量？變量之間有什么關系？問題3你能用集合的語言去表示這兩個變量嗎？問題4你能用集合的語言去表示這種對應關系嗎？問題5結合剛才對函數本質的概括，你能用自己的話闡述函數概念嗎？高中函數的本質是兩個數集之間的對應。教師通過生活實例先讓學生感知函數自變量和因變量之間的對應關系，然后結合學生剛剛學習過的集合語言對變量及變量之間的關系作出描述，最后順利建立高中的函數概念。4.2知識的完善：構建“導圖—解題”網，拓寬思維的廣度從思維的深刻性角度來看，思維面的廣度在一定程度上能夠促進學生對事物本質的深刻認識。布魯納曾經說過：“不論我們教什么，務必使學生理解該學科的結構?！蓖瑫r，構建數學知識網絡也與國際數學教育界所提倡的“聯系的觀點”不謀而合。數學知識體系作為一個大系統，知識與知識之間有著錯綜復雜的千絲萬縷的聯系，如果學生對各知識之間的縱橫關系有一個整體性認識，那么，學生在問題解決時也就能夠更好的由此及彼，推動思維的深刻性發展。拓寬思維廣度，落實到真實的課堂教學活動中，我們認為，首先，教師可以借助外顯的思維導圖幫助和引導學生建構他們自己的知識結構網，在思維導圖的整理過程中，學生通過串點成線、織線成面實現對零散知識的歸一，有利于學生形成對知識的整體認識，這是學生的第一次思維發散；但是，它也存在弊端，教學上比較明顯的表現為學生“懂而不會”，學生能夠侃侃而談的說起求單調性有幾種方法，真正解題時卻無從下手。因此，學生頭腦中建構的知識框架必須落地生根，通過一題多解、多題一解等教學手段進行檢驗、強化、拓展，這是第二次思維發散；最后，學生將通過解題訓練獲得的活動經驗納入已有的知識框架，作為補充與完善。前者是后者的準備基礎，后者是前者的深化拓展，但二者對學生思維的廣度都有積極的促進作用（如圖4）。思維導圖思維導圖一題多解思維導圖第一次發散第二次發散圖SEQ圖\*ARABIC4現在，以“函數的基本性質”為例，對上述思維的兩次發散過程作如下分析：階段1知“梳”達理，活用思維導圖“函數的基本性質”是在學生學習了函數概念后對函數性質的繼續研究，是函數概念的延續和拓展，同時，它又為后續指數函數、對數函數、三角函數內容的學習奠定基礎。因此，這也從側面反映出這一節內容絕不是孤立存在的，在教學過程中，教師需要引導學生用思維導圖建構起自己的知識網絡，對知識進行前后梳理，從而達到有理可依、有理可據。圖SEQ圖\*ARABIC5“學法指導”思維導圖階段2落地生根，依托一題多解“一題多解”就是以原題為中心，向它蘊含的方方面面進行拓展和深化，揭示數學概念的本質屬性和非本質屬性[8]。事實上，即使學生面前放著同一道問題，但是，由于學生的數學思維有所差異，思考問題的角度有所側重，他們采取的解題方法自然有所不同，這也是為什么有的時候學生的奇思妙想會讓一道題遍地開花。通過“一題多解”教學方式，不僅能夠加深學生對問題的理解和認識，而且能夠幫助學生學會全面地觀察問題，運用多方經驗尋求問題的最優解，提升學生的發散思維能力。例如，對于如下問題：問題已知函數，，求的最小值。這道題的目的是讓學生結合單調性求函數的最值問題，學生如果只是憑借思維導圖明了證明函數（非復合函數）單調性理論上有三種方法，卻不進行實地操作，他不會知道這幾種解法在思維上的區別與聯系，沒有對比，便不會知道解決此類問題的最優方案其實是數形結合法和導數法。方法一（定義法）在定義域內，任取兩點、，不妨設，∵，，∴.又∵，但與0的大小無法確定，∴原函數在上的單調性不易判斷?！啻朔椒ń忸}存在較大困難。方法二（導數法）先利用導數方法判斷的單調遞增區間是，單調遞減區間是，再考慮區間的兩個端點，可知：當時函數取得最小值。方法三（圖像法）借助二次函數圖像，通過數形結合可以直觀看出原函數在上的單調性，進而容易判斷出函數在時有最小值。圖SEQ圖\*ARABIC6通過一題多解以及生生交流、師生對話等活動，學生實現第二次思維發散，同時，學生也能將解題過程中獲得的直接經驗納入進原來的知識結構中去，不僅知道證明函數單調性有幾種方法，還知道最優解法是什么，知其然更知其所以然，達到完善知識、發散思維、提升思維的廣度的目的。4.3知識的拓展：重視一題多變，形成思維的梯度所謂一題多變，是指通過對問題的條件或者結論進行變更，從而產生多種類型，引導學生從多角度、多層次探究問題的一種教學方式。它從問題題根開始，在學生最近發展區內設置新的問題，然后新知變舊知、舊知促新知，從而使變化了的問題梯度分明、層次清晰。同時，也正是因為這種“多變性”，在解題訓練過程中，教師更需要注重培養學生的“應變”能力，包括“變中發現不變”的洞悉問題本質的能力以及“以不變應萬變”的解題能力，在變式中實現思維的梯度生長，提升學生對問題的深刻理解。比如，對于下面的變式：問題已知的定義域為，求的取值范圍。變式1已知的定義域為，求的取值范圍。變式2已知的定義域為，求的取值范圍。變式3已知函數定義域為，值域為，求，的值。通過對比和分析，例3和變式1-3變化的是函數的形式，不變的是對任意的，不等式恒成立問題，但變式之間又梯度分明，難度螺旋上升。通過諸如此類的變式訓練，學生思維在層次鮮明的基礎上又能朝縱深發展。4.4知識的升華：滲透思想文化，形成思維的厚度當數學文化成為滋養數學課堂的沃土，學生感受數學文化魅力的過程就已經開始觸及到數學的本質。一堂有意義的數學課只是知識的“輸入-輸出”必然不夠，學生追根溯源的過程是否能夠與之產生共鳴才是學生思維走向深刻的關鍵。更何況，在高考試卷中我們經常能夠看見以數學文化為背景的試題，比如畢達哥拉斯研究的形數、斐波那契數列、《九章算術》中“竹九節”“開立方圓”“天池盆測雨”等問題，說明今天的教育也愈發重視學生在數學學科上所表現出來的數學文化素養，因此，教師需要在教學中有意識的滲透數學思想文化，形成思維的厚度，方能保證思維深刻的長盛不衰。以“數系的擴充”為例，學生要深刻理解復數的概念，實現由實數向復數的擴充，關鍵是要讓學生體會虛數單位的形成、發展過程，而數的發展本身就有著豐富的文化內涵，教師如果視而不見，那么最終呈現的教學就是“外強中干”，空有形式，抓不到本質。階段1提煉問題本質，形成抽象思想問題將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40，則這兩個數分別是多少？數學史片段1事實上，這個問題正是16世紀意大利數學家卡丹遇到的問題，當時他正在研究數的拆分。然而，作為一名數學家，他發現這樣一個簡單的方程沒有解。他并不甘心，希望通過自己深入的研究來解決這個問題?！翱ó攩栴}”的引入，讓學生面臨與數學家一樣的困難，即方程在實數范圍內無解。學生解決問題的關鍵就是弄清楚現有問題與傳統觀念的沖突是什么，即提煉問題本質，這個過程實質上就是對問題本質進行抽象概括。階段2回顧數系擴充，體會數學文化為了解決學生思維上“負數不能開平方”的矛盾，讓方程有解，就必須擴充數的范圍，于是，使“學生回顧數系擴充歷程”這一教學活動就可以順勢展開。問題組問題1在過去的學習過程中有沒有遇到過類似的問題？問題2當時又是如何解決這些問題的呢？數學史片段2古希臘畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現無理數的歷史。數學史片段3數學家歐拉首先使用表示這個新元素，并取名為虛數單位，但是，他仍認為這個新數過于虛渺，于是，就將英文imaginary的首字母定義為的一個平方根。新元素新元素新元素自然數集新元素新元素新元素自然數集整數集有理數集實數集？添加添加添加添加添加添加？？圖SEQ圖\*ARABIC7由問題1和問題2，學生思維得到啟發，朝著這個方向通過自己的回顧總結、小組交流也能知道：數系的每一次擴充都是通過新元素的引入去回答舊數系不能回答的問題。因此，對于實數集中方程無解問題，引入新元素的過程自然水到渠成。后通過數學史片段的呈現證實數學家也是這樣想、這樣做的，使學生能夠沿著數學家思考問題的方向思考，產生文化共鳴，理解虛數單位的深刻意義。5總結以上我們分析了如何從思維的四“度”入手去提升學生思維的深刻性、發展抽象素養，并給出了四條教學策略作為“四度”思考的實踐補充。學生思維深刻性的培養是一個細水流長的過程，作為教師，一定是這個長期工程的主力軍。因此，在數學課堂教學環境中，教師教學的著力點應放在如何將數學思維訓練滲透在課堂教