5．2．1三角函數(shù)的概念目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：三角函數(shù)的定義 4題型二：判斷三角函數(shù)值的符號(hào) 6題型三：確定角所在象限 8題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用 9題型五：圓上的動(dòng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn) 11

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號(hào)是一個(gè)整體，離開的、、等是沒有意義的，它們表示的是一個(gè)比值，而不是、、與的積．知識(shí)點(diǎn)二：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識(shí)點(diǎn)詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．知識(shí)點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導(dǎo)公式一：，其中注意：利用誘導(dǎo)公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求（或）范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值．知識(shí)點(diǎn)四、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【典型例題】題型一：三角函數(shù)的定義【典例11】（2024·云南昆明·一模）如果角的終邊過點(diǎn)，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由定義知.故選：C【典例12】（2024·高一·山東威海·期末）下列角的終邊落在射線上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在射線上任取點(diǎn)，顯然點(diǎn)在第三象限，故該角也是第三象限角，排除A，B兩項(xiàng)；對(duì)于C，因，符合題意，故C正確；對(duì)于D，因，故D錯(cuò)誤.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求值的策略（1）已知角的終邊在直線上求的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．方法二：在的終邊上任選一點(diǎn)，P到原點(diǎn)的距離為（）．則，．已知的終邊求的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．（2）當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．（3）若終邊在直線上時(shí)，因?yàn)榻堑慕K邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理．【變式11】（2024·高一·貴州六盤水·期中）已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】角的終邊過點(diǎn)，故.故選：A【變式12】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若角的終邊在直線上，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在角的終邊上取一點(diǎn)，所以；或角的終邊上取一點(diǎn)，所以，綜上可得等于.故選：B．【變式13】（2024·高一·遼寧遼陽·階段練習(xí)）若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C．為銳角 D．【答案】D【解析】由角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求得，由三角函數(shù)的定義，.且為第一象限角，非銳角.故選：D.【變式14】（2024·高一·西藏拉薩·期末）已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三角函數(shù)定義可得.故選：A題型二：判斷三角函數(shù)值的符號(hào)【典例21】（2024·高一·上海·專題練習(xí)）已知角是第四象限角，則下列各式中一定為正的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻鞘堑谒南笙藿牵裕瑢?duì)于A，取，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.【典例22】（2024·高一·遼寧沈陽·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列各式一定為正的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以在第四象限，所以，，，，故C正確．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)也可以用下面的口訣記憶：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意為：第一象限各個(gè)三角函數(shù)均為正；第二象限只有正弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第三象限正切為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第四象限余弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)．【變式21】（2024·高一·山西·階段練習(xí)）下列各式的值為負(fù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由，，可知A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，，可知B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由，，可知C選項(xiàng)不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，，可知D選項(xiàng)正確.故選：D.【變式22】（2024·高一·陜西安康·期末）的符號(hào)為（

）A．正 B．0 C．負(fù) D．無法確定【答案】C【解析】由1弧度為第一象限角，2弧度為第二象限角，3弧度為第二象限角，4弧度為第三象限角，則，，，，所以．故選：C．【變式23】（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中符號(hào)為負(fù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義判斷各三角函數(shù)值得正負(fù).A.終邊在第二象限，故，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.終邊在第四象限，故，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.弧度終邊在第三象限，故，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.終邊在第二象限，故，故D選項(xiàng)正確；故選：D.【變式24】（2024·高一·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）下列函數(shù)值其結(jié)果為負(fù)值的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，所以為第一象限角，故，故不符合題意；，所以為第四象限角，故，故不符合題意；，所以為第二象限角，故，故符合題意；，所以為第二象限角，故，故不符合題意；故選：.題型三：確定角所在象限【典例31】（2024·高一·江西新余·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在第二象限，則角的終邊在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以的終邊在第三象限.故選：C.【典例32】（2024·高一·上海·專題練習(xí)）若，則點(diǎn)在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【解析】因?yàn)椋裕渣c(diǎn)在第四象限．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】確定角所在象限的步驟（1）判斷該角的某些三角函數(shù)值的符號(hào)；（2）根據(jù)角的三角函數(shù)值的符號(hào)，確定角所在象限．【變式31】（2024·高一·上海·階段練習(xí)）若，角終邊所在的象限是（

）A．一或三 B．二或四 C．二或三 D．三或四【答案】B【解析】由，得角是第三象限角，即，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第二象限角，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第四象限角，所以角終邊所在的象限是二或四.故選：B【變式32】（2024·高一·四川內(nèi)江·期末）已知，，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【解析】因?yàn)椋詾榈诙笙藿牵矗裕瑒t的終邊所在象限為所在象限，即的終邊在第一、二、四象限.故選：D.【變式33】（2024·高一·山東濟(jì)寧·期中）若，則角的終邊在（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】C【解析】因?yàn)椋栽谒诘南笙抟徽回?fù)，所以角的終邊在第三、四象限.故選：C.【變式34】（2024·高一·山西大同·期末）點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由，即的終邊在第二象限，所以，，所以點(diǎn)在第二象限.故選：B.題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用【典例41】（2024·高一·福建龍巖·階段練習(xí)）．【答案】【解析】.故答案為：【典例42】（2024·高一·廣東湛江·期末）．【答案】/【解析】由題意可得：.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用誘導(dǎo)公式一化簡或求值的步驟（1）將已知角化為（為整數(shù)，）或（為整數(shù)，）的形式．（2）將原三角函數(shù)值化為角的同名三角函數(shù)值．（3）借助特殊角的三角函數(shù)值或任意角的三角函數(shù)的定義達(dá)到化簡求值的目的．【變式41】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）.【答案】#【解析】，故答案為：.【變式42】（2024·高一·北京海淀·期中）【答案】/【解析】.故答案為：.【變式43】（2024·高一·安徽淮北·階段練習(xí)）已知，若，則的值為.【答案】/【解析】由可得，即，又因，故得，所以，，因此.故答案為：.【變式44】（2024·高一·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【解析】依題意原式，，故答案為：【變式45】（2024·高一·四川眉山·期中）．【答案】【解析】.故答案為：.題型五：圓上的動(dòng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)【典例51】（2024·高一·山東·階段練習(xí)）已知，的終邊與以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓交于，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕矗挥忠驗(yàn)樵谝?為半徑的圓上，所以，，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；故選：A.【典例52】（2024·高一·湖南益陽·期末）在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓O上，以圓O與x正半軸的交點(diǎn)為起點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，每轉(zhuǎn)一圈，則后的長為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在圓O上每逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一圈，那么后，到達(dá)P點(diǎn)，所以，而在中，且為圓的半徑，取的中點(diǎn)T，如圖，則，所以，則，所以故選：C【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求解【變式51】（2024·高一·福建三明·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是以原點(diǎn)為圓心，半徑長為2的圓.設(shè)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與橫軸的非負(fù)半軸重合，終邊與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，所以.故選：D.【變式52】（2024·高一·江西南昌·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P從出發(fā)，沿圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，作出半徑為的圓，由題意，，過作軸于點(diǎn)，則故選：B【變式53】（2024·高一·