2022-2023學年湘教版八年級數學下冊精選壓軸題培優卷專題05勾股定理的證明方法姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結論個數是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【思路點撥】利用可證，故①正確；由全等三角形的性質可得出，，求出，即可得到②正確；根據梯形的面積公式可得③正確；根據列式，可得④正確；整理后可得，即⑤正確．【規范解答】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正確；∵，，∴梯形的面積是，故③正確；∵，∴，故④正確；整理得：，∴該圖可以驗證勾股定理，故⑤正確；正確的結論個數是5個，故選：D．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定及性質的運用，梯形的面積計算，三角形的面積計算，勾股定理等知識，解答時證明三角形全等是關鍵．2．(本題2分)（2023秋·河北唐山·八年級統考期末）意大利著名畫家達·芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設圖1中空白部分的面積為，圖2中空白部分的面積為，則下列對，所列等式不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】根據勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計算，即可解決問題．【規范解答】解：由勾股定理可得，由題意，可得，故選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意．故選：A．【考點評析】本題考查了勾股定理的證明，直角三角形的性質，正方形的性質等知識，解題的關鍵是讀懂圖像信息．3．(本題2分)（2022秋·山東棗莊·八年級校考階段練習）如圖是用硬紙板做成的兩個直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的全等三角形拼成的圖形，觀察圖形，可以驗證（）A．a2＋b2＝c2 B．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 C．a2－b2＝（a＋b）（a－b） D．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2【答案】A【思路點撥】根據梯形面積的不同計算方法得出等式，整理后可得答案．【規范解答】解：由題意得：梯形的面積＝，∵梯形的面積又可以看作是三個直角三角形的面積和，∴梯形的面積＝，∴，整理得：，故選：A．【考點評析】本題主要考查了整式的混合運算，勾股定理的證明，熟練掌握梯形的面積公式和三角形的面積公式是解題的關鍵．4．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）我國是最早了解勾股定理的國家之一．據《周髀算經》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發現的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一個證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．B． C． D．【答案】D【思路點撥】根據面積公式推理論證判斷即可．【規范解答】∵中，根據面積關系，得到，∴選項A能證明勾股定理；∵中，根據面積關系，得到，故，∴選項B能證明勾股定理；∵中，根據面積關系，得到，故，∴選項C能證明勾股定理；∵中，根據面積關系，得到，∴選項D不能證明勾股定理；故選：D．【考點評析】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式，熟練掌握勾股定理的證明和完全平方公式的幾何意義是解題的關鍵．5．(本題2分)（2022秋·山西運城·八年級統考期末）意大利著名畫家達·芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，如下圖所示的左圖和右圖，證明了勾股定理．若設左邊圖中空白部分的面積為．右邊圖中空白部分的面積為，則下列對，所列等式正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據直角三角形以及正方形的面積公式計算即可解決問題．【規范解答】解：觀察圖形可知：S1=S2=a2+b2+ab=c2+ab，故選：B．【考點評析】本題考查勾股定理的證明，直角三角形的性質，正方形的性質等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息．6．(本題2分)（2022春·湖北十堰·八年級統考期中）勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，這是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，其證明是論證幾何的發端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】利用兩個以a和b為直角邊三角形面積+一個直角邊為c的等腰直角三角形面積和=上底為a,下第為b,高為（a+b）的梯形面積推導勾股定理可判斷A，利用以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積+邊長為c的小正方形面積和=以a+b的和為邊正方形面積推導勾股定理可判斷B，利用以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積+邊長為（b-a）的小正方形面積和=以c為邊正方形面積推導勾股定理可判斷C，利用四個小圖形面積和=大正方形面積推導完全平方公式可判斷D．【規范解答】解：A、∵兩個以a和b為直角邊三角形面積+一個直角邊為c的等腰直角三角形面積和=上底為a,下第為b,高為（a+b）的梯形面積，∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；B、∵以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積+邊長為c的小正方形面積和=以a+b的和為邊正方形面積，∴4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；C、∵以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積+邊長為（b-a）的小正方形面積和=以c為邊正方形面積，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；D、∵四個小圖形面積和=大正方形面積，∴ab+b2+a2+ab=（a+b）2，∴a2+2ab+b2=（a+b）2，根據圖形證明完全平方公式，不能證明勾股定理，故本選項符合題意；故選：D．【考點評析】本題考查利用面積推導勾股定理與完全平方公式，掌握利用面積推導勾股定理與完全平方公式是解題關鍵．7．(本題2分)（2020秋·河南鄭州·八年級統考期中）1876年，美國總統伽菲爾德利用如圖所示的方法驗證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊，在一條直線上，證明中用到的面積相等關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】直接根據梯形ABCD的面積的兩種算法進行解答即可．【規范解答】解：由圖形可得：故答案為B．【考點評析】本題主要考查了勾股定理的證明方法，將圖形的面積用兩種方式表示出來成為解答本題的關鍵．8．(本題2分)（2022秋·遼寧沈陽·八年級統考階段練習）圖中不能證明勾股定理的是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】根據各個圖象，利用面積的不同表示方法，列式證明結論，找出不能證明的那個選項．【規范解答】解：A選項不能證明勾股定理；B選項，通過大正方形面積的不同表示方法，可以列式，可得；C選項，通過梯形的面積的不同表示方法，可以列式，可得；D選項，通過這個不規則圖象的面積的不同表示方法，可以列式，可得．故選：A．【考點評析】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是掌握勾股定理的證明方法．9．(本題2分)（2022秋·廣東深圳·八年級統考期末）勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國算書《網醉算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1，是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，點D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為(

)A．121 B．110 C．100 D．90【答案】B【思路點撥】延長交于點，延長交于點，可得四邊形是正方形，然后求出正方形的邊長，再求出矩形的長與寬，然后根據矩形的面積公式列式計算即可得解．【規范解答】解：如圖，延長交于點，延長交于點，則四邊形是矩形．，，又直角中，，，在和中，，，，同理：，，，所以，矩形是正方形，邊長，所以，，，因此，矩形的面積為，故選B．【考點評析】本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構造出正方形是解題的關鍵．10．(本題2分)（2023秋·河南南陽·八年級統考期末）如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結論個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【思路點撥】根據全等三角形的判定可判斷①正確；再根據全等三角形的性質和平角定義可判斷②正確；根據梯形的面積公式可判斷③正確；根據可判斷④錯誤，⑤正確，綜合即可作出選擇．【規范解答】解：∵，，∴，∴，又∵，，∴，故①正確；∴，∵，∴，則，∴，故②正確；∵，，，，∴四邊形的面積是，故③正確；∵，∴，∵，∴，即，∴，故④錯誤，⑤正確，綜上，正確的結論有4個，故選：C．【考點評析】本題考查全等三角形的判定與性質的應用、勾股定理的證明、平行線的性質、完全平方公式、梯形和三角形的面積等知識，證明三角形全等以及發現圖形中的邊角關系是解答的關鍵．評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，把長、寬、對角線的長分別是a、b、c的矩形沿對角線剪開，與一個直角邊長為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補法能夠得到的一個等式是__．【答案】a2+b2＝c2【思路點撥】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而列出等式，發現邊與邊之間的關系．【規范解答】解：此圖可以這樣理解，有三個Rt△其面積分別為ab，ab和c2．還有一個直角梯形，其面積為（a+b）（a+b）．由圖形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．【考點評析】此題考查的知識點是勾股定理的證明，主要利用了三角形的面積公式：底×高÷2，和梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2．12．(本題2分)（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，在中，若直角邊，，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長（圖乙中的實線）是______．【答案】76【思路點撥】通過勾股定理可將“數學風車”的斜邊求出，然后可求出風車的外圍周長．【規范解答】解：依題意，設“數學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則，解得：，“數學風車”的外圍周長．故答案為：76．【考點評析】本題考查了勾股定理在實際情況中的應用，并注意題中隱含的已知條件來解題．13．(本題2分)（2022秋·全國·八年級階段練習）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的邊長是3，則正方形A、B、C、D、E、F的面積之和是_____．【答案】18【思路點撥】根據正方形的面積公式，運用勾股定理得出6個小正方形的面積和與最大正方形面積的數量關系即可得出答案．【規范解答】解：根據勾股定理得到：A與B的面積的和是E的面積；C與D的面積的和是F的面積；而E，F的面積的和是M的面積．即A、B、C、D、E、F的面積之和為2個M的面積．∵M的面積是32＝9，∴A、B、C、D、E、F的面積之和為9×2＝18．故答案為：18．【考點評析】本題考查了勾股定理，關鍵就是運用勾股定理和正方形的面積公式推導出6個小正方形的面積和等于最大正方形的面積的2倍．14．(本題2分)（2019秋·山西太原·八年級統考期中）我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數學家劉徽（約公元225年—公元295年）將勾股形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形，是由兩個完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，則長方形的面積為______.【答案】12【思路點撥】欲求矩形的面積，則求出圖1中陰影部分小三角形長直角邊邊長即可，由此可設其為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關于x的方程，進而可求出該矩形的面積．【規范解答】解：設如圖1陰影部分小三角形長直角邊邊長為x，∵，∴AB=x+3，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2，整理得，x=2，∴該矩形的面積=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12故答案為：12．【考點評析】本題考查了勾股定理的證明以及運用和一元二次方程的運用，得到關于x的方程是解題的關鍵．15．(本題2分)（2019春·廣東揭陽·八年級統考期末）如圖在中，，，，為等邊三角形，點為圍成的區域(包括各邊)內的一點，過點作，交直線于點，作，交直線于點，則平行線與間距離的最大值為_________.【答案】【思路點撥】當點E與點D重合時，EM與AB間的距離最大，由為等邊三角形和，可得∠DBA＝90o,則DB的長度即為EM與AB間的距離，根據勾股定理即可求得.【規范解答】當點E與點D重合時，EM與AB間的距離最大，∵，，，為等邊三角形，∴∠ABC=30o,∠CBD=60o,BC=,∴∠ABD=90o,BD=BC=,∴EM與AB間的距離為BD的長度.故答案是：.【考點評析】考查了勾股定理，解題關鍵根據題意得到當點E與點D重合時，EM與AB間的距離最大和求得.16．(本題2分)（2019春·福建福州·八年級統考期末）勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”．中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一．中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理．三國時期吳國趙爽創制了“勾股圓方圖”（如圖）證明了勾股定理．在這幅“勾股圓方圖”中，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形EFGH組成的．若小正方形的邊長是1，每個直角三角形的短的直角邊長是3，則大正方形ABCD的面積是_____．【答案】25【思路點撥】由BF=BE+EF結合“小正方形的邊長是1，每個直角三角形的短的直角邊長是3”即可得出直角三角形較長直角邊的長度，結合三角形的面積公式以及正方形面積公式即可得出結論．【規范解答】∵EF=1，BE=3，∴BF=BE+EF=4，∴S正方形ABCD=4?S△BCF+S正方形EFGH=4××4×3+1×1=25.故答案為25.【考點評析】此題考查勾股定理的證明，解題關鍵在于掌握勾股定理的應用17．(本題2分)（2019春·廣東廣州·八年級廣州六中校考期中）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為,若，則的值是_______．【答案】12【思路點撥】設8個全等的直角三角形的每個三角形面積為x，中間的正方形MNKT面積為y，則正方形ABCD的面積為8x+y，正方形EFGH的面積為4x+y，正方形MNKT面積為y=，再利用，可知4x+y=12．【規范解答】解：設8個全等的直角三角形的每個三角形面積為x，中間的正方形MNKT面積為y，則正方形ABCD的面積為8x+y，正方形EFGH的面積為4x+y，正方形MNKT面積為y=，∵，∴（8x+y）+y=24，則2（4x+y）=24，即4x+y=12，故=12．【考點評析】此題主要考查勾股定理的證明．18．(本題2分)（2020秋·八年級龍港市第三中學校考階段練習）我國清代數學家李銳借助三個正方形用出入相補證明了勾股定理，如圖，設直角三角形的邊長分別是，斜邊的長為c，作三個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A，C，E三點在一條直線上.若，四邊形與面積之和為13.5，則正方形的面積為_______________.【答案】36【思路點撥】作于點，根據四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，得，，，證明，由題意得，，證明，再證明，得出，根據，，通過計算可得，．【規范解答】解：如圖，作于點，則，四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，①，，②，由①②得，，，故答案為：36．【考點評析】此題重點考查勾股定理的證明、全等三角形的判定與性質、等角的余角相等、乘法公式等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．19．(本題2分)（2020秋·浙江紹興·八年級校考期中）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于_____．【答案】5．【思路點撥】根據面積的差得出a+b的值，再利用a-b=7，解得a，b的值代入即可．【規范解答】∵AB＝13，EF＝7，∴大正方形的面積是169，小正方形的面積是49，∴四個直角三角形面積和為169﹣49＝120，設AE為a，DE為b，即，∴2ab＝120，a2+b2＝169，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，∴a+b＝17，∵a﹣b＝7，解得：a＝12，b＝5，∴AE＝12，DE＝5，∴AH＝12﹣7＝5．故答案為：5．【考點評析】此題考查勾股定理的證明，關鍵是應用直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值．20．(本題2分)（2022秋·遼寧朝陽·八年級統考期末）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是_________．【答案】．【規范解答】試題解析：將四邊形MTKN的面積設為x，將其余八個全等的三角形面積一個設為y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=，所以S2=x+4y=．考點：勾股定理的證明．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·福建寧德·八年級統考期末）在小學，我們已經認識了正方形，知道它的對邊平行，四條邊相等，四個角都是直角，我們可以利用這些性質解決幾何問題．如圖1，在正方形中，點在上，點在的延長線上，．(1)證明：；(2)證明：；(3)連接（如圖2），若，，，請利用圖形驗證勾股定理．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)驗證見解析【思路點撥】（1）先證明，可得，，可得，再證明，從而可得結論；（2）依次證明，，，從而可得結論；（3）證明，可得，再整理即可．【規范解答】（1）證明：∵正方形，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）∵，，，，正方形，∴，，，，∴，，∵，，∴，整理得：．【考點評析】本題考查的同角或等角的余角相等，全等三角形的判定與性質，利用等積變形驗證勾股定理，證明得到是解本題的關鍵．22．(本題6分)（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，其中、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據這個圖形的面積關系，可以證明勾股定理．設，，，取，．(1)填空：正方形的面積為____________，四個直角三角形的面積和為_____________．(2)求的值．【答案】(1)16；384(2)28【思路點撥】（1）正方形的邊長為：，則面積可求；四個直角三角形的面積和等于正方形與正方形面積之差，據此即可作答；（2）四個直角三角形的面積和又，，，可得，由（1）可知四個直角三角形的面積和為384，即有，根據，即可得，問題即可得解．【規范解答】（1）解：設，，，取，．正方形面積為：，正方形面積為：，根據圖形可知：四個直角三角形的面積和等于正方形與正方形面積之差，即：，故答案為：16；384；（2）解：在（1）中，有：四個直角三角形的面積和又∵，，，∴，整理，可得：，由（1）可知四個直角三角形的面積和為384，∴，解得，∵，∴．∴（負值舍去），即值為28．【考點評析】本題主要考查勾股定理的證明及應用，理解圖形中四個三角形的面積和等于大正方形的面積與小正方形面積的差是解題的關鍵．23．(本題8分)（2022秋·廣東佛山·八年級校考期中）勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經找到了多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理，圖1與圖2都是由四個全等的直角三角形構成，圖3是由兩個全等的直角三角形構成（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)如圖4，以直角三角形的三邊為直徑向外部作半圓，請寫出、和的數量關系：___________．【答案】(1)①直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；②見解析(2)【思路點撥】（1）①根據勾股定理的意義進行求解即可；②如選擇圖1，四個相同的直角三角形的面積和再加上中間小四邊形的面積等于大正方形的面積；如選擇圖2，大正方形的面積等于四個相同的直角三角形的面積和再加上中間四邊形的面積；如選擇圖3，則梯形的面積等腰三個三角形的面積和；（2）分別表示出，即可得出它們之間的數量關系．【規范解答】（1）解：①勾股定理內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；②如選擇圖1，四個相同的直角三角形的面積和再加上中間小四邊形的面積等于大正方形的面積，即化簡得：，如選擇圖2，大正方形的面積等于四個相同的直角三角形的面積和再加上中間四邊形的面積，即，化簡得：；如選擇圖3，則梯形的面積等于三個直角三角形的面積和，即，化簡得：；（2）解：如圖：則，，，∵，∴，故答案為：．【考點評析】本題考查了勾股定理的證明，解答的關鍵是理解勾股定理：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．24．(本題8分)（2022秋·福建寧德·八年級統考期中）我國古代數學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個直角三角形構造圖3的圖形，滿足，，，，求證（1）中的定理結論；(3)如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設，，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【答案】(1)(2)見解析(3)【思路點撥】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；（2）由四邊形的面積兩種計算方式列出等式，即可求解；（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．【規范解答】（1）解：∵大正方形的面積，大正方形的面積，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如圖：連接，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：由題意可得：，，∴，，∴，，∴，∴正方形的面積為．【考點評析】本題考查了全等三角形的性質，正方形的性質，勾股定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．25．(本題8分)（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀材料，解答問題：(1)中國古代數學著作《周髀算經》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經隅五”，這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長為3和4時，那么斜邊的長為5．”上述記載說明：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之間的數量關系是：______．(2)如圖①，它是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形ABDE，中間部分是一個小正方形CFGH，請結合圖①，證明（1）中的數量關系．(3)如圖②，以的三條邊分別作三個等邊三角形，若，，，求出的值．【答案】(1)(2)見詳解(3)22【思路點撥】（1）根據勾股定理可得；（2）分別計算出小正方形的面積、直角三角形的面積和大正方形的面積，根據大正方形等于小正方形加四個直角三角形建立等式即可得到；（3）分別計算出三個等邊三角形的面積，根據建立等式，利用進行化簡即可得到答案．【規范解答】（1）解：，如果，，，，那么；（2）證明：如下圖所示，由題意得，∴，∵，，，∴，∴，∴；（3）解：如下圖所示，設，，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴．【考點評析】本題考查勾股定理、直角三角形、等邊三角形和正方形的性質，解題的關鍵是根據圖形中的面積關系建立等式．26．(本題8分)（2022秋·江蘇蘇州·八年級校聯考階段練習）【方法探究】我們知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積可以探求相應的數量關系．如圖1，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b（），斜邊長為c，大正方形的面積用兩種方法可分別表示為___________、___________，由此可發現a，b，c之間的數量關系為___________．【方法遷移】將圖1中的四個形狀大小完全相同的直角三角形拼成圖2，a，b，c之間仍然具有以上數量關系嗎？請在圖2中添加適當的輔助線，并加以說明．【答案】【方法探究】，，，【方法遷移】見解析【思路點撥】【方法探究】根據大正方形的面積可以表示為，又可以表示為，可得結論；【方法遷移】過點F作于點H．根據這個幾何圖形的面積可以表示為正方形的面積正方形的面積2個直角三角形的面積，也可以表示為正方形的面積2個直角三角形的面積，可得結論．【規范解答】解：【方法探究】大正方形的面積；另一方面，大正方形的面積；∴，故答案為：，，；【方法遷移】結論仍然成立．理由：如圖2中，過點F作于點H．這個幾何圖形的面積正方形的面積正方形的面積2個直角三角形的面積正方形的面積2個直角三角形的面積，∴，∴．【考點評析】本題考查了勾股定理的面積證法，解決問題的關鍵是熟練掌握圖形的面積的兩種表示方法，正方形的面積計算，直角三角形的面積的計算．27．(本題8分)（2022秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者．向常春在1994年構造發現了一個新的證法．【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．請用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四邊形AECD＝，再探究這三個圖形面積之間的關系，它們滿足的關系式為，化簡后，可得到勾股定理．【知識運用】如圖2，河道上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距200米，C，D為兩個菜園（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD＝80米，BC＝