試卷第=page1212頁(yè)，共=sectionpages2828頁(yè)試卷第=page1111頁(yè)，共=sectionpages2828頁(yè)勾股定理的應(yīng)用1．如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端6m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約2m．請(qǐng)?jiān)O(shè)法算出旗桿的高度．【答案】旗桿高8米【分析】設(shè)旗桿的高度為x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為x米，根據(jù)勾股定理，得x2+62=(x+2)2，解得：x=8；答：旗桿的高度為8米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，從題意中勾畫(huà)出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高6m，另一棵高2m，兩樹(shù)相距5m．一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了多少米？（結(jié)果精確到0.1m）【答案】小鳥(niǎo)至少飛行m．【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)梢進(jìn)行直線(xiàn)飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：如圖，設(shè)大樹(shù)高為AC=6m，小樹(shù)高為BD=2m，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于E，則EBDC是矩形，連接AB，∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，在Rt△AEB中，AB=(m)，故小鳥(niǎo)至少飛行m．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找出直角△AEB，并且根據(jù)勾股定理正確的計(jì)算AB是解題的關(guān)鍵．3．森林火災(zāi)是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開(kāi)始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向AB，由點(diǎn)A飛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)C與直線(xiàn)AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機(jī)中心周?chē)?00m以?xún)?nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點(diǎn)C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機(jī)的速度為10m/s，要想撲滅著火點(diǎn)C估計(jì)需要13秒，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷著火點(diǎn)C能否被撲滅？【答案】（1）著火點(diǎn)C受灑水影響，理由見(jiàn)解析；（2）能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，勾股定理的逆定理證明是直角三角形，進(jìn)而等面積法求得長(zhǎng)度，與500進(jìn)行比較即可求得答案；（2）以點(diǎn)為圓心，500m為半徑作圓，交于點(diǎn)，勾股定理求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)飛機(jī)的速度得到飛行時(shí)間，再根據(jù)題意求得滅火時(shí)間，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）著火點(diǎn)C受灑水影響，理由如下，如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，是直角三角形著火點(diǎn)C受灑水影響。（2）如圖，以點(diǎn)為圓心，500m為半徑作圓，交于點(diǎn)則在中，著火點(diǎn)C能被撲滅．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．4．11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個(gè)“鳥(niǎo)兒捉魚(yú)”問(wèn)題：小溪邊長(zhǎng)著兩課棕櫚樹(shù)，恰好隔岸相望，一棵棕櫚樹(shù)CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB與CD樹(shù)干間的距離是10米．每棵樹(shù)的樹(shù)頂上都停著一只鳥(niǎo)．忽然，兩只鳥(niǎo)同時(shí)看見(jiàn)棕櫚樹(shù)間的水面上游出一條魚(yú)，它們立刻以相同的速度飛去抓魚(yú)，并且同時(shí)到達(dá)目標(biāo)E．問(wèn)：這條魚(yú)出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹(shù)的樹(shù)根C有多遠(yuǎn)？【答案】4米【分析】設(shè)EC為x米，BE為（10﹣x）米，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．【詳解】解：∵AB=4，DC=6，BC=10，設(shè)EC為x米，則BE為（10﹣x）米，在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2=AB2+BE2=42+（10﹣x）2，DE2=DC2+EC2=62+x2，又∵AE=DE，∴x2+62=（10﹣x）2+42，x=4，答：這條魚(yú)出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹(shù)的樹(shù)根4米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的正確運(yùn)用；善于挖掘題目的隱含信息是解決本題的關(guān)鍵．5．小渝和小川是一對(duì)好朋友，如圖，小渝家住A，小川家住B．兩家相距10公里，小渝家A在一條筆直的公路AC邊上，小川家到這條公路的距離BC為6公里，兩人相約在公路D處見(jiàn)面，且兩家到見(jiàn)面地點(diǎn)D的距離相等，求小渝家A到見(jiàn)面地點(diǎn)D的距離．

【答案】公里．【分析】先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，設(shè)公里，從而可得的長(zhǎng)，再在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：由題意得：公里，公里，，，（公里），設(shè)公里，則公里，在中，，即，解得（公里），答：小渝家到見(jiàn)面地點(diǎn)的距離為公里．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．6．如圖，牧童在離河邊3km的A處牧馬，小屋位于他南6km東9km的B處，他想把他的馬牽到河邊飲水，然后回小屋．他要完成此過(guò)程所走的最短路程是多少？并在圖中畫(huà)出飲水C所在在位置（保留作圖痕跡）．【答案】最短路程是；畫(huà)圖見(jiàn)解析．【分析】先作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖，作出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)是馬飲水的位置，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，,則，∴，由已知得，，，在中，由勾股定理求得，即，答：他要完成這件事情所走的最短路程是，飲水所在位置．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理和軸對(duì)稱(chēng)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，需要同學(xué)們聯(lián)系實(shí)際，題目是一道比較典型的題目，難度適中．7．如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿5m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面1m，求旗桿的高度．（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）【答案】13m【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后設(shè)旗桿高度為xm，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】如圖，設(shè)旗桿高度為m，即，，中，即解得即旗桿的高度為13米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．一架梯子長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？【答案】（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有24米；（2）梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）先根據(jù)勾股定理算出BC′，再計(jì)算即可；【詳解】（1）由題意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：這個(gè)梯子的頂端距地面有24米；（2）由題意得：BA′=20米，BC′==15（米），則：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．如圖，鐵路上A、D兩點(diǎn)相距28km，B，C為兩村莊，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，現(xiàn)在要在鐵路AD上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站P，使得B、C兩村到P站的距離相等，則P站應(yīng)建在距點(diǎn)A多少千米處？【答案】站應(yīng)建在距點(diǎn)千米處．【分析】設(shè)，則，根據(jù)使得，兩村到站的距離相等，可得，再根據(jù)勾股定理建立方程解答即可．【詳解】解：設(shè)，則，、兩村到站的距離相等，．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，，又，，，，答：站應(yīng)建在距點(diǎn)千米處．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)利用勾股定理建立方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為

多少cm？【答案】15cm【分析】把圓柱沿螞蟻所在的高剪開(kāi)并展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)矩形，作A點(diǎn)關(guān)于DF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，分別連接BD、BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DH于點(diǎn)E，則BC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)．【詳解】把圓柱沿螞蟻所在的高剪開(kāi)并展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)矩形，作A點(diǎn)關(guān)于DF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，分別連接BD、BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DH于點(diǎn)E，如圖所示則DB=AD=4cm由題意及輔助線(xiàn)作法知，M與N分別為GH與DF的中點(diǎn)，且四邊形CMHE為長(zhǎng)方形∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm∴DE=DH－EH=12－4=8(cm)∴BE=DE+DB=8+4=12(cm)在Rt△BEC中，由勾股定理得：即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，關(guān)鍵是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決，這是數(shù)學(xué)上一種重要的轉(zhuǎn)化思想．11．如圖，將長(zhǎng)為2.5米的梯子AB斜靠在墻AO上，BO長(zhǎng)0.7米．如果將梯子的頂端A沿墻下滑0.4米，即AM等于0.4米，則梯腳B外移（即BN長(zhǎng)）多少米？【答案】梯腳外移0.8米．【分析】直角利用勾股定理求出AO，ON的長(zhǎng)，再利用NB=ON-OB，即可求出答案．【詳解】解：由題意得：AB=2.5米，BO=0.7米，在Rt△ABO中，由勾股定理得：（米）．∴MO=AO-AM=2.4-0.4=2（米），在Rt△MNO中，由勾股定理得：（米）．∴NB=ON-OB=1.5-0.7=0.8（米），∴梯腳B外移（即BN長(zhǎng)）0.8米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意，正確應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．位于沈陽(yáng)周邊的紅河峽谷漂流項(xiàng)目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點(diǎn)A拉回點(diǎn)B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點(diǎn)C，工作人員用繩子拉船移動(dòng)，開(kāi)始時(shí)繩子AC的長(zhǎng)為17m，工作人員以0.7米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過(guò)10秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)此時(shí)游船移動(dòng)的距離AD的長(zhǎng)是多少？【答案】游船移動(dòng)的距離AD的長(zhǎng)是9米【分析】根據(jù)條件先計(jì)算經(jīng)過(guò)10秒拉回繩子的長(zhǎng)，然后計(jì)算出繩子CD的長(zhǎng)，在中，在中，，即可求出最終結(jié)果．【詳解】解：工作人員以0.7米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過(guò)10秒拉回繩子米，開(kāi)始時(shí)繩子AC的長(zhǎng)為17m，拉了10秒后，繩子CD的長(zhǎng)為17-7=10米，在中，米，在中，米，AD=15-6=9米，答：游船移動(dòng)的距離AD的長(zhǎng)是9米．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，屬于綜合題，難度一般，熟練掌握勾股定理解三角形是解決本題的關(guān)鍵．13．筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B．其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同一直線(xiàn)上），并新修一條路CH，測(cè)得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求原路線(xiàn)AC的長(zhǎng)．【答案】（1）直角三角形，理由見(jiàn)解析；（2）原來(lái)的路線(xiàn)AC的長(zhǎng)為千米．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）△HBC是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=42+32=25，BC2=25，∴CH2+BH2=BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；（2）設(shè)AC=AB=x千米，則AH=AB-BH=（x-3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，∴x2=（x-3）2+42，解這個(gè)方程，得x=，答：原來(lái)的路線(xiàn)AC的長(zhǎng)為千米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理．14．如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是以AB為直徑的半圓，下方是長(zhǎng)方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；現(xiàn)有一輛卡車(chē)裝滿(mǎn)家具后，高2.5米，寬1.6米，請(qǐng)問(wèn)這輛送家具的卡車(chē)能否通過(guò)這個(gè)通道？請(qǐng)說(shuō)出你的理由．【答案】能通過(guò)，見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)度，然后求出EH的長(zhǎng)度，與卡車(chē)的高度比較即可判斷出卡車(chē)能否通過(guò)這個(gè)通道．【詳解】解：∵車(chē)寬1.6米，∴卡車(chē)能否通過(guò)，只要比較距廠門(mén)中線(xiàn)0.8米處的高度與車(chē)高．在Rt△OEF中，由勾股定理可得：（m），EH＝EF＋FH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5，∴卡車(chē)能通過(guò)此門(mén)．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出EH的長(zhǎng)度,然后與卡車(chē)的高度進(jìn)行比較．15．一艘輪船從港向南偏西48°方向航行到達(dá)島，再?gòu)膷u沿方向航行到達(dá)島，港到航線(xiàn)的最短距離是．（1）若輪船速度為小時(shí)，求輪船從島沿返回港所需的時(shí)間．（2）島在港的什么方向？

【答案】（1）3小時(shí)；（2）北偏西【分析】（1）中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度，則，然后在中，利用勾股定理來(lái)求的長(zhǎng)度，再根據(jù)時(shí)間路程速度即可求得答案；（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定義作答．【詳解】解：（1）由題意可知，AD⊥BC，在中，，∴，，∵BC＝125km，，，∴（小時(shí)），∴從島返回港所需的時(shí)間為3小時(shí)；（2），，，，，島在港的北偏西．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角問(wèn)題，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單．16．如圖，A、B兩點(diǎn)相距14km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，現(xiàn)在要在AB上建一個(gè)供水站E，使得C、D兩村到供水站E站的距離相等，則：（1）站應(yīng)建在距站多少千米處？（2）和垂直嗎？說(shuō)明理由．【答案】（1）E站應(yīng)建在距A站6千米處；（2）DE和EC垂直，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)使得C，D兩村到E站的距離相等，需要證明DE=CE，再根據(jù)△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km；（2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，進(jìn)而可以證明．【詳解】解：（1）∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，∴AE2+AD2=BE2+BC2，設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=（14-x），∵DA=8km，CB=6km，∴x2+82=（14-x）2+62，解得：x=6，∴AE=6km．答：E站應(yīng)建在距A站6千米處；（2）DE和EC垂直，理由如下：在△DAE與△EBC中，，∴△DAE≌△EBC（SAS），∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB，∵∠DEA+∠D=90°，∴∠DEA+∠CEB=90°，∴∠DEC=90°，即DE⊥EC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，證明線(xiàn)段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)习偾椎姆秶鷥?nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向由行駛向，已知點(diǎn)為海港，并且點(diǎn)與直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，的距離分別為，，又，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域．（1）求的度數(shù)；（2）海港受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？【答案】（1）90°；（2）受臺(tái)風(fēng)影響，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而得出∠ACB的度數(shù)；（2）利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響．【詳解】解：（1）∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；（2）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=240（km），∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受臺(tái)風(fēng)影響．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．18．如圖，在一棵大樹(shù)AB的10m高的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)C處有一根香蕉，一只猴子從點(diǎn)D處上爬到樹(shù)頂點(diǎn)A處，利用拉在點(diǎn)A處的滑繩AC，滑到點(diǎn)C處，另一只猴子從點(diǎn)D處滑到地面點(diǎn)B處，再由點(diǎn)B跑到點(diǎn)C，已知兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程都是15m，那么這棵樹(shù)有多高？【答案】【分析】根據(jù)勾股定理列出方程，解方程后即可確定x的值．【詳解】解：設(shè)樹(shù)高AB為xm.由題意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即x2+52=(25-x)2，解得x=12.答：這棵樹(shù)有12m高．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形．19．明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進(jìn)兩步（尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（尺），求秋千繩索（或）的長(zhǎng)度．【答案】秋千繩索的長(zhǎng)度為尺．【分析】設(shè)OA=OB=x尺，表示出OE的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程求解即可．【詳解】解：設(shè)尺，由題可知：尺，尺，∴（尺），尺，在中，尺，尺，尺，由勾股定理得：，解得：，則秋千繩索的長(zhǎng)度為尺．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，學(xué)會(huì)利用方程解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．20．由于大風(fēng)，山坡上的一顆甲樹(shù)從A點(diǎn)處被攔腰折斷，其頂點(diǎn)恰好落在一棵樹(shù)乙的底部C處，如圖所示，已知AB＝4米，BC＝13米，兩棵樹(shù)的水平距離是12米，求甲樹(shù)原來(lái)的高度．【答案】19米【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于D，則根據(jù)題意可以得到CD=12米，根據(jù)勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可得到AC+AB的長(zhǎng).【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于D由題意得：CD=12，AB＝4米，BC＝13米在Rt△BCD中米∴米在Rt△ACD中米∴米∴甲樹(shù)原來(lái)的高度是19米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握勾股定理.21．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)锨椎姆秶鷥?nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線(xiàn)AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】（1）會(huì)，理由見(jiàn)解；（2）7h【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，從而判斷出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．【詳解】解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴，∴△ABC為直角三角形，∴，∴，∴，∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響；（2）由（1）得CD=240km，如圖所示，當(dāng)EC=FC=250km時(shí)，即臺(tái)風(fēng)經(jīng)過(guò)EF段時(shí)，正好影響到海港C，此時(shí)△ECF為等腰三角形，∵，∴EF=140km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，∴140÷20=7h，∴臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7h．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．22．一艘輪船從A港向南偏西方向航行到達(dá)島，再?gòu)膷u沿方向航行到達(dá)島，A港到航線(xiàn)的最短距離是．若輪船速度為，求輪船從島沿返回A港所需的時(shí)間．

【答案】從島返回A港所需的時(shí)間為小時(shí)【分析】Rt△ABC中，利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)度，則CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理來(lái)求AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度即可求得答案．【詳解】解：由題意，在中，，∴，，，．∴t＝．答：從島返回A港所需的時(shí)間為小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角問(wèn)題，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單．23．如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了多少米．（假設(shè)繩子是直的）【答案】船向岸邊移動(dòng)了9米．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)，再根據(jù)題意可得CD長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理計(jì)算出AD長(zhǎng)，再利用BD=AB-AD可得BD長(zhǎng)．【詳解】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，∴AB==15（米），∵此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，∴CD=17-1×7=10（米），∴AD==6（米），∴BD=AB-AD=15-6=9（米），答：船向岸邊移動(dòng)了9米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．24．一株荷葉高出水面1米，一陣風(fēng)吹來(lái)，荷葉被吹得貼著水面，這時(shí)它偏離原來(lái)的位置有2米遠(yuǎn)，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度．【答案】荷葉的高度為米，水面的深度為米．【分析】設(shè)OA＝OB＝x米，則OC＝（x﹣1）米，在Rt△OBC中，利用勾股定理得：（x﹣1）2+22＝x2，解方程即可．【詳解】解：設(shè)OA＝OB＝x米，則OC＝（x﹣1）米，BC＝2米，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，∴（x﹣1）2+22＝x2，解得x＝，∴OA＝（米），OC＝x﹣1＝（米），答：荷葉的高度為米，水面的深度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．25．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，求小巷的寬度．【答案】2.2米【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，同理可得出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，米，米，．在△中，，米，，，，，米，米，答：小巷的寬度為2.2米．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．26．如圖，在公路的同側(cè)有兩個(gè)居民點(diǎn)、，居民點(diǎn)、分別到公路的距離千米和千米，且兩個(gè)居民點(diǎn)、相距千米．（1）要在公路邊修一個(gè)污水處理站來(lái)收集處理居民點(diǎn)、的污水，污水處理站修在什么地方到居民點(diǎn)、所用的水管最短；請(qǐng)你在圖中設(shè)計(jì)出污水處理站的位置．（保留作圖痕跡，不要證明）（2）如圖鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米萬(wàn)元，為使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省的費(fèi)用為多少萬(wàn)元？（3）要在公路邊修一個(gè)汽車(chē)站，使汽車(chē)站到兩個(gè)居民點(diǎn)、的距離相等，則點(diǎn)應(yīng)該修在距點(diǎn)多遠(yuǎn)的地方（另畫(huà)圖并寫(xiě)出解答過(guò)程）【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）萬(wàn)元；（3）；畫(huà)圖見(jiàn)解析【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，與CD的交點(diǎn)即為所求；

（2）AF⊥BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A′作，交BD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，可得，，，利用勾股定理求得，繼而由可得答案．

（3）作AB的中垂線(xiàn)，交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求；設(shè)，則，由即，列方程求解可得．【詳解】（1）如圖1所示，點(diǎn)即為所求．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則四邊形和四邊形均為矩形，，，則，，在中，，，則，所以最節(jié)省的費(fèi)用為（萬(wàn)元）．（3）如圖，作的中垂線(xiàn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；連接、，設(shè)，則，，，即，解得：，即點(diǎn)在距離點(diǎn)的地方．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．27．八年級(jí)1班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)量如圖的風(fēng)箏的高度CE，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：①測(cè)得BD的長(zhǎng)度為8米：(注：BD⊥CE)②根據(jù)手中剩余線(xiàn)的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線(xiàn)BC的長(zhǎng)為17米；③牽線(xiàn)放風(fēng)箏的松松身高1.6米．（1）求風(fēng)箏的高度CE．（2）若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿CD方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線(xiàn)多少米?【答案】（1）風(fēng)箏的高度CE為16.6米；（2）往回收線(xiàn)7米．【分析】（1）在中應(yīng)用勾股定理求得CD，然后利用CE=CD+1.6求解即可；（2）根據(jù)題意得到示意圖，且根據(jù)第（1）問(wèn)求得DF，然后在中使用勾股定理即可求得BF，最終利用BC-BF即可求解．【詳解】（1）在中，根據(jù)勾股定理得：（米）∴CE=CD+1.6=15+1.6=16.6（米）

∴CE=16.6（米）（2）根據(jù)題意得到下圖：∵CD=15∴FD=CD-9=15-9=6（米）∴在中，由勾股定理得：∴BC-BF=17-10=7（米）∴應(yīng)該往回收線(xiàn)7m．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，其中第（2）問(wèn)一定要注意收線(xiàn)時(shí)，人的位置不動(dòng)，要和梯子滑落問(wèn)題做好區(qū)分．28．如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線(xiàn)上的H處，再?gòu)腍分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫(xiě)出推理過(guò)程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析；（2）（2）甲方案所修的水渠較短；理由見(jiàn)解析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；

（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積＝AB?CH＝AC?BC，∴CH＝（m），∵AC+BC＝160+120＝280（m），C