高2022級高三上期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁，第II卷3至4頁．共150分．考試時間120分鐘．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合，結(jié)合集合交集的運算，即可求解.【詳解】由集合，又因為，則.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則和模的定義即可求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義即可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，故選：A.3.等差數(shù)列的前項和記為，若，，則（）A.51 B.102 C.119 D.238【答案】B【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出公差，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】等差數(shù)列中，，，即，所以，則.故選：B.4.如圖，在中，點，分別在，邊上，且，，點為中點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的中線公式，得到，再利用向量的線性運算，即可求解.【詳解】因為點為中點，所以，又，，所以故選：C.5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值“”分析大小即可.【詳解】因為在R上單調(diào)遞減，則，即；又因為在0,+∞上單調(diào)遞減，則，即；可得，且在0,+∞上單調(diào)遞增，則，即；綜上所述：.故選：D.6.“對任意實數(shù)都有”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解，再根據(jù)推出關(guān)系判斷必要不充分條件可得.【詳解】由題意，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故命題“對任意實數(shù)都有”.又，且，故“對任意實數(shù)都有”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.若正實數(shù)滿足，不等式有解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式“1”的代換求最小值，再由不等式有解得，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由，僅當(dāng)，即時等號成立，要使不等式有解，只需，所以.故選：B8.如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“穩(wěn)定型函數(shù)”.則下列函數(shù)中是“穩(wěn)定型函數(shù)”的有()個①；②；③；④.A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，逐項依次驗證時，是否有(a)(b)(c)即可.【詳解】設(shè)，且(*)，對于①，設(shè)，此時只需證，即證，即證，取，，但，即ab＜c，故不是“穩(wěn)定型函數(shù)”；對于②，只需證明，即說明是“穩(wěn)定型函數(shù)”，只需證即可，即證，結(jié)合(*)，顯然成立，∴是“穩(wěn)定型函數(shù)”；對于③，取，，此時，∴不是“穩(wěn)定型函數(shù)”；對于④，，(a)，(b)，(c)，則有(a)(b)(c)，故(a)，(b)，(c)也是某個三角形的三邊長，f(x)是“穩(wěn)定型函數(shù)”；綜上，其中②④為“穩(wěn)定型函數(shù)”.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，且（，），則，的值可能為（）A， B.， C.， D.，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進行求解即可.【詳解】因為點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，所以由平面向量基本定理可知：，化簡得：，顯然有，而，所以有，當(dāng)，時，，所以選項A不可能；當(dāng)，時，，所以選項B不可能；當(dāng)，時，，所以選項C可能；當(dāng)，時，，所以選項D可能，故選：CD10.數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列 B.C.既無最大值也無最小值 D.【答案】BD【解析】【分析】首先利用賦值，求首項和第二項，再利用與的關(guān)系求數(shù)列的遞推關(guān)系，判斷選項A；再根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項公式，求得，判斷B；寫出的表達式，求取值范圍，判斷C；利用等比數(shù)列求和判斷D.【詳解】解：列的前項和為，若，，令，知，結(jié)合，知，，，所以，但，，，當(dāng)，，，故A錯誤，B正確；由于，時，，故C錯誤；所以無最小值，有最大值，，故D正確．故選：BD．11.已知函數(shù)的定義域為R，且，的圖象關(guān)于對稱.當(dāng)時，，若，則下列說法正確的是（）A.的周期為4 B.的圖象關(guān)于對稱C. D.當(dāng)時，【答案】AB【解析】【分析】由已知可得，結(jié)合，可求周期判斷A；由已知可得的圖象關(guān)于2,0對稱，結(jié)合對稱性與周期性可得的圖象關(guān)于對稱，判斷B；由已知可得，，結(jié)合已知可求判斷C；利用對稱性可求當(dāng)時，的解析式判斷D.【詳解】因為的圖象關(guān)于對稱，所以，又，所以fx=?fx+2，所以所以的周期為4，故A正確；因為的圖象關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于2,0對稱，因為，所以關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，又的周期為4，所以可得的圖象關(guān)于對稱，故B正確；因為關(guān)于對稱，所以，又的圖象關(guān)于對稱，所以，所以，，又，所以，解得,所以當(dāng)時，，，故C錯誤；當(dāng)，則，因為，所以，故D錯誤.故選：AB.【點睛】思路點睛：本題解題思路在于利用函數(shù)的對稱性及相關(guān)條件推斷出函數(shù)具備的軸對稱和中心對稱的特征，再利用對稱性推斷結(jié)論，得到相關(guān)點的函數(shù)值，確定參數(shù)值，得到函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)對稱性求出相應(yīng)解析式.第II卷（非選擇題共92分）注意事項：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效．（2）本部分共8個小題，共92分．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為______【答案】【解析】【分析】先求出的值，設(shè)為，判斷是否大于零，如果大于零，直接求出的值，如果不大于零，那么根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，進行求解．【詳解】=，，函數(shù)是奇函數(shù)，所以的值為．【點睛】本題考查了奇函數(shù)性質(zhì)、對數(shù)的運算．13.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.14.已知數(shù)列和滿足，，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由遞推關(guān)系可得是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，所以，整理得．因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．故答案為:四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】（1）極小值為，極大值為（2）答案見解析【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，分析單調(diào)性，再根據(jù)極值定義即可求解；（2），對分，和討論單調(diào)性即可小問1詳解】.所以x<1或x>2時，，時，，則在上遞減，在遞增，所以的極小值為，極大值為.【小問2詳解】，當(dāng)時，，所以上遞增，當(dāng)時，或時，；時，，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，或時，；時，，所以在上遞增；在上遞減．16.已知．（1）若，，求的值；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式求得，利用平方的方法求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，進而求得的值.（2）利用分析法，結(jié)合三角恒等變換的知識證得不等式成立.【小問1詳解】．，，．.【小問2詳解】要證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，證畢．17.已知中，角，，所對的邊分別為，，，其中，．（1）若，求的面積；（2）若是銳角三角形，為的中點，求長的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)余弦定理可得，故可求三角形面積.（2）根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)銳角三角形可得，故可求長的取值范圍.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，故，又，故，因為，而為三角形內(nèi)角，故，所以.【小問2詳解】在中，由；在中，由；而，所以，故，而是銳角三角形，故，即，故，故即.18.已知數(shù)列中，，且，為數(shù)列的前n項和，，數(shù)列是等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1），；（2）數(shù)列的前項和為.【解析】【分析】（1）由關(guān)系證明數(shù)列為等差數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項公式，再求數(shù)列的通項公式，設(shè)數(shù)列的公比為，由條件列方程求，，結(jié)合等比數(shù)列通項公式可得結(jié)論.（2）由（1）可得，利用裂項相消法求數(shù)列的前項和.【小問1詳解】由已知當(dāng)，時，，，所以，又，所以，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，又，所以，所以當(dāng)，時，，又，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，，所以，所以，【小問2詳解】由（1），所以，所以數(shù)列的前項和，所以.19.對于函數(shù)，若實數(shù)滿足，則稱為的不動點．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求證；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的不動點的個數(shù)；（3）設(shè)，證明．【答案】（1）證明見解析（2）2（3）證明見解析【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)最小值即可證明；（2）將代入函數(shù)解析式，得方程解的個數(shù)即為函數(shù)的不動點的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即相應(yīng)點的函數(shù)值，求出函數(shù)零點的個數(shù)，即為函數(shù)的不動點的個數(shù)；（3）結(jié)合（1）換元后，再由待證式子，設(shè)，結(jié)合結(jié)論恰當(dāng)變形，利用相加相消即可證明.【小問1詳解】當(dāng)時，有，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，即時，等號成立，所以當(dāng)時，f′x≥0，所以，所以得證.【小問2詳解】當(dāng)時，，根據(jù)題意可知：方程解的個數(shù)即為