第02講等差數列及其前n項和

（10類核心考點精講精練）

IfV考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

2024年新I卷，第19題,17分等差數列通項公式的基本量計算數列新定義

等差數列通項公式的基本量計算

2024年新H卷，第12題,5分無

求等差數列前n項和

等差數列通項公式的基本量計算

2024年全國甲卷，第4題,5分利用等差數列的性質計算無

等差數列前n項和的基本量計算

由遞推關系證明數列是等差數列

2023年新I卷，第7題,5分充分條件與必要條件的判定

等差數列前n項和的性質

等差數列通項公式的基本量計算利用

2023年新I卷，第20題,12分等差數列的性質計算無

等差數列前n項和的基本量計算

利用定義求等差數列通項公式

2023年新H卷，第18題,12分等差數列通項公式的基本量計算求等分組（并項）-奇偶項求和

差數列前n項和

利用%與￡，關系求通項或項

2022年新I卷，第17題,10分利用等差數列通項公式求數列中的項累乘法求數列通項

裂項相消法求和

數學新文化

2022年新II卷，第3題,5分等差數列通項公式的基本量計算

已知斜率求參數

等比數列通項公式的基本量計算

2022年新H卷，第17題,10分等差數列通項公式的基本量計算

數列不等式能成立（有解）問題

利用定義求等差數列通項公式由遞推數列研究數列的有關性質

2021年新I卷，第17題,10分

求等差數列前n項和分組（并項）-奇偶項求和

等差數列通項公式的基本量計算

2021年新H卷，第17題,10分解不含參數的一元二次不等式

求等差數列前n項和

1

2020年新I卷，第14題,5分求等差數列前n項和無

2020年新H卷，第15題,5分求等差數列前"項和無

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分

【備考策略】1.理解等差數列的概念

2掌握等差數列的通項公式與前n項和公式

3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系并能用等差數列的有關知識解決相應的問題

4.理解等差數列與一次函數的關系及等差數列通項公式與前n項和的關系

5.熟練掌握等差數列通項公式與前n項和的性質

【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般給出數列為等差數列，或通過構造為等差數列，求通

項公式及前〃項和。需綜合復習

d2?考點梳理?

知識點1等差數列的定義

知識點2數學表達式

知識點3通項公式

知識點4等差數列通頊公式與函數關系

知識點5等差中項

知識點6等差數列通項公式的性質

知識點7等差數列前詆和

知識點8等差數列前n項和與函數關系

知識點9等差數列前n項和的性質

知識點10證明數列為等差數列的方法

考點1等差數列的項、公差及通項公式的求解

考點2等差中項的應用

考點3等差數列的性質

考點4等差數列前胸和的求解

考點5等差數列前傾和的性質

核心考點考點6等差數列通項公式與前n項和的關系

考點7等差數列通項公式與前n項和的最值

考點8等差數列中的數學文化

考點9等差數列奇偶項的和

考點10等差數列的證明

知識講解

1.等差數列的定義

從第二項開始，后一項與前一項的差為同一個常數，這個數列是等差數列，這個常數是等差數列的公差,

2

用d表示

2.數學表達式

an^-an=d

3.通項公式

an=al+(n-\)d,(ne7V+),an=am+｛n-m)d,｛neN+)

4.等差數列通項公式與函數關系

an=q+-\）d=>an=dn+d_d）

令K=d,B=ax-d,=>+5=>等差數列｛a,J為一次函數

5.等差中項

若A,B,C三個數成等差數列，則23=2+C,其中8叫做Z,C的等差中項

6.等差數列通項公式的性質

(1)若加+〃=)+[=am+an=ap+aq,或加+場=2。=am+an=2ap

⑵若｛%｝,包｝為等差數列，貝ij｛%土”｝,｛加％土機｝仍為等差數列

7.等差數列前n項和

?n(a,+??)??n(n-1W

S=-——或S=na,+——)—

"n2n2

8.等差數列前n項和與函數關系

cmn-l)ddn2-dn「d?(d\

S?=na,+------—=>d?=na,---------=4>S?=-+a,-----\n

"1222I2j

令A=一，B=a,——,=4>S=An2+Bn

22"

n等差數列｛4｝前〃項和公式是無常數項的二次函數

9.等差數列前n項和的性質

(1)耳，邑*—耳，s3k-s2k……仍成等差數列

(2)圖為等差數列

推導過程：=An+B（一次函數）n出為等差數列

nnInI

（3）Sm+n=Sm+Sn+rnnd

⑷$20_1=（2〃—1）%

10.證明數列為等差數列的方法

（1）an+l-a?=c（C為常數）=>｛4｝為等差數列

2

（2）通項公式：an=Kn+B（一次函數），前〃項和：Sn=An+Bn（無常數項的二次函數）

3

(3)若28=Z+C,則Z,B,。三個數成等差數列

考點一、等差數列的項、公差及通項公式的求解

電典例引領

1.(2024?安徽池州?模擬預測)在等差數列｛g｝中，&+%=24,%=15,則4=()

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】利用等差數列的性質計算即可.

【詳解】設等差數列的公差為比因為%+6=2&=24,所以必=12,又％=15,

所以公差d=3,%=。6-24=6.

故選：C

2.(2022?河南南陽?三模)已知數列｛%｝為等差數列，％=2,2%+&=%+13,則該數列的公差

為.

【答案】3

【分析】由已知，利用等差數列通項公式列方程求公差即可.

【詳解】設公差為d,則2az+d=13,又出=%+1,

則2%+3d=4+3d=13,可得(7=3.

故答案為：3

3.(2024?江蘇徐州?模擬預測)若等差數列｛aj滿足4+4+1=4〃+1,則%=()

31

A.3B.-C.1D.-

22

【答案】B

【分析】設等差數列｛與｝的公差為d,由通項公式寫出。，=%+("-1W和。用=4+”[,都代入

4+4+1=4〃+1中，化簡即可求出生?

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,則。“=4+("-l)d,an+1^al+nd,

因為a”+a“+i=4?+1,可得+a“+i=2%+(2〃-1”=2a；-d+2nd,

/2%-d=lL=-

所以有,解得12,

4卜=2

故選：B.

4.(2024?山東?二模)已知數歹！]｛。"｝嗎=13q+]=%-4.求:

(1)數列｛%｝的通項公式；

⑵數列｛。,｝的前〃項和S?的最大值.

4

【答案】⑴4=-4"+17；

（2）28

【分析】（1）根據題目條件得到｛%｝是以13為首項，-4為公差的等差數列，求出通項公式；

（2）求出通項公式，解不等式，得到數列從第5項開始小于0,從而得到數列｛4｝的前4項和最大，利用

求和公式求出答案.

【詳解】（1）由。什1=。“-4,可知。=-4,

所以數列｛%｝是以13為首項，以-4為公差的等差數列，

所以=13-4（〃-1）=-4〃+17；

（2）由（1）可知%=-4〃+17,

17

令一4〃+17>0,解得〃<一，

令一4〃+17<0,解得〃〉一,

即數列從第5項開始小于0,所以數列｛4｝的前4項和最大,

4x3

最大值為=4x13H---x(—4)=28.

即時檢測

1.（2024?陜西商洛?模擬預測）已知等差數列｛%｝滿足的+%=14,且%-。2=8,則首項％=（）

【答案】A

【分析】根據等差數列通項公式直接求解即可.

【詳解】設等差數列｛七｝的公差為d,因為出+%=14,且。4-%=8,

\a2+a3=2%+3d=14=1

所以彳c，o>所以L,?

一%=24=8[a=4

故選：A

2.（2024?四川雅安?三模）在等差數列｛%｝中，若出+&=10，%=9,則為=（）

A.21B.24C.27D.29

【答案】A

【分析】由等差中項的性質、以及等差數列基本量的計算得公差d,進一步即可得解.

【詳解】在等差數列｛6｝中，若%+&=羽=10，%=9,即&=5

則公差d=。5=4,所以6=%+34=21.

故選：A.

5

3.(2024?陜西安康?模擬預測)在公差為d的等差數列｛。“｝中，&=6,%%=48,貝()

A.1或2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【分析】根據給定條件，利用等差數列通項列式求解即得.

【詳解】在等差數列｛%｝中，％=6,%。7=48

則a3al=(a6—3d)(R+d)=3(2—d)(6+d)=48,整理得(d+2>=0,

所以〃=—2.

故選：D

4.(2024高三?全國?專題練習)已知｛與｝是遞增的等差數列，出，Q是方程--5x+6=0的根.

(1)求｛a“｝的通項公式；

(2)求數列樣;的前〃項和.

【答案】(1)%=看

【分析】(1)由等差數列基本量的計算可得公差，進而即可得解;

(2)直接由等比數列求和公式以及錯位相減法即可運算求解.

【詳解】(1)因為。2，。4是方程--5%+6二=0的兩個根，且｛%｝為遞增等差數列,

所以2=2,%=3,公差d=^3-=2],1

所以%=2+?(〃2)=2-

(2)由⑴知2：=2用，

所以S.=2?+23+.一+2"+2用'①

34〃+1〃+2小

223222"力

3123[UJJ〃+2

①-②得入-等

1n+2

2423242"*2"2~4]_j_2

~2

_3+12幾+2_]〃+4

~442"+22"+2.2"+2，

所以，斗=2-5;

6

考點二、等差中項的應用

中典例引領

1.（23-24高二下?北京懷柔,期中）若T,尤，3成等差數列，貝！|x的值為（）

A.1.5B.1C.2D.±72

【答案】B

【分析】根據條件，利用等差中項，即可求出結果.

【詳解】因為-1,x,3成等差數列，所以2x=-l+3,解得x=l,

故選：B.

2.（重慶?高考真題）在等差數列｛《,｝中，若出=4,%=2,則&=

A.-1B.0C.1D.6

【答案】B

【詳解】在等差數列｛6｝中，若%=4,&=2,則%=：（%+6）=1（4+6）=2,解得&=。，故選B.

.即_時__檢__測___

1.（23-24高二上?上海寶山?期末）3-2后與3+2忘的等差中項為.

【答案】3

【分析】根據等差中項的定義求解.

【詳解】3-2也與3+2夜的等差中項為3-28+3+2后=3.

2

故答案為：3.

2.（24-25高二上?上海?課前預習）等差數列｛%｝的前三項依次為x,2x+l,4尤+2,則x的值為.

【答案】0

【分析】根據等差中項知識即可求解.

【詳解】等差數列｛。“｝的前三項依次為x,2x+l,4x+2,

x+4x+2=2x（2x+1）,貝x=0.

故答案為：0.

3.（江西?高考真題）設數列｛為｝,｛6｝都是等差數列，若如+比=7,a3+b3=21,則。5+加=.

【答案】35

【詳解】因為｛。/｛6｝都是等差數歹力所以｛%+4｝也成等差數列，根據等差數列的性質，。1+岳=7,。3+

仇=21,。5+仇成等差數列，因而。5+d=2x21-7=35.

7

考點三、等差數列的性質

中典例引領

1.（江西,高考真題）已知等差數列｛%｝,若。1+。2+〃3~'----HQ]?=21,貝%+。8+。11=___-

【答案】7

【詳解】根據等差數列的性質和題設條件，求得%+%2=鼻，結合生+。5+/+%=2（4+%2），即可求解.

【解答】因為等差數列｛%｝中，滿足%+%+/+…+%2=21,

7

根據等差數列的性質可得/+4+。3--------1~。12=6Q+%2）=21,解得q+々2=5，

又由。2+。5+。8+1=2口+的）=7.

故答案為：7.

2.（北京,高考真題）在等差數列｛4｝中，已知1+電+。3+。4+。5=20,那么%等于（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】設首項為生,公差為d，由已知有5%+10d=20,所以可得%的值.

【詳解】解：???｛4｝為等差數列，設首項為q,公差為d,

由已知有54+10（7=20,/.ax+2d=4,

即。3=q+2d=4.

故選：A.

3.（2024?河南關B州?一模）已知數列｛〃〃｝為等差數列，%+出+〃3=7,%+為+為=13,則13+14+%5=（

A.19B.22C.25D.27

【答案】A

【分析】依題意由等差數列性質計算可得出=：7，歿=羨13，利用等差中項計算可得知=1]9，可求出

。13+64+。15=3。14=19.

【詳解1根據等差數列性質，由％+%+。3=7,%+“8+。9=13可得3a2=7,3右=13,

713

所以可得出=§用=不，

19

又生+%4=2〃8可得%=牙，

所以。13+%4+a15=3%4=19.

故選：A

8

即時校L

1.（2024?廣西柳州?模擬預測）在等差數列｛0“｝中，若%+%+%7+。20=48,貝1%=（）.

A.7B.12C.16D.24

【答案】B

【分析】觀察數列下標根據等差數列的性質進行求解.

【詳解】在等差數列｛%｝中，

^m+n=p+q,則%,+a“=<+與，

所以出+%+%7+?0=48=為“，所以％[=12.

故選：B

2.（2023?廣西南寧?模擬預測）在等差數列｛%｝中，若％+/+%+%+%=120,貝1]2&-%=.

【答案】24

【分析】

由等差中項的性質即可求解.

【詳解】因為在等差數列｛%｝中，有為+%=。2+。4=犯，所以由4+出+。3+%+。5=120,

5〃3=120,Q3=24,3^,“3+。9=2a6—cig—%—24.

故答案為：24

3.（2024?陜西商洛?模擬預測）已知等差數列｛4｝的前〃項和為S”，且S28=56,則

%2+13+。14+%5+。16+%7=.

【答案】12

【分析】由等差數列前〃項和公式可得%+%8=4,再根據等差數列的性質求解即可.

【詳解】由%=（%+?）X28=56,得%+%8=4,

貝I」%2+413+〃14+45+〃16+。17=3（Q]+28）=12.

故答案為：12.

考點四、等差數列前〃項和的求解

典例引領

1.（2024?全國?高考真題）記S"為等差數列｛%｝的前"項和,若%+%=7,3a,+a5—5,則品=.

【答案】95

【分析】利用等差數列通項公式得到方程組，解出為再利用等差數列的求和公式節即可得到答案.

9

(q+2d+q+3d=7[(J——4

【詳解】因為數列4〃為等差數列，則由題意得”，、,…:，解得[Q，

[3(q+d)+。]+4d=5[d=3

inxo

則S]o=lOq+^—d=10x(—4)+45x3=95.

故答案為：95.

2.(2024?全國?高考真題)記S〃為等差數列｛凡｝的前〃項和，已知S5=S/a5=l,則4=()

7717

A.-B.-C.一一D.——

23311

【答案】B

【分析】由S5=S]。結合等差中項的性質可得1=0,即可計算出公差，即可得q的值.

【詳解】由S]0—S5=&+%+。8+“9+"10=以=0,則。8=°，

則等差數列｛凡｝的公差故為=%-紀=1-4'.：|=:.

故選:B.

3.(2023?全國,高考真題)記S”為等差數列｛〃“｝的前〃項和.若g+4=10，%。8=45,則/=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列｛%｝的公差和首項，再根據前〃項和公式即可解出;

方法二：根據等差數列的性質求出等差數列｛4｝的公差，再根據前"項和公式的性質即可解出.

【詳解】方法一：設等差數列｛%｝的公差為d,首項為外,依題意可得，

a2+a6=al+d+al+5d=10,即為+3a=5,

又為。8=(4+%)(4+7d)=45,解得：d=l,a1=2,

5x4

所以S5=5%+；-xd=5x2+10=20.

故選：C.

方法二：4+。6=24=1°，。4。8=45,所以%=5,6=9,

從而"="二幺=1,于是%=%-4=5-1=4,

8—4

所以￡=5%=20.

故選：C.

4.(2023?全國?高考真題)記S,為等差數列｛aj的前〃項和，已知出=11,兀=40.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵求數列｛|。”|｝的前〃項和

【答案】⑴。“=15-2〃

10

i^n-n2,n<7

⑵騫

n2-14〃+98,〃>8

【分析】(1)根據題意列式求解力,",進而可得結果；

(2)先求S“，討論知的符號去絕對值，結合S”運算求解.

【詳解】(1)設等差數列的公差為"，

42-q+。-1][ax+d=\\\ax=13

由題意可得。1A10x9「心，即:皿Q，解得「、，

SI0=1OQ]H-----d=40[2〃]+9d=8[d=-2

、2

所以=13-2(〃-1)=15-2〃，

(2)因為S"="13+；5-2〃)=]加”,

令a“=15-2〃>0,解得“<￡,且〃eN*,

當〃V7時，則>0,可得T.=同+同T--F㈤="+a2T---3%=S"=14n—n2；

當〃28時，則%<0,可得看=同+|“2卜---=---卜。7)-(。8"---

222

=S7-(Sn-S7)=2S7-S?=2(14x7-7)-^4n-n)=n-14n+98；

J14n-n2,n<7

綜上所述:

[n2-14M+98,H>8

5.(2021?全國?高考真題)記S“是公差不為0的等差數列｛與｝的前力項和，若生=&，出氏=邑?

(1)求數列｛%｝的通項公式。“；

(2)求使J>4成立的?的最小值.

【答案】⑴/=2"-6；⑵7.

【分析】(1)由題意首先求得。3的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式;

(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】⑴由等差數列的性質可得：$5=56，則：%=5。3，，%=0,

2

設等差數列的公差為d,從而有:a2a.=(a3-d)(a3+d)=-d,

S4=%+。2+。3+。4=(03—2d)+(%_1)+%+(°3+d)=-2d,

從而：-d2=-2d，由于公差不為零，故：[=2,

數列的通項公式為：-3)4=2"-6.

⑵由數列的通項公式可得：%=2-6=-4,貝hS'=〃X(-4)+"(1)X2=〃2—5〃,

則不等式即：”2一5〃>2〃-6,整理可得：("-1)(〃-6)>0,

解得："<1或〃>6,又〃為正整數，故〃的最小值為7.

11

【點睛】等差數列基本量的求解是等差數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數

列的有關公式并能靈活運用.

即時檢測

I____________________

1.（2024?湖南衡陽?模擬預測）在等差數列｛。"｝中，公差d=3,S”為其前"項和，若$8=$9,貝尼7=（）

A.-2B.0C.2D.4

【答案】B

\S.,n=1

【分析】根據2=二0、。求出％=0,利用等差數列求和公式和性質得到答案.

【詳解】％=$9-國=0,用「7（丁"）=]7%=0.

故選：B.

2.（2024?遼寧?模擬預測）等差數列｛%｝的前〃項和記為J,若％=2,/+%=8,則L=（）

A.51B.102C.119D.238

【答案】B

【分析】結合等差數列的性質先求出公差d,然后結合等差數列的求和公式即可求解.

【詳解】等差數列｛4｝中，％=2,。3+〃7=2。5=8,即%=4,

所以八—L二,

5-12

貝Ui=17X2+”^?XL102.

22

故選：B.

3.（23-24高三上?陜西漢中?期末）設等差數列｛。“｝的前〃項和為S",%=3,§5=35.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）設數列｛|%|｝的前〃項和為求

【答案】⑴4=13-2〃

⑵52

【分析】（1）設出｛。“｝的公差為d,利用等差數列通項公式和前〃項和公式求解即可;

（2）由（1）判斷出｛%｝前六項為正，后四項為負，進而利用前〃項和公式求解即可.

【詳解】（1）設等差數列｛%｝的公差為d,

%=%+=3

,%=3,S$—35,*5x4,

S5=5〃iH—--d=35

12

解得多=11,d=-2,

故cin=〃]+(九—l)d-13—2n.

(2)由(1)知=-2幾+13,d=—2,

/.a6=I,%=-1,Sn=-----------=12n—n,

=kJ+|^22|H--F|=Q]+4----F〃6—(%+〃8++40)

=S6-(5l0-56)=2S6-Sl0=52.

4.(2024?吉林?模擬預測)已知等差數列｛%｝的前〃項和為S“，且4+2%=",24+%=7.

(1)求數列｛6｝的通項公式；

(2)若S,22〃+15,求"的最小值.

【答案】⑴。“=21；

(2)5.

【分析】（1）利用等差數列基本量求得力和公差，即可寫出通項公式；

（2）根據等差數列的前〃項和公式求得5“，再解不等式，即可求得結果.

z、［3。］+4"=11

【詳解】（1）設｛%｝的公差為d,由題可得：J?r'

+2d=7

解得4=1,d=2,故％=2〃-1.

（2）根據（1）中所求可得S=叫+心二0"=〃2,

由S“N2〃+15,則可得“2-2〃-1520,即（〃-5）（〃+3”0

解得“V-3（舍去）或"之5,

故”的最小值為5.

5.（2024?貴州六盤水,三模）已知｛0?｝為等差數列，且%=3。1，ax+as+a14—a10+24.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）若2"?22%+出+…+4恒成立，求實數力的取值范圍.

【答案】⑴％=2”+2

（2）［尹）

【分析】（1）根據題意建立方程求出等差數列的首項與公差，從而可求解；

（2）先求出等差數列的前〃項和，再將恒成立問題參變分離，接著利用數列的單調性求出最值，從而得解.

%+4d=3%

【詳解】（1）設數列｛。“｝的公差為d,則根據題意可得

3al+17d=%+9d+24

13

I?.=4

解得]c，貝lJ%=2〃+2.

[a=2

(2)由(1)可知運用等差數列求和公式，得至US”=%+%+…+。“=/+3”,

乂2'〃之％+與+…+。”恒成立，則22sH恒成立，

設則加+1)-/(")=一〃2襄+4,

當”=1時，/(2)-/(1)=|>0,即〃2)>/(1)；

當心2時，-n2-n+4<-2,貝1|/(〃+1)-/(")<0,則〃"+1)<八")；

則“"KL"2)，故22/(2)=，

故實翻的取值范圍為g,E).

考點五、等差數列前1項和的性質

典例引領

1.(遼寧?高考真題)設等差數列｛%｝的前〃項和為若$3=9,國=36,貝|%+/+%=()

A.63B.36C.45D.27

【答案】C

【分析】根據等差數列的前"項和的性質，列式求解.

【詳解】由等差數列的〃項和的性質可知，成等差數列，

即9,27,y-久成等差數列，所以9+S-"=54,所以W-S6=45.

即a7+as+a9=45.

故選：C

2.(全國?高考真題)等差數列前"項的和為30,前2〃項的和為100,則它的前力項的和為()

A.130B.170C.210D.260

【答案】C

【分析】根據等差數列前"項和的性質，結合已知數據，求解即可.

【詳解】利用等差數列的性質：S“，邑”-s“,邑”-$2“成等差數歹U,

所以S”+(S3"F)=2(S「S")，即30+(邑"-100)=2(100—30),解得%=210.

故選：C.

S13S

3.(2024?廣東深圳?模擬預測)設S,,是等差數列｛%｝的前〃項和，若U=77,貝巾色=____-

?611dll

14

【分析】由等差數列前〃項和公式計算％,"的等量關系，代入所求即可求出結果.

【詳解】設數列｛。〃｝的公差為d,

..五_74+21d_13

,/.ax=36d,

S66%+15d11

幾_15%+105d645

川5^―11%+55d-451

645

故答案為：-

已知等差數列｛%｝，也｝的前〃項和分別為總工，且,=缶，則￡=（）

4.（2024?全國?模擬預測）

57115

A.—B.C.—D.-

1616168

【答案】D

【分析】根據等差數列通項公式及求和公式可得結果.

【詳解】因為S“為等差數列｛4｝的前〃項和，所以可設（等差數列前〃項和的二級結論）

2

同理因為（為等差數列抄/的前〃項和,所以可設Tn=Cn^Dn.

n-1n(An+B\An+Bn-\/-、/、/、

又寸=F，所以----------------一----,即++=(C/7+/>)(?-1),

Tn?+ln[Cn+D^Cn+D

整理得4幾之+(/+B)〃+B=Cn2+(。一C)〃一。,解得A=—B=C=D.

不妨設s“=〃（〃一1）,則北=〃（〃+1）,則R=56盟=10力8=n-。=16,故答=■!，

故選：D.

5.（2024?河北衡水?三模）已知數列｛%｝，｛2｝均為等差數列，其前〃項和分別為S”，Tn,滿足

%+/+。9

(2〃+3洱=(3〃-1)&則)

b6+bW

A.2B.3C.5D.6

【答案】A

【分析】根據題意，利用得出數列的性質和得出數列的求和公式，準確計算，即可求解.

【詳解】因為數列｛。/，色｝均為等差數列，可得%+6+%=3。8=，156=!幾,

且&+廂=々+砥，又由十」5伍；.）,可得

a9_38二4

因此%+為+X—=2.

4+狐2Tl523

故選：A.

15

.即_時__檢__測___

1.（陜西?高考真題）等差數列｛4｝的前〃項和為S,,,若$2=2,S,=10,則$6等于

A.12B.18C.24D.42

【答案】C

【分析】數列每2項構成的等差數列的公差為6,計算得到答案.

【詳解】第一個2項和為2,第二個2項和為8,則每2項構成的等差數列的公差為6,

第三個2項和為14,貝U$6=2+8+14=24,

故選：C.

【點睛】本題考查了等差數列和的性質，意在考查學生的計算能力和應用能力.

2.（2024?全國?模擬預測）已知等差數列｛%｝的前〃項和為5“，邑=6,5?_3=16（?>4,?eN*）,S,=20,

則〃的值為（）

A.16B.12C.10D.8

【答案】B

【分析】利用等差數列的性質，以及前“項和公式，即可求解.

【詳解】由'=6,得4+°2+%=6①，

因為S“-3=16（"W4,〃eN*）,S,=20,

所以S“-S0-3=4,即g+%+%_2=4②，

①②兩式相加，得4+a“+出+。”_1+%+。4-2=1°，即3（q）=10,

所以％+%=乎，所以邑=〃（％+""）=.=20,解得”=12.

3”23

故選：B.

3.（2024?陜西咸陽?二模）已知等差數列｛%｝的前〃項和為S“，若邑=2,其=12,則S2。=（）

A.30B.58C.60D.90

【答案】D

【分析】借助等差數列片斷和的性質計算即可得.

【詳解】由數列｛g｝為等差數列，

故見、$8-$4、兒-$8、品，-&、S?。-&亦為等差數列，

由$4=2,5=12,則$8-$4=10，

故兒-$8=18,%-幾=26,520-516=34,

即有S[2=18+Sg=30,岳6=26+S]2=56,S20=34+S16-90.

故選：D.

4.（2024?陜西西安?模擬預測）已知等差數列｛6｝和｛勾｝的前"項和分別為S,和（，且*=*,則

16

a3_

石=-------

【答案】I

【分析】根據率設出工工的二次形式，由此求得生，與，即可化簡得到結果.

T“wT

【詳解】因為等差數列｛凡｝和｛4｝的前n項和分別為*和7；,

故可設清=—人。，

Tnn-1kn[n-\）

所以S“=初（及+3）/=布（〃一1）,左。0,

、/S3~^218左—10左8k4

所以廢一￡F_\及-&一短一1.

4

故答案為：—.

5.（2024?廣東佛山?模擬預測）設等差數列｛4｝,｛〃｝的前〃項和分別為S〃，Tn,若對任意正整數〃都有

S”2〃一3a.a

—=-----,則——+—Q—=（）

Tn4n-34+"&+&

351919巧7曰

A.—B.—C.—D.—E.均不7E

7214140

【答案】C

【分析】運用等差數列的等和性及等差數列前〃項和公式求解即可.

【詳解】由等差數列的等和性可得，

11,+〃）

aaaa+a11

/2_39_3+〃9_\H_2I1_SH_2x11_3_19

可記+1記=紊+亞=嘰=4+g=1囪+如]二4x11一3=4r.

故選：C.

考點六、等差數列通項公式與前〃項和的關系

典例引領

1.（全國?高考真題）設等差數列｛4｝的公差是心如果它的前〃項和S“=f2,那么（）

A.。”=2"—1,d=-2B.%=2〃—1,d—2

C.d?-—2n+1,d=—2D.ax=—2n+1,d—2

【答案】C

【分析】由與與S,的關系即可求得數列通項，由等差數列的定義可求得公差.

【詳解】當〃=1時，4=岳=-1,

17

當時，aa=S,-S“_]=-，-[-("-Di=4〃+1，

符合％=T的情況，

故%=—2n+1,所以%+i=-2(〃+1)+1=—2?—1,

6+1—=—2,故公差d=-2.

故選：C

2.(2023?全國?統考高考真題)記5”為數列｛4｝的前〃項和，設甲：｛%｝為等差數列；乙:｛—｝為等差數列,

n

則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前〃項和與第項的關系推理判

斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛與｝為等差數列，設其首項為外,公差為d,

ecn(n-l),Sn-\,ddS,

貝US=H--------------d,—n=Q]+--------d=-n+Q]—-jn+1

n