2022-2023學年人教版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題07直角三角形斜邊上的中線一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?南崗區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，過點D作AB的垂線，交BC于E，連接CD，AE，CD＝4，AE＝5，則AC＝（）A．3 B． C．5 D．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點，CD＝4，∴AB＝2CD＝8，∵ED⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2，∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2，解得CE＝1.4，∴AC＝．故選：B．2．（2分）（2022春?撫順期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D為BC邊的中點，則AD的長為（）A．4 B．5 C． D．10解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝，∵D為BC邊的中點，∴AD＝BC＝5，故選：B．3．（2分）（2022春?漢壽縣期末）如圖，CD是△ABC的AB邊上的中線，且CD＝AB，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠B＝60° B．AD＝BD C．∠ACB＝90° D．△ABC是直角三角形解：∵CD是△ABC的邊AB上的中線，∴AD＝BD，故B選項正確；又∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∴∠ACB＝180°×＝90°，故C選項正確；∴△ABC是直角三角形，故D選項正確；故選：A．4．（2分）（2022春?廬陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點E，BD⊥AC于點D，點F是AB的中點，連接DF、EF，設∠DFE＝α，則∠C的度數(shù)可表示為（）A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣α解：∵AE⊥BC于點E，BD⊥AC于點D；∴∠ADB＝∠BEA＝90°，∵點F是AB的中點，∴AF＝DF，BF＝EF，∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，∴∠DFE＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣∠C）﹣180°＝180°﹣2∠C＝α，∴∠C＝90°﹣，故選：D．5．（2分）（2022春?海淀區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC中點，若AD＝，AC＝3，則AB的長為（）A．2.5 B．3 C．4 D．5解：∵∠BAC＝90°，D為BC中點，AD＝，∴BC＝2AD＝5，由勾股定理得：AB＝＝＝4，故選：C．6．（2分）（2022春?禹州市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于點D，E是AB的中點，若DE＝2.5，則AB的長為（）A．10 B．8 C．6 D．4解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵E是AB的中點，∴CE＝BE＝AB，∴△BCE為等邊三角形，∵CD⊥AB，DE＝2.5，∴BE＝2DE＝5，∴AB＝2BE＝10，故選：A．7．（2分）（2022春?鐵鋒區(qū)期末）如圖，一根竹竿AB，斜靠在豎直的墻上，P是AB中點，A′B′表示竹竿AB端沿墻上、下滑動過程中的某個位置，則在竹竿AB滑動過程中OP（）A．下滑時，OP增大 B．上升時，OP減小 C．無論怎樣滑動，OP不變 D．只要滑動，OP就變化解：∵AO⊥BO，點P是AB的中點，∴OP＝AB，∴在滑動的過程中OP的長度不變．故選：C．8．（2分）（2021春?海淀區(qū)校級期中）一只小貓在距墻面4米，距地面2米的架子上，緊緊盯住了斜靠墻的梯子中點處的一只老鼠，聰明的小貓準備在梯了下滑時，在與老鼠距離最小時捕食．如圖所示，把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，貓所處位置為點D，梯子視為線段MN，老鼠抽象為點E，已知梯子長為4米，在梯子滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為（）A．2 B．2﹣2 C．2 D．4解：如圖，連接BE，BD．由題意BD＝＝2（米），∵∠MBN＝90°，MN＝4米，EM＝NE，∴BE＝MN＝2（米），∴點E的運動軌跡是以B為圓心，2米為半徑的弧，∴當點E落在線段BD上時，DE的值最小，∴DE的最小值為（2﹣2）米．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2確定最小值），故選：B．9．（2分）（2021春?海淀區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE的中點，連接BF，若BF＝3，則BC的長為（）A．6 B．3 C．8 D．6解：∵BE＝BC，∴點B為CE的中點，∵點F為DE的中點，∴BF為△CDE的中位線，∴CD＝2BF＝2×3＝6，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD為中線，∴CD＝AD＝BD＝6，∴AB＝BD+AD＝6+6＝12，在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，AC＝6，AB＝12，∴BC＝＝＝6．故選：A．10．（2分）（2021春?渠縣校級期末）如圖，在Rt△ABC中，CD、CE分別是斜邊上的中線、高線．若∠A＝25°，則∠DCE的大小為（）A．50° B．40° C．30° D．25°解：∵在Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，∴CD＝AD＝AB，∴∠DCA＝∠A＝25°，∴∠CDE＝∠A+∠DCA＝50°，∵CE是斜邊上的高線，∴CE⊥AB，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?營口期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中點，M、N分別是CA、BA延長線上的點，且AM＝AN＝BC，則∠MPN的度數(shù)為45°．解：連接PA并延長到點D，∵∠BAC＝90°，P是BC的中點，∴AP＝BC，∵AM＝AN＝BC，∴AM＝AP，AN＝AP，∴∠M＝∠APM，∠N＝∠APN，∵∠DAM＝∠M+∠APM，∠DAN＝∠N+∠APN，∴∠DAM＝2∠APM，∠DAN＝2∠APN，∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN＝2∠APM+2∠APN＝2（∠APM+∠APN）＝2∠MPN，∵∠MAN＝∠BAC＝90°，∴∠MPN＝∠MAN＝45°，故答案為：45°．12．（2分）（2022春?張店區(qū)期末）如圖，在四邊形中ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是對角線AC的中點，F(xiàn)是對角線BD上的動點，連接EF．若AC＝6，BD＝4，則EF的最小值為．解：連接BE，DE，如圖所示：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是對角線AC的中點，∴BE＝AC，DE＝AC，∵AC＝6，∴BE＝DE＝3，過點E作EF′⊥BD于點F′，則點F′是線段BD的中點，∵BD＝4，∴BF′＝2，根據(jù)勾股定理，得EF′＝＝，∴線段EF的最小值為，故答案為：．13．（2分）（2022春?廬江縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜邊AC的中點，∠EBD的度數(shù)是45°．解：∵∠ABD＝3∠CBD，∠ABC＝90°，∠ABD+∠CBD＝∠ABC，∴4∠CBD＝90°，∴∠CBD＝22.5°，則∠ABD＝3×22.5°＝67.5°，∵BD⊥AC，∴∠C＝∠BDC﹣∠CBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠A＝∠ABC﹣∠C＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵E是斜邊AC的中點，∴BE＝AE＝CE，∴∠EBA＝∠A＝22.5°，∴∠EBD＝∠DBA﹣∠EBA＝67.5°﹣22.5°＝45°，故答案為：45．14．（2分）（2021春?吉州區(qū)期末）已知在直角三角形中，若一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角為30°．若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點D，且AD＝BC，則△ABC頂角的度數(shù)為30°或150°或90°．解：①BC為腰，∵AD⊥BC于點D，AD＝BC，∴∠ACD＝30°，如圖1，AD在△ABC內(nèi)部時，頂角∠C＝30°；如圖2，延長BC，過A作AD⊥BC于D，AD在△ABC外部時，頂角∠ACB＝180°﹣30°＝150°；②BC為底，如圖3，∵AD⊥BC于點D，AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD+∠CAD＝×180°＝90°，∴頂角∠BAC＝90°，綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30°或150°或90°．故答案為：30°或150°或90°．15．（2分）（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE的中點，連接BF，若BF＝3，則BC的長為6．解：∵CB＝BE，DF＝FE，∴CD＝2BF＝6，∵AD＝DB，∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝12，∴BC＝＝＝6，故答案為：6．16．（2分）（2021春?長寧區(qū)期末）如果四邊形中的一條對角線長度是另一條對角線的兩倍，那么稱這個四邊形為倍長對角線四邊形．如圖，四邊形ABCD是倍長對角線四邊形，且∠BAD＝∠BCD＝90°，四邊形ABCD中最小的內(nèi)角的度數(shù)是30°．解：如圖，在BD上取中點E，連接AE、CE．∵∠BAD＝∠BCD＝90°∴AE＝BD，CE＝BD，又∵AC＝BD，∴AE＝AC＝EC，即△AEC為等邊三角形，所以∠AEC＝60°，又∵AE＝BE＝CE，∴∠ABE＝∠BAE＝∠AED，∠BCE＝∠CBE＝∠CED，∴∠ABC＝∠AEC＝30°．故答案為：30°．17．（2分）（2020春?南崗區(qū)校級期中）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD為中線，E在AB上，連接DE，過點D作DE的垂線交AC于點F，若BE＝2，CF＝4，則線段AD的長為5．解：如圖，連接EF，延長ED到J，使得DJ＝DE，連接EJ，CJ．設AF＝x，∵BD＝DC，DE＝DJ，∠BDE＝∠CDJ，∴△BDE≌△CDJ（SAS），∴BE＝CJ＝2，∠B＝∠DCJ＝30°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠FCJ＝∠ACB+∠BCJ＝90°，∴FJ＝＝＝2，∵DE＝DJ．FD⊥EJ，∴FE＝FJ＝2，∵∠B＝30°，∠BAC＝90°，∴AB＝AC＝（x+4），∴AE＝AB﹣BE＝2+x，∵AE2+AF2＝EF2，∴（2+x）2+x2＝（2）2，整理得，x2+3x﹣4＝0，∴x＝1或﹣4（舍棄），∴AF＝1，AC＝5，∴BC＝2AC＝10，∵BC＝DC，∠BAC＝90°，∴AD＝BC＝5，故答案為5．18．（2分）（2018?青山區(qū)模擬）如圖，在以AB為斜邊的兩個直角△ABD和△ABC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，CD＝m，AB＝2m，則∠AEB＝120°．解：如圖所示，取AB的中點F，連接CF，DF，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴CF＝AB＝DF，又∵CD＝m，AB＝2m，∴CD＝AB，∴CF＝DF＝CD，∴△CDF是等邊三角形，∴∠CFD＝60°，∴∠AFC+∠BFD＝120°，∵CF＝BF，AF＝DF，∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD，∴∠ABE+∠BAE＝∠BFD+∠AFC＝（∠BFD+∠AFC）＝×120°＝60°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣60°＝120°，故答案為：120°．19．（2分）（2018?黃浦區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分別是AC、BD的中點，則線段MN的長為5．解：連接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點，∴BM＝AC，DM＝AC，∴BM＝DM＝13，又N是BD的中點，∴BN＝DN＝BD＝12，∴MN＝＝5，故答案為：5．20．（2分）（2019春?海淀區(qū)校級期末）如圖，已知∠ACB＝90°，∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝2，則CD的取值范圍是2﹣2≤CD≤2+2．解：如圖，取AB的中點E，連接CE，DE，過點作AT⊥DE于T，連接CD．∵AB＝4，AD＝2，AE＝EB，∴AD＝AE＝2，∵AT⊥DE，∠DAE＝120°，∴∠DAT＝∠EAT＝60°，∴DE＝2DT＝2AE?sin60°＝2，∵∠ACB＝90°，AE＝EB，AB＝4，∴CE＝AB＝2，∵DE﹣EC≤CD≤DE+CE，∴2﹣2≤CD≤2+2．故答案為2﹣2≤CD≤2+2．三．解答題（共9小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?余干縣期末）如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是邊AB上的中線，分別過點C，D作BA和BC的平行線，兩線交于點E，且DE交AC于點O，連接AE．（1）求證：AD＝CD；（2）若∠B＝60°，BC＝3，求四邊形ADCE的面積．（1）證明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四邊形DBCE是平行四邊形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD為AB邊上的中線，∴AD＝DB＝CD．（2）解：Rt△ABC中，CD為AB邊上的中線，∠B＝60°，BC＝3，∴AD＝DB＝CD＝3．∴AB＝6，由勾股定理得AC＝3．∵四邊形DBCE是平行四邊形，∴DE＝BC＝3．∵EC＝BD＝AD，CE∥DB，∴四邊形ADCE是平行四邊形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四邊形ADCE是菱形，∴S菱形ADCE＝．22．（6分）（2021?柳江區(qū)模擬）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點E是AB的中點，若AN＝AB，AN∥CE，求證：AC＝NE．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，點E是AB的中點，∴CE＝．又∵AN＝AB，∴AN＝CE．又∵AN∥CE，∴四邊形ACEN是平行四邊形．∴AC＝NE．23．（6分）（2021秋?上蔡縣校級月考）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分別是BD、AC的中點，（1）請你猜測EF與AC的位置關系，并給予證明；（2）當AC＝8，BD＝10時，求EF的長．解：（1）EF⊥AC．理由如下：連接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E為BD中點，∴AE＝DB，∵∠DCB＝90°，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∵F是AC中點，∴EF⊥AC；（2）∵AC＝8，BD＝10，E、F分別是邊AC、BD的中點，∴AE＝CE＝5，CF＝4，∵EF⊥AC．∴EF＝＝＝324．（6分）（2021春?威寧縣期中）如圖所示，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于點C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．（1）求證：BC＝2AD；（2）求證：AB＝AE+CE；（3）求∠MDE．證明：（1）∵AE是△ABM的高，AE＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝45°，∵BD平分∠ABM，∴∠ABD＝∠MBD＝22.5°，∵BD是△ABM的高，∴∠MAE＝∠MBD＝22.5°，∴∠MAB＝∠M＝∠BCE＝67.5°，∴AB＝BM，∵BD平分∠ABM，∴AD＝MD，在△AME和△BCE中，，∴△AME≌△BCE（AAS），∴AM＝BC，∴BC＝AM＝2AD，即BC＝2AD；（2）∵△AME≌△BCE，∴ME＝CE，∵BM＝BE+ME，∴AB＝AE+CE；（3）解：∵DE＝AD＝MD，∴∠MDE＝180°﹣2×67.5°＝45°．25．（6分）（2020?張家界模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD中點，過A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．（1）證明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB，∵E是AD的中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，∴AD＝BD＝DC＝BC，∴AD＝AF；（2）當AB＝AC時，四邊形ADCF是正方形．∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AB＝AC，AD是中線，∴AD⊥BC，∵AD＝AF，∴四邊形ADCF是正方形．26．（6分）（2020秋?灌云縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分別是AC、BD的中點，試說明：（1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．證明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點，∴BM＝AC，DM＝AC，∴DM＝BM；（2）由（1）可知DM＝BM，∵N是BD的中點，∴MN⊥BD．27．（8分）（2019春?丹江口市期中）（1）如圖，D是△ABC的邊BC上一點，且CD＝AB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點，G，H分別是AD，EF的中點，求證：GH⊥EF．（2）若（1）中的∠ABC＝90°，其它條件不變，求的值．解：（1）如圖所示，連接EG，F(xiàn)G，∵E是BD的中點，G是AD的中點，∴EG是△ABD的中位線，∴EG＝AB，同理可得，GF是△ACD的中位線，∴GF＝CD，又∵CD＝AB，∴GE＝GF，又∵H是EF的中點，∴GH⊥EF；（2）如圖所示，當∠ABC＝90°時，∵EG是△ABD的中位線，∴EG∥AB，∴∠GEB+∠ABE＝180°，∴∠GEB＝90°，∵GF是△ACD的中位線，∴GF∥BC，∴∠EGF＝∠GEB＝90°，又∵GE＝GF，∴△GEF是等腰直角三角形，又∵H是EF的中點，∴GH＝EF，即的值為．28．（8分）（2017秋?江干區(qū)期末）如圖，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E為AB的中