第04講二次根式

目錄

技巧五拆項法

一、考情分析

技巧六整體代入法

二、知識建構

考點一二次根式的相關概念技巧七因式分解法

題型01二次根式有意義的條件

技巧八配方法

題型02判斷最簡二次根式

技巧九輔元法

題型03判斷同類二次根式

技巧十先判斷后化解

考點二二次根式的性質與化簡

考點三二次根式的運算

題型01利用二次根式的性質化簡

題型01二次根式的乘除運算

題型02常見二次根式化簡的10種

題型02二次根式的加減運算

技巧

題型03二次根式的混合運算

技巧一數形結合法

題型04二次根式的化簡求值

技巧二估值法

題型05二次根式的應用

技巧三公式法

技巧四換元法

考點要求新課標要求命題預測

二次根式的相關概中考中，對二次根式的考察主

了解二次根式、最簡二次根式的概念

念要集中在對其取值范圍、化簡計算

等方面，其中取值范圍類考點多出

二次根式的性質與

掌握二次根式的性質，再根據二次根式的性質化簡

選擇題、填空題形式出現，而化

化簡

簡計算則多以解答題形式考察.止匕

外，二次根式還常和銳角三角函

了解二次根式（根號下僅限于數）力口、減、乘、除數、實數、其他幾何圖形等結合出

二次根式的運算

運算法則，會用它們進行簡單的四則運算

題，難度不大，但是也多屬于中考

必考題.

二次根式）

考點一二次根式的相關概念

f夯基?必備基礎知識梳理

二次根式的概念：一般地，我們把形如而（a>0）的式子叫做二次根式，“廠”稱為二次根號，二次根號下

的數叫做被開方數.

最簡二次根式：開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最

簡二次根式.

同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次

根式.

易混易錯

1.二次根式定義中規定，任何非負數的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，如：〃

-V9都是二次根式.

2.二次根式有意義的條件：當得0時，即被開方數大于或等于0,二次根式6有意義.

3.在關于代數式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數大于或等于01分式（分母不等于0）等

有意義的綜合運用.

4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：

■提升.必例型歸幽

題型01二次根式有意義的條件

【例1】（2023?黑龍江綏化?中考真題）若式子平有意義，則X的取值范圍是_____.

【答案】%>一5且x*0/%豐0且

【提示】根據分母不為零，二次根式的被開方數是非負數，列出不等式計算即可.

【詳解】?「式子守有意義,

.'.X+5>0且％。0,

>—5且xH0,

故答案為：%>一5且久豐0.

【點撥】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數是非負數，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件

是解題的關鍵.

【變式1-1]（（2023?江西?中考真題）若石行有意義，貝心的值可以是（）

A.-1B.0C.2D._

【答案】D

【提示】根據二次根式有意義的條件即可求解.

【詳解】解：:析有意義，

--Ct-420,

解得：a24,貝必的值可以是6

故選：D.

【點撥】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵.

【變式1-2]（2023?內蒙古通遼?中考真題）二次根式VI。在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍在數

軸上表示為（）

II―I_I1I

<二

^1-

1O12O12

A11B11

1

CD-O12

-

【答案】C

【提示】根據被開方數大于等于。列不等式計算即可得到X的取值范圍，然后在數軸上表示即可得解.

【詳解】解：根據題意得，1-x20,

解得x<1,

在數軸上表示如下：

1I1----1_>

-1012

故選：c.

【點撥】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數軸上表示不等式的解集，理解二次

根式有意義的條件是解題關鍵.

【變式1-3]（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數y=高+當中，自變量x的取值范圍是_____.

【答案】x>1且x*2

【提示】根據分式有意義的條件，二次根式有意義的條件得出％-1>0,久-2A0,即可求解.

【詳解】解：依題意，x-l>0,x—2H0

>1且％W2,

故答案為：X>1且x豐2.

【點撥】本題考查了求函數自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解

題的關鍵.

方法技巧

解決二次根式有無意義的關鍵：

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須

是非負數.

題型02判斷最簡二次根式

[例2]（2023?上海青浦?二模）下列二次根式中，最簡二次根式的是（）

A.V0?2B.V8C.V6D.

【答案】C

【提示】對各選項逐一進行化簡，判斷是否為最簡二次根式即可得出答案.

【詳解】A.<2=/,不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

B.V8=2V2,不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

C.&是最簡二次根式，故此選項符合題意；

D.1=孝，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

故選C.

【點撥】本題主要考查最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵.

【變式2-1]（2022.河南南陽.二模）寫出一個實數x，使S=是最簡二次根式，則x可以是_____.

【答案】5（答案不唯一）

【提示】本題主要考查了最簡二次根式的定義.

【詳解】解：尤=5時，V%-3=V5-3=V2,魚是最簡二次根式，

.,?尤的值可以是5.

故答案為：5.（答案不唯一）

【點撥】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握最簡二次根式的條件，最簡二次根

式的條件是（1）被開方數不含分母；（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式.

題型03判斷同類二次根式

[例3]（2023?山東煙臺?中考真題）下列二次根式中，與魚是同類二次根式的是（）

A.V4B.V6C.V8D.V12

【答案】C

【提示】根據同類二次根式的定義，逐個進行判斷即可.

【詳解】解：A.6=2,與應不是同類二次根式，不符合題意；

B.泥與魚不是同類二次根式，不符合題意；

C.V8=2V2,與企是同類二次根式，符合題意；

D.V12=2V3,與魚不是同類二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點撥】本題主要考查了同類二次根式，解題的關鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二

次根式后，被開方數相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數不含分母；（2）

被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

【變式3-1]（202卜江蘇泰州?中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）

A.癰與WB.&與gC.而與聞D.后與何

【答案】D

【提示】把每個選項中的不是最簡二次根式化為最簡二次根式即可作出判斷.

【詳解】A.V8=2V2,2夜與避不是同類二次根式，故此選項錯誤；

B.V12=2V3,應與2舊不是同類二次根式,故此選項錯誤；

C.花與底不是同類二次根式，故此選項錯誤；

D.V75=5V3,V27=3V3,5遮與3次是同類二次根式，故此選項正確.

故選：D.

【點撥】本題考查了二次根式的化簡，同類二次根式的識別等知識，注意二次根式必須化成最簡二次根式.

【變式3-2]下列各式中，能與迎合并的是（）

A.V4B.V24C.V12D.V8

【答案】D

【提示】先化成最簡二次根式，再根據同類二次根式的定義判斷即可.

【詳解】A.〃化簡后不能與&合并，不合題意；

B.V24=2痣化簡后不能與迎合并，不合題意；

C.V12=2舊化簡后不能與金合并，不合題意；

D.V8=2/化簡后能與迎合并，符合題意；

故選：D.

【點撥】本題考查了二次根式的性質和同類二次根式，能熟記同類二次根式的性質是解題的關鍵.

【變式3-3］若最簡根式2nl+9與，5zn-5是同類二次根式,則m.

【答案】2

【提示】根據同類根式及最簡二次根式的定義列方程求解.

【詳解】解：1,最簡二次根式產亦由與廝。是同類二次根式，

/.—2m+9=5m—5,

解得巾=2,

故答案為：2.

【點撥】此題考查的是同類二次根式與最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關鍵.

方法技巧

判斷同類二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最簡二次根式，再根據被開方數是否相同來加

I”出山“匚曲:士。目來一乂7+日才匚士曰片E一工―

有點一一次根式;時'任所與化間

.夯基-必備基礎凝儂

雙重非黃性①檢開方數足整負數.即aNO:

②二次根式的例是等負攻，即42。.

性質

gzo)

a(a>0)

其它性質②=同=<0(o=0)

-a(a<0)

即任。?個教的乎方的算術?力根等于它本身的絕對值

霞證?4(aN0bN0)

④W(aN0.b>0)

二次根式的化簡方法:

1）利用二次根式的基本性質進行化簡；

2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.疝=后仍（a>0,b>0）,

與（a>G,b>G）

化簡二次根式的步驟：

1）把被開方數分解因式；

2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方

根的積；

3）化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于根指數2.

易混易錯

1.根據二次根式的性質化簡時，依前無，論化簡出來就不可能是一個負數.

2.利用二次根式性質時，如果題目中對根號內的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內對根式進

行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所

限定的取值范圍顯現出來，在允許的取值范圍內進行化簡.

.提升-必考題型歸納

題型01利用二次根式的性質化簡

[例1]（2023.江蘇泰州.中考真題）計算斤可等于（）

A.±2B.2C.4D.V2

【答案】B

【提示】直接利用二次根式的性質化簡得出答案.

【詳解】解：J（-2/=V5=2.

故選：B.

【點撥】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵.

【變式1-1]（2022?廣西桂林?中考真題）化簡g的結果是（）

A.2A/3B.3C.2V2D.2

【答案】A

【提示】將被開方數12寫成平方數4與3的乘積，再將4開出來為2,易知化簡結果為2V3.

【詳解】解：=Wx3=V22X3=2V3,

故選：A.

【點撥】本題考查了二次根式的化簡，關鍵在于被開方數要寫成平方數乘積的形式再進行化簡.

【變式1-2]（2023.湖北黃岡.中考真題）請寫出一個正整數機的值使得廝是整數；m=.

【答案】8

【提示】要使師是整數，貝U8爪要是完全平方數，據此求解即可

【詳解】解：：河是整數，

要是完全平方數，

，正整數m的值可以為8,即8nl=64,即兩^=V64=8,

故答案為：8（答案不唯一）.

【點撥】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到8nl要是完全平方數是解題的關鍵.

【變式1-3]（2022?四川南充.中考真題）若我"為整數，x為正整數，則x的值是____________.

【答案】4或7或8

【提示】根據根號下的數大于等于0和x為正整數,可得x可以取1.2.3.4.5.6.7.8,再根據我不為整數即可

得x的值.

【詳解】解:〔INO

.,.X<8

..次為正整數

二河以為1.2.3.4.5.6.7.8

?々8-x為整數

??.X為4或7或8

故答案為：4或7或8.

【點撥】本題考查了利用二次根式的性質化簡、解一元一次不等式等知識點，掌握二次根式的性質是解答

本題的關鍵.

題型02常見二次根式化簡的10種技巧

技巧一數形結合法

方法簡介：利用數軸和數學表達式相結合，達到快速化簡的目標.

[例2]（2022?內蒙古?中考真題）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則后+1+|a-1|的化簡結果是

（）

-1012

A.1B.2C.2aD.1-2a

【答案】B

【提示】根據數軸得：0<*1,得到a>0,a-l<0,利用二次根式和絕對值的性質化簡求解即可.

【詳解】解「.根據數軸得：0<。<1,

.t.a>0,。-1<0,

「?原式二|〃|+1+1-〃

=a+l+l-a

=2.

故選：B.

【點撥】本題考查二次根式的性質與化簡，實數與數軸，掌握后=⑷是解題的關鍵.

【變式2-1】實數爪在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡：J（時2尸=.

??，7??

-1012

【答案】2—m/—m+2

【提示】利用二次根式的性質和絕對值的性質，即可求解.

【詳解】由數軸位置可知1<m<2,

J（m—2）2—\m—2\—2—m.

【點撥】本題考查二次根式化簡運算，掌握二次根式的性質后=㈤是關鍵.

【變式2-2]（2022遂寧中考真題）實數a,6在數軸上的位置如圖所示，化簡|a+1|-“6-1尸+

-1)2=.

i1ab

-4-3-2-101234

【答案】2

【提示】利用數軸可得出-1<a<0,1<b<2,進而化簡求出答案.

【詳解】解：由數軸可得：-l<a<0,l<h<2z

則a+1>0,b—1>0,a-bVO

+11—1(JD—I)?+J(Q—b)2

—\d+1|—|6-1|+|ci-6|

=a+1—(b—1)—(a—/))

—CL+1—b+1—a+b

=2.

故答案為：2.

【點撥】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確得出a,6的取值范圍是解題關鍵.

技巧二估值法

方法簡介：先運用二次根式的運算法則化簡，再將最后的化簡結果化成根式再確定取值范圍.

[例3](2023?重慶?中考真題)估計企(遮+VIO)的值應在()

A.7和8之間B.8和9之間

C.9和10之間D.10和11之間

【答案】B

【提示】先計算二次根式的混合運算，再估算結果的大小即可判斷.

【詳解】解：V2(V8+V10)

=V16+V20

-4+2V5

'.-2<V5<2.5,

.'.4<2V5<5,

.,.8<4+2V5<9,

故選：B.

【點撥】此題考查了二次根式的混合運算，無理數的估算，正確掌握二次根式的混合運算法則是解題的關

鍵.

【變式3-1］（2023?山東臨沂?中考真題）設^1=5卜尾,則實數切所在的范圍是（）

A.V—5B.—5<<—4C.—4<TTI<-3D.TTI>—3

【答案】B

【提示】根據二次根式的加減運算進行計算，然后估算即可求解.

【詳解】解:m=5』—回=J^-V45=V5-3V5=-2V5,

-/2V5=V20,V16<V20<V25

.1.-5<—2"\/5<—4,

即—5<m<—4,

故選：B.

【點撥】本題考查了二次根式的加減運算，無理數的估算，正確的計算是解題的關鍵.

【變式3-2］若將三個數-舊，V7,4T表示在數軸上，其中一個數被墨跡覆蓋（如圖所示），則這個被覆

蓋的數是_____.

-?-104

【答案】V7

【提示】根據被覆蓋的數的范圍求出被開方數的范圍，然后即可得解.

【詳解】設被覆蓋的數是a,根據圖形可得

1<a<3,

.,.1<a2V9,

，三個數-機，V7,VTT中符合范圍的是貨.

故答案為：V7.

【點撥】本題考查了實數與數軸的關系，根據數軸確定出被覆蓋的數的取值范圍是解題的關鍵.

技巧三公式法

方法簡介：根據題目已知條件，通過變形、湊元等方法，湊成可用乘法公式，快速求解.

[例4]（2022?天津紅橋.三模）計算（2魂+3）（273-3）的結果等于.

【答案】3

【提示】利用平方差公式解答.

2

【詳解】解：（2V3+3）（273-3）=（2A/3）一3?=12—9=3

故答案為：3.

【點撥】本題考查利用平方差公式進行計算，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

【變式4-1]（2023?河北保定??？家荒＃┮阎海?+BY=5+2直，則口=.

【答案】6

【提示】根據完全平方公式算出（魚+V3）2=5+2V6,再結合已知條件求出結果.

【詳解】（V2+V3）=（V2）+2xV2xW+（V3）=5+2顯,（y/2+V3）=5+2vH,

5+2V6=5+2y[a,

???a=6.

故答案為：6.

【點撥】本題主要考查了二次根式的混合運算和完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

【變式4-2]計算：（百+1）（V3-1）-V16+（3V2-.

【答案】17-6V2

【詳解】

2

解：（g+1）（V3-1）-V16+（3V2-1）

=3-1-4+18-672+1

=17-6V2.

【點撥】本題考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是二次根式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于

基礎題型.

【變式4-3]計算：（5+旄）X（5V2-2V3）.

【答案】19V2

【詳解】解：(5+憫x(5V2-2V3)

=(5+V6)xV2x(5-V6)

=25V2-10V3+10V3-6A/2

=19V2

r杳才a4】_______________________

6101(V2+V3-V5)(2+V6+V10)--------------------------

【答案】25

【提示】利用平方差公式把原式變形為，廠、2],即可求解.

問(調+V5)-(Vs)]

【詳解】解"______10075______

卜汗用午」用午?(V2+V3-V5)(2+V6+V10)

_100V3

~(V2+V3-Vs)-V2(V2+V3+V5)

_100V3

~V2x2V6

一100

-V2x2V2

=25；

故答案為：25

【點撥】本題主要考查了二次根式的混合運算法則，理解相關知識是解答關鍵.

技巧四換元法

方法簡介：根據已知條件，利用未知變量替換有規律表達式，尋找規律，快速求解.

【例5】已知戶我+1,求詈窖+啜罌的值.

n+2-Vn2-4n+2+vn2-4

【答案】V2+1

【詳解】

設?=?+2+Vn2—4,I=幾+2-，九2一4,

「.4+6=2(〃+2),ab=(〃+2)2-(廬4)=4(〃+2),

.原式_a+匕_a2+b2_(a+b)2-2ab

baabab

f+療-2=ME)?_2

ab4(n+2)

=n.

當”=衣+1時，原式=V2+1.

技巧五拆項法

方法簡介：分子為多項式的和，分母為多項式的積，將分子拆出與分母相同或相似的項.

【例6］計算：需蠕耗、甘是示：V6+4V3+3V2=(V6+V3)+3(V3+V2)］

(V6+V3乂3V+V2J

【答案】V6-V2

【提示】根據題中提示進行拆分，在進行化簡即可.

【詳解】解,序式二顯+4顯+36二史+小)史

Ll干用?！褂门?際”(V6+V3)(V3+V2)(V6+V3)(V3+V2)

V6+y/3

=(V5+何(V5+何+

11

二-----1-------

V3+V2V6+V3

=V3-V2+V6-V3

=A/6—V2.

技巧六整體代入法

方法簡介：由已知條件，通過加減乘除運算，得到與求解表達式相關的表達數值，整體代入.

［例7］已知x=,y=,則/+*一孫=.

【答案】17

【提示】先對x和y進行分母有理化，將所給的多項式化為(x+y)2-3xy,再計算x+y和孫的值后，代入

計算即可.

【詳解】解：“=金=二苗&-2)=m-2,

1V5+2廠

'=右=(痛—2)(有+2)=近+2

原式二(%+y)2-2xy-xy

'.'x+y=2A/5，盯=5—4=1,

2

:原式=(2V5)-3=17z

故答案為：*.

【點撥】本題考查了二次根式的化簡，分母有理化，要熟練掌握平方差公式和完全平方公式.

【變式7-1］已知％=高，y=高，求X+5的值?

【答案】23

【提示】利用分母有理化化簡可得x=V5+2,y=V5-2,再代入土+'+5=立"+5求值即可；

yxxy

【詳解】解：,?'%==V5+2,

V5—2(V5—2J(V5+2J

V--J_______Vs_2

y_V5+2_(遮+2)(時-2)_VbN，

=5+4V5+4+5-4V5+4+5

=23.

【點撥】本題考查了二次根式的混合運算以及二次根式的化簡求值，解決問題關鍵是掌握分母有理化.

【變式7-2］已知：乂=六，”心?求值：

(1)

(2)x2y+xy2

【答案】(1)

(2)2710

【提示】(1)分母有理化，化簡X、y，據此求解即可；

(2)提取公因式得到/y+xy2=xy(x+y),再整體代入求解即可.

【詳解】()解：〔,久=(~；(；

v1'V10+—3=(V1—10+3)(V工i0-3)=V10—3,，y/-V-71=0-—3=(V1—10-3)(V10+3)=V10+3,

.x+y—V10-3+VlO+3=2VT0；

(2)解：由(1)知x=VIU—3,y=VIU+3,x+y=2V10,

：.xy=(710-3)(V10+3)=1,

■'-x2y+xy2=xy［x+y)

=x+y—2-/10.

【點撥】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算是解題的關鍵.

【變式7-3】已知。=舞，人=需，求，+?.

V5—V3V5+V3ab

【答案】62

【提示】利用分母有理化化簡a、b，求出a+b和ab，再將所求式子利用分式加法法則變形，代入計算即可.

【詳解】解：a=笆=，霽臂「、==4+同，6=笆=4—住，

V5-V3(V5+V3)(V5-V3)5-3V5+V3

：.a+6=4+V15+4-V15=8,ab=(4+V15)(4-V15)=1,

則海

a2+b2

ab

(a+b)2—2ab

ab

=62.

【點撥】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的加法法則、乘法法則、完全平方公式是解題

的關鍵.

技巧七因式分解法

方法簡介：與分式的化簡相同，代數式的化簡也要“變肥為瘦”.此題分母較為復雜，結合分子可將分母進行

因式分解，約去公因式從而達到“瘦身”的效果.

【例8】計算：*為.

【答案］匹券

【詳解】提示：把分母2+乃+同+同變形為：V2rV2+V3；+V5rV2+V3),然后提出(V2+V3)即可求

解.

角R.V2+V3_V2+V3V2+V3

牛,2+V6+V10+V15--V26V2+V3；+V56V2+V3)

6V2+V5；fV2+V3)

1

-V2+V5

_V5—V2

(V5+V2)(V5—\/2)

_V5—V2

—31

技巧八配方法

【例9】若a,b為實數，且6=用^+逐不點+15,試求.+￡+2—的值.

【答案】I

【詳解】試提示：利用二次根式的定義求出?與6的值，再把原式進行化簡，把。，6的值代入化簡結果進

行計算即可得到結果.

解：由二次根式的定義，得｛:A；：；，

3

「.3-5a=0，.二a=-15,.,.a+/?>0,a-b<0.

'5''

ba,2a+b/~~丁b—a1~~j-

----7abyjab

abab----------ab

,a+匕、~~j-2/~~丁

=%-不b—a）耐1=凈

當a=|,b=15時，

原式二卷X_2

【變式/1】可以用配方法化簡二重根式，

例如：74-2V3=J（V3-1）2=遮一1,

請化簡式子：A/5-2V6+yjl-4V3+,焉=

4—2V2

【答案】2

【提示】先把5-2旄，7-4舊分別化為（百-四丁與（2-V3）2,再化簡，結合分母有理化，最后計算加

減運算即可.

【詳解】解：Vs—2V6+y/7—4A/3+

4—272

卮鬲+

llr-2（V2-1）（2+V2）

-V3-V2+2-V3+——冶——w

（2-V2）（2+V2）

=2-V2+（V2-l）（2+V2）

=2-V2+2V2+2-2-V2

二2；

故答案為：2

【點撥】本題考查的是二次根式的化簡，二次根式的混合運算，分母有理化，掌握二次根式的化簡的方法

與技巧是解本題的關鍵.

技巧九輔元法

方法簡介：所謂輔元法，就是引入一個新的未知數把其他未知數表示出新的未知數的代數式，然后再代入

求值.

【例10】已知X:y:z=1:2:3(x>0,y>0,z>0),求反黑方的值.

【答案】V15-2V3

【詳解】

設x=%(%>0),貝?。輞=2左，z=3%,

:原式==7^7?=V15-2V3.

v4k+V5fc2+V5

【變式10-1】《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊AAc求

面積的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜幕減中斜幕,余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余四

約之,為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=,卜力_(四.現

有周長為18的三角形的三邊滿足a：6:c=4:3:2,則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為.

【答案】3V15

【提示】根據周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2,求得a=8,b=6,c=4,代入公式即可求解.

【詳解】解:..?周長為18的三角形的三邊滿足a:6:c=4:3:2,設a=4k,b=3k,c=2k

..4fc+3k+2k=18

解得

???a=8,b=6,c=4

???s=2-(十注

仲”中1

fl

=-(1024-484)

=V135

=3V15

故答案為：

【點撥】本題考查了化簡二次根式，正確的計算是解題的關鍵.

技巧十先判斷后化解

【例11］已知a+b=-6,ab=5,求6+aJ的值.

【答案】一警

【分析】首先對每一項根式進行分母有理化進行化簡，然后通分，進行分式的加法運算，再用對分母提取

公因式后，運用配方法對提取公因式后的分母進行整理，最后再入求值即可.

【詳解】解：'：a+b=-6,46=5,

.,.a<0,Z?<0.

.j=_^._-aVaK+-byfab_VoF(a2+^2)_((a+b)2—2ab

八baabIab

_26V5

—5,

【變式11-1】先化簡再求值

(1)已知：y>V3x-2+V2-3x+2,求打jy+4+5—3%的值.

2-y

(2)已知a=熹,求方-等票的值.

2+V3a-3a￡—2a

【答案】⑴2

(2)7

【分析】(1)根據二次根式被開方數的非負性，可得工的值，從而得y的范圍，從而可將要求的式子化簡求

解；

(2)先對已知條件利用分母有理化進行化簡，再對要求的式子進行化簡，最后將a的值代入計算即可.

【詳解】(1)-2>0,V2-3%>0,3%-2>0,2-3%>0

■■X=|,V3x-2=V2—3%=0

'.y>、3x—2+A/2—3x+2

■■y>2

Vy2~4y+4+5-3x

2-y

=ZZ￡+5_3X￡

2-y3

=-1+5—2

=2

，空方+5—3x的值為2.

1

(2)=

_2-V3

-(2+V3)(2-V3)

=2-V3<1

.a2-9Va2-4a+4

CL—3a2—2a

_(a+3)(a-3)(a—2)2

ci—3a(a—2)

=(a+3)-

'Ja(a-2)

=a+3H—

a

=2-V3+3+2+V3

=7

2Va2-4^+4

.a-9的值為7.

?a-3a2-2a

【點撥】本題考查了二次根式的化簡求值和分式的化簡求值，熟練掌握因式分解及分母有理化的方法，是

解題的關鍵.

方法技巧

1.二次根式化簡的結果一定是被開方數不含分母，被開方數中的每一個因式或因數都開不盡.

2.如果被開方數是分式或分數(包括小數)，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式或分數的形式，

然后利用分母有理化化簡.

3.如果被開方數是整式或整數，先將它分解因式或分解因數，然后把開方開得盡的因式或因數開方，從

_—6als

.夯基-必備基礎知識梳理

乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即：4ab=6?迎(a>G,b>Q).

除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即：%=^(a>0,b>0).

加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數相同的二次根式合并.

【口訣】一化、二找、三合并.

分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.

【分母有理化方法】

1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：+=晟=也

2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分.

□n.1_逅+VF_迎+VK.

?y/a-Vb（Va-V&）（y/a+y/b'）a-b1

混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去掉括號）.

易混易錯

1.在使用=Va*VF時一定要注意a>0,/?>0的條件限制.

2.在使用半="（aNO,b>0）時一定要注意a>0,b>0的條件限制.

7b7b

3.合并被開方數相同的二次根式與合并同類項類似，將被開方數相同的二次根式的"系數"相加減，被

開方數和根指數不變.

4.二次根式加減混合運算的實質就是合并被開方數相同的二次根式，被開方數不同的二次根式不能合

并.

5二次根式進行加減運算時，根號外的系數因式必須為假分數形式.

?盤而花著題麗納

題型01二次根式的乘除運算

[例1]（2023?湖南?中考真題）對于二次根式的乘法運算,一般地，有迎?VF=而.該運算法則成立的

條件是（）

A.a>0,/?>0B.a<0,b<0C.a<0,b<0D.

【答案】D

【提示】根據二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結果.

a>0

【詳解】解：根據二次根式有意義的條件，得b20,

ab>0

a>0,b>0,

故選：D.

【點撥】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數為非負數是本題

的關鍵.

【變式1-1]（2023?青海西寧?中考真題）下列運算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.J（-5）2=-5

C.（3-V2）2=11-6V2D.64--1xV3=3

【答案】C

【提示】根據二次根式的運算法則運算判斷.

【詳解】解：A.皿+,，不能合并，原計算錯誤，本選項不合題意；

B.行引=5,原計算錯誤，本選項不合題意；

C.（3-V2）2=11-6V2,計算正確，本選項符合題意；

D.6-^xV3=6x^xV3=9,注意運算順序，原計算錯誤，本選項不合題意；

故選：C

【點撥】本題考查二次根式的運算，乘法公式；注意掌握運算法則是解題的關鍵.

【變式1-2]（2023?河北?中考真題）若口=&,6=?,則席=（）

A.2B.4C.V7D.V2

【答案】A

【提示】把a=/，b=近代入計算即可求解.

【詳解】解：=V2,b=47,

-叵=14x（時=叵=啟=2

7bz-j（⑺zr7-",

故選：A.

【點撥】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運算是解題的關鍵.

【變式1-31（2022?廣東廣州?廣東番禺中學?？既＃┯嬎悖罕O+鬧?H等于（）

7b7ab

A.■~--VctbB.—7abC.—NabD.b7ab

\a\b￡abb

【答案】A

【提示】根據二次根式的乘除運算法則進行計算，最后根據二次根式的性質化簡即可.

【點撥】本題考查二次根式的乘除運算和二次根式的性質，?乃=20,620）,返+迎=

^（a>0,b>0）,熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵.

【變式1-4]（2023益陽市中考）計算：V20XV5=.

【答案】10

【提示】根據二次根式的乘法法則計算即可.

【詳解】V20XV5=V20X5=V100=10.

故答案為：10.

【點撥】本題考查了二次根式的乘法.二次根式的乘法法則前?也=而.

方技巧

二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相同，整式乘除法的一些法則、公式在

二次根式乘除法中仍然適用.在運算時要明確運算符號和運算順序.若被開方數是帶分數,則要先將其化

【答案】1

【提示】先化簡二次根式，再計算減法.

【詳解】解：眄-機=3-2=1,

故答案為：1.

【點撥】本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是掌握二次根式的性質.

【變式2-1]（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）計算百+3]的結果是

【答案】2V3

【提示】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可.

【詳解】解：百+3

=V3+V3

=2A/3,

故答案為：2V3.

【點撥】本題考查了二次根式的加減，把二次根式化為最簡二次根式是解題的關鍵.

【變式2-2]（2023.廣西玉林?一模）下列運算正確的是（）

A.V2+V5=V7B.5V2+y=5+y

C.V5-V3=V2D.2V3-V3=V3

【答案】D

【提示】利用二次根式的加減運算法則進行計算，然后作出判斷.

【詳解】解：A.魚與行不是同類二次根式，不能合并計算，故此選項不符合題意；

B.5V2+f=等，故此選項不符合題意；

C.?與百不是同類二次根式，不能合并計算，故此選項不符合題意；

D.2V3-V3=V3,正確，故此選項符合題意；

故選：D.

【點撥】本題考查二次根式的加減運算，掌握運算法則是解題關鍵.

【變式2-3]（2023淄博市一模）已知實數很、〃滿足-3+|n-12|=0,則標+Vn=.

【答案】3V3

【提示】根據絕對值和平方的非負性求出%和y的值，然后代入化簡求值即可.

【詳解】+|n-12|=0,

rm—3=0

*tn-12=0'

解得｛:M,

.yfrn.+yfn=V3+V12=V3+2v5=3v5,

故答案為：38.

【點撥】本題考查了絕對值和二次根式的非負性，二次根式的化簡和加減運算，根據題意求出%和y的值是

解題的關鍵.

【變式2-4]（2020?河北?中考真題）已知：聞—&=aa—&=6V^,貝！Jab=.

【答案】6

【提示】根據二次根式的運算法則即可求解.

【詳解】'.VTs-V2=3V2-V2=2V2

.,.a=3,b=2

.".ab=6

故答案為：6.

【點撥】此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則.

方法技巧

二次根式的加減與整式的加減相比，可將被開方數相同的二次根式看作整式加減中的同類項進行合

并.另外有理數的加法交換律、結合律，都適用于二次根式的運算.

題里U3一伏悵隊削遍三友舁

[例3]（2023?山東聊城?中考真題）計算：^V48-3+百=.

【答案】3

【提示】先利用二次根式的性質化簡，再計算括號內的減法，然后計算二次根式的除法即可.

【詳解】解：（，?！?夠）+V3

=卜百—3x千百

=（4V3一店）一百

=3V3V3

=3

故答案為：3.

【點撥】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質和運算法則是解題的關鍵.

【變式3-1]（2022.湖北荊州.中考真題）若3-魚的整數部分為a，小數部分為b,則代數式（2+&a）?6的

值是_____.

【答案】2

【提示】先由1<注<2得到1<3-a<2,進而得出a和b,代入（2+V2a）-b求解即可.

【詳解】解：1<夜<2,

.-.1<3-V2<2,

3-夜的整數部分為a，小數部分為b,

.".a=1,b=3—V2—1=2—V2.

,■,（2+V2a）-b=（2+V2）x（2-V2）=4-2=2,

故答案為：2.

【點撥】本題主要考查無理數及代數式化簡求值，解決本題的關鍵是要熟練掌握無理數估算方法和無理數

整數和小數部分的求解方法.

【變式3-2]（2023.湖北荊州?中考真題）已知k=V2（V5+V3）.（V5-V3）,則與k最接近的整數為（）