專題04一次函數中的特殊平行四邊形存在性問題

類型一、菱形問題

例1.（1個動點）如圖，在平面直角坐標系中，已知點O為坐標原點，直線y=Ax+2與X軸交于點8,與

y軸交于點4OB=2OA.

⑴如圖1,請直接寫出點A的坐標，并求出直線A3的解析式.

（2）如圖2,直線y=2x+b是線段AB的垂直平分線，垂足為點。，且交y軸于點C,連接BC,若點尸是直

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線8上的一動點，當點尸使得S&CP=55AAs時，請求出符合條件的點P坐標.

⑶在（2）的條件下，若點P在直線CD上且在第三象限內，在平面內是否存在其它點。，使得以點A、C、

尸、。為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

例2.（兩個動點）在平面直角坐標系中，直線>=-氐+后分另U交尤軸、，軸于點A3,點C在x軸負半軸

⑴求A、C兩點坐標；

（2）若點M是直線CB上一點，且S5M=3占，求點M坐標；

⑶點P是y軸上的點，在坐標平面內是否存在點Q,使以4B、P、。為頂點的四邊形是菱形？若存在，請

直接寫出點。坐標，若不存在，請說明理由.

【變式訓練】將一個矩形紙片。鉆c放置于平面直角坐標系中，點。(0,0),點2(10,6),點A在X軸，點C

⑴如圖1,求點￡坐標和直線CE的解析式；

(2)點2為x軸正半軸上的動點，設=

①如圖2,當點P在線段OA(不包含端點A,O)上運動時，過點P作直線/〃y軸，直線/被△<?￡￡>截得

的線段長為乩求d關于/的函數關系式，并直接寫出自變量/的取值范圍；

②在該坐標系所在平面內找一點G,使以點C,E,P,G為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點G的坐標.

類型二、矩形存在性問題

例.(兩個動點)如圖，四邊形。4BC是矩形，點A、C在坐標軸上，AODE是由AOCB繞點。順時針旋轉90。

得到的，點。在x軸上，直線8。交y軸于點F,交OE于點H,線段3COC的長是2和4；

⑴求直線的表達式；

(2)求AOTT/的面積；

⑶點M在坐標軸上，平面內是否存在點N,使以點。、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接

寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式訓練1】如圖，A,8是直線y=-x+6與兩坐標軸的交點，直線y=2無+機過點A,與x軸交于點C.

(1)求A,B,C三點的坐標；

(2)點D是折線B-A-C上一動點.

①如圖(1),當點。是線段A3的中點時，在>軸上找一點E,使ED+EB最小;用直尺和圓規畫出點E的

位置(保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明)，并求出點E的坐標；

②是否存在點。，使△BCD為直角三角形，若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

類型三、正方形存在性問題

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例1.已知，一次函數的圖象y=-7%+6與1軸、丁軸分別交于點A、點5,與直線y=交于點C,過點

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⑵右打AOC=SABCP,求點尸的坐標；

⑶若點E是直線y=上的一個動點“在平面內是否存在點尸,使四邊形AP即是正方形?若存在,請求出

點E的坐標；若不存在，請說明理由.

例2.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2元-2與X軸、y軸分別交于點A、點8,與直線CD:y=Zx+6

(左彳0)交于點P,OC=OD=4OA.

⑴求直線CD的解析式;

(2)連接OP、BC,若直線上存在一點Q,使得SH℃=S四邊形OBCP，求點。的坐標;

⑶將直線CD向下平移1個單位長度得到直線，直線/與x軸交于點E,點N為直線/上的一點，在平面直

角坐標系中，是否存在點加，使以點。，E,N,M為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點M的坐

標；若不存在，請說明理由.

【變式訓練】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線/：y=-gx+%與尤軸、》軸的正半軸分別

相交于點A、B,過點C(T,-4)作平行于>軸的直線交A3于點DCD=10,

⑴求直線/的解析式；

(2)求證：AABC是等腰直角三角形；

⑶將直線/沿y軸負方向平移，當平移恰當的距離時，直線與X,y軸分別相交于點A、B',在直線8上

存在點P,使得△A27是等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點尸的坐標.

課后訓練

1.如圖，在平面直角坐標系中，直線4：?=履+1交y軸于點A,交x軸于點3(4,0),過點E(2,0)的直線4平

行于y軸，交直線4于點。，點尸是直線4上一動點(異于點。)，連接P4PB.

⑴求直線4的解析式；

⑵設P(2,ni),求AABP的面積S的表達式(用含機的代數式表示)；

⑶當AAB尸的面積為3時，則以點3為直角頂點作等腰直角請直接寫出點C的坐標.

2.如圖1,在平面直角坐標系中，0AB。為直角三角形，0X80=90。，媯02=30。，OB=3,點、C為OB上

一動點.

⑴點A的坐標為」

⑵連接AC,并延長交y軸于點D,若回。4。的面積恰好被x軸分成1回2兩部分，求點C的坐標；

(3)如圖2,若回O4C=30。，將回。AB繞點。順時針旋轉，得到回OA8',如圖2所示，0A所在直線交直線AC

于點P,當團。1尸為直角三角形時，直接寫出點？的坐標.

3.如圖,在平面直角坐標系中，直線y=-X+6與無軸、y軸分別交于點。、C,直線A3與y軸交于點3(0,-3),

與直線CD交于點A(肛3).

①求直線的解析式；

⑵點E是射線。上一動點，過點E作跖〃y軸，交直線A3于點尸.若以。、C、E、尸為頂點的四邊形是

平行四邊形，請求出點E的坐標；

⑶設P是射線C￡＞上一點，在平面內是否存在點Q,使以B、C、P、。為頂點的四邊形是菱形？若存在，請

直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

4.(1)探索發現：如圖1,已知Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線/過點C,過點A作AD,CD,

過點8作_BE_LCD,垂足分別為。、E.求證：AD=CE,CD=BE.

(2)遷移應用：如圖2,將一塊等腰直角的三角板/OG放在平面直角坐標系內，三角板的一個銳角的頂點

與坐標原點O重合，另兩個頂點均落在第二象限內，已知點G的坐標為(-3,1),求點尸的坐標.

圖2

(3)拓展應用：如圖3,在平面直角坐標系內，已知直線MN：y=-gx+l與x軸交于點N,與y軸交于點

M,以線段為直角邊作等腰直角△WP,請直接寫出點P的坐標.

5.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數＞=履+，330)的圖象經過A(T,O),2(0,2),。三點，點。在尤

軸上方，點C在X軸正半軸上，且OC=5Q4,連接3C,CD,已知S“》c=2S“BC.

⑴求直線AB的表達式；

(2)求點D的坐標；

⑶在線段AD,CD上分別取點M,N,使得軸，在x軸上取一點P,連接MMNP,MP,是否存在

點使得△WP為等腰直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線4：3=履+可人0)與直線3kx