與坐標(biāo)有關(guān)的壓軸題復(fù)習(xí)講義

由點(diǎn)坐標(biāo)到線段長的破題之道

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們知道線段AB的長取決于兩個端點(diǎn)的坐標(biāo).

在圖1在線段AB〃y軸，則AB=yi-y2(yi)y2)；

在圖2中線段AB〃x軸廁AB=%1-

(注：若不明確線段兩個端點(diǎn)的位置情況或坐標(biāo)大小，則線段長需要確保非負(fù)性，應(yīng)寫成坐標(biāo)差的絕對值.)

在圖3中，一般情況下，已知點(diǎn)A(X[,yi),B(X2,y2),若.心豐功且%豐%”則AB=J(久】一比2產(chǎn)+(%-有時會

222

記作AB=(xi-x2)+(yi-y2).

圖1至圖3的三種情況，是坐標(biāo)系里由兩點(diǎn)坐標(biāo)得到線段長的具體途徑，這其實是一個由“數(shù)”到“形”的過程,

是我們破解壓軸題應(yīng)該具備的技能.

例25在RtAABC中,AB=BC在RtAADE中,AD=DE,連接EC,取EC的中點(diǎn)M,連接DM和BM.

⑴若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖4,探索BM,DM的關(guān)系并給予證明；

(2)如果將圖4中的AADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45。的角，如圖5，那么(1)中的結(jié)論是否仍成立?如果不成立，

請舉出反例；如果成立，請給予證明.

圖4圖5

【分析】讀完題目以后，同學(xué)們一定會很納悶，這是一道純幾何推理的探索證明題，沒有平面直角坐標(biāo)系，

沒有任何點(diǎn)的坐標(biāo)，沒有函數(shù)背景，何談由點(diǎn)的坐標(biāo)到線段長的計算呢?其實這是為了增強(qiáng)說服力，為了體現(xiàn)這一

課解題技能的重要性，老師特意選了這么一道貌似不可能破解的例題.

我們都知道探索兩條線段的關(guān)系其實就是判斷兩條線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系一般是等量關(guān)系，

位置關(guān)系就是平行或垂直,而這些數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系都可以在坐標(biāo)系中體現(xiàn)出來.所以我們?nèi)绻軐⑻骄康膱D形置

于平面直角坐標(biāo)系中，賦予圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后充分考慮等腰直角三角形的特征，那例題前面分析的內(nèi)容與

方法就可以發(fā)揮作用了.

⑴如圖6,在沒有旋轉(zhuǎn)前，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，這屬于特殊情況，也屬于

比較常規(guī)的幾何推理，我們不需要借助坐標(biāo)就能輕松給出解答.由于BM,DM都是各自所在直角三角形中斜邊上的

中線，而斜邊又是公共的CE邊，因此BM=DM=漢/Zl=2N3,N2=2z4,不難斷定BM1DM,,因此

BM,DM的關(guān)系是相等且垂直，這樣的結(jié)論也是(2)的探索方向.

⑵繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后，(1)中的圖形關(guān)系發(fā)生了改變，不能僅靠簡單的推理發(fā)現(xiàn)BM,DM之間的關(guān)系，我們嘗試

引入坐標(biāo)以數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行探索.

如圖7,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，過點(diǎn)A作AC的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.考

慮到AABC是等腰直角三角形，不妨設(shè)直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,a)(a>0)廁頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a,0).

如圖8設(shè)動點(diǎn)D的坐標(biāo)為(X,y)(由于旋轉(zhuǎn)角小于45。,所以%>y>0)過點(diǎn)D作DGLAC于點(diǎn)G.過點(diǎn)E作

EF±DG于點(diǎn)F,貝謖證AADG04DEF(畢竟不能忽略題目本身是幾何問題)相DF=AG=x,EF=DG=y，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為

((%—y，%+y).

因為C(2a,0),E(x-y,x+y),所以CE中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(土產(chǎn)，等)在本書里關(guān)于中點(diǎn)坐標(biāo)的應(yīng)用有專門的一課

來學(xué)習(xí))，所以

2

DM?=卜_鏟丫+（y_等丫=（等-a）+（沿1

BM2=（a-+（a-等）2=（詈）2+1一等）2

由此可以看出DM2=BM2,

因此DM=BM.

與此同時，BD2=（a—x）2+（a—y）2=2a2+x2+y2-2ax—2ay,

而DM2+BM2

=2DM2

=2|(*4+(守]

=2-a(x+y)+a2]

=x2+y2—2ax—2ay+2a2.

22

這說明DM+BM=BD?.根據(jù)勾股定理的逆定理則有DM1BM,從而BM與DM的關(guān)系在旋轉(zhuǎn)后依然是

相等且垂直的.

B

【解答1】⑴如圖9,BM與DM的關(guān)系是相等且垂直.環(huán)X

證明如下：/國《

因為在RtAABC中,AB=BC,/-------])~4'^.

所以/ABC=9(r,/ACB=45。.圖9

因為在RtAADE中,AD=DE,

所以^ADE=90°=乙CDE.

因為點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，

所以在RtACDE中，DM=\CE=CM,在RtACBE中，BM=\CE=CM.

所以BM=DM,/1=2N3,N2=2N4.

所以NBMD=Zl+Z2=2(Z3+Z4)=2ZACB=90°.

所以BM_LDM,且BM=DM.

(2)旋轉(zhuǎn)后⑴中的結(jié)論仍成立.理由如下：

如圖10,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，過點(diǎn)A作AC的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因為AABC是等腰直角三角形,

所以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,a),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a,0).

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),由題意得x>y>0.

作DGLAC于點(diǎn)G,EF±DG于點(diǎn)F,連接BD.

因為AADE是等腰直角三角形，

所以AADG義ZXDEF,

所以DF=AG=x,EF=DG=y,

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x--y,x+y).

因為點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，且C(2a,0),

圖10

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(土黃，等).

所以BM2=("-)2+("等『=(釣2+(”乎)2

DM2=1_黃)2+(y一?)2=(等—42+(亨)2,

BD2=(a-x)2+(a-y)2=2a2+x2+y2-2ax-2ay,

所以BM2=DM2,

即BM=DM,

所以BM2+DM2=2DM2=2(等-+2(鑰？

=2a②+x2+y2—2ax-2ay

所以BM2+DM2=BD2.

所以/BMD=90。，

所以BM,DM的關(guān)系依然是BMLDM,

且BM=DM.

【經(jīng)驗分享】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)通過常規(guī)的代數(shù)運(yùn)算，可以解決復(fù)雜的幾何問題，我們采用的這種新穎的方法

使問題獲得了解決，相信會給大家對數(shù)學(xué)的理解增加很深的印象.

（2）這道壓軸題若采用傳統(tǒng)的幾何推理的方式,會有不小的難度（想挑戰(zhàn)自己的同學(xué)不妨先獨(dú)立思考）,關(guān)鍵是如

何合理地添加輔助線進(jìn)行溝通，這里僅提供一種幾何解法供大家對照理解.

【解答2］（幾何解法）

延長DM到點(diǎn)N,使MN=DM,

連接CN,則易證△EDMg/kCNM（如圖11）.

所以CN=ED=AD,

ZMED=ZMCN.

所以DE〃CN.

延長AD,CN,設(shè)交點(diǎn)為H,AH與BC交于點(diǎn)G(如圖12).

因為AD_LDE,

所以ADXCN.

即AH±CH.

在AABG與ACHG中.

因為/ABG=NCHG=90°.

NAGB=NCGH,

所以/BAD=NBCN.

又因為AB=BC,AD=CN,

所以ABAD^^BCN^I^13).

所以BD=BN,ZABD=ZCBN.

因為/ABD+/DBC=90。，

所以/CBN+NDBC=90。，

fiPZDBN=90°.

在ABDN中,/DBN=90o,BD=BN,M是DN的中點(diǎn)，所以DM=BM,且DM_LBM.

坐標(biāo)法妙解與線段長有關(guān)的綜合題

平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)、三角形、四邊形等知識結(jié)合起來以后，可以充分發(fā)揮它的神奇功能.

在函數(shù)方面，由點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定函數(shù)解析式，也可以由函數(shù)圖象獲得一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)；在幾何方面，可以由點(diǎn)

的坐標(biāo)得到距離、得到線段長，也可以由點(diǎn)的坐標(biāo)得到銳角三角函數(shù)值，還可以與平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等圖形變換

結(jié)合起來.

例如圖1,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,0)點(diǎn)C在第一象限內(nèi)且.△OBC為等邊三角形直線BC交

y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作直線.力E1BD,垂足為E,交OC于點(diǎn)F.

⑴求直線BD的函數(shù)解析式；

⑵求線段OF的長；

(3)連接BF,OE,試判斷線段BF和OE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【分析】有了上一課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，這道例題的分析我們就通過下面的思維導(dǎo)圖來展現(xiàn).注意觀察、理解我們是

如何由已知點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā)，經(jīng)過怎樣的計算與推理過程，把落腳點(diǎn)放在了哪些點(diǎn)的坐標(biāo)上，最后使得⑴⑵⑶的答

案都順利呈現(xiàn).

->

B(6?0)fC(3?3")OC：,y=73

i

v

BC：3,=—+6V3

I

L.L—叵,273

AE：k'+攀■*\y~3r+3fE(4,2痣)

OE=2"

oo

y=—底工+G底

I

［產(chǎn)區(qū)+述

,33fF(1.")—BF=2"

.J=A/3j'

I

OF=2

【解答】⑴如圖2,作(CG1x軸于點(diǎn)G.

圖2

因為AOBC是等邊三角形,B(6.0).

所以。B=6,0G=巳。8=3,NC08=60°,

所以CG=0G?tan60。=373,

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為((3,3百).

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,

代入B,C坐標(biāo)狷

(3k+b=3V3

解得\k=一?

所以直線BD的解析式為y=-V3x+6V3.

⑵由(1)知，直線BD的解析式為y=-V3x+6V3.

因為AE±BD,

所以設(shè)直線AE的解析式為y-fx+瓦(直線AE與BD的一次項系數(shù)乘積為-1),

代入點(diǎn)A的坐標(biāo)(-2,0),得瓦=竽，

所以直線AE的解析式為y=日比+手

由⑴知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3.3V3),

設(shè)直線OC的解析式為y=k1X,

代入點(diǎn)C,解得匕=V3,

所以直線OC的解析式為y=V3x.

，_V32A/3

根據(jù)題意,解方程組y=5■久+=,

、y=V3x

解得｛；二擊所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為((1，百)，

所以O(shè)F=Jl2+(V3)2=2.

(3)線段BF和OE的數(shù)量關(guān)系是相等.理由如下：

因為直線BD的解析式為y=-V3x+6低

直線AE的解析式為y=gx+竽,

y=—V3x+6V3'x=4

所以聯(lián)立y/32V3，解得

y=——xH-----?=

iJ33

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為((4,2百).

所以0E=+(2何之=2V7.

因為B(6,0),F(l,V3),

所以BF=J(6-I)2+(0-V3)2=2位.

所以BF=OE.

【經(jīng)驗分享】當(dāng)坐標(biāo)系中兩個一次函數(shù)的圖象即兩條直線垂直時，它們的一次項系數(shù)的乘積為-1,關(guān)于這方

面的詳細(xì)說明，在《中考數(shù)學(xué)是這樣考好的》一書的第33技中有詳細(xì)的介紹，有不明白的同學(xué)不妨找來一看.在例

26的分析中，直線AE解析式的確定就依賴于已知點(diǎn)A的坐標(biāo)和AELBC這樣的條件.

坐標(biāo)法妙解與角度有關(guān)的綜合題

所謂的坐標(biāo)法只是想讓同學(xué)們重視點(diǎn)的坐標(biāo)在壓軸題中的重要性，不僅是由點(diǎn)的坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為線段長，還可

以與其他圖形性質(zhì)結(jié)合，解決與角度有關(guān)的問題，本質(zhì)上更多的還是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)解題思想的運(yùn)用.

例如圖1拋物線y=3)2-1與X軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

⑴求點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)；

(2)連接CD,過原點(diǎn)。作OELCD,垂足為H,OE與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,連接AE,AD,求證:NAEO=

^ADC.

【分析】⑴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，快速、準(zhǔn)確地求出拋物線上A,B,C,D這四個關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)屬于常規(guī)要

求，計算后得2(3-V2-0),B(3+夜，0),C(0,()，。⑶-1),且拋物線的對稱軸為x=3.(l)雖然容易上手，只是在后續(xù)

(2)的解題中如何發(fā)揮(或意識到)這些點(diǎn)坐標(biāo)的意義就值得學(xué)習(xí)了.

⑵中首句“連接CD”是最普通的幾何語言，但是放在綜合題里就意味著坐標(biāo)系中的一次函數(shù)圖象，暗示我們可

以由⑴中的C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線CD的解析式為y=-|x+

如圖2,(2)中第二句“過原點(diǎn)。作OELCD”,可由剛求出的直線CD的解析式得出直線OE的解析式為y=|x,

因點(diǎn)E又在對稱軸x=3上,所以當(dāng)x=3時,y=2，則第五個點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,2).

2

由端點(diǎn)4(3—魚，0),E(3,2)求線段AE的長：AE2=[3-(3-V2)]+(2—0尸=6;由端點(diǎn)

4(3-魚，0),。(3,一1)求線段AD的長：AD2=[3-(3-V2)]2+(-1-0)2=3;再由拋物線對稱軸上兩點(diǎn)D(3,

-1),E(3,2)求線段DE的長：=[2-(-1)F=9,這時能發(fā)現(xiàn)AE2+AD2=。盾,從而ADLAE以上由點(diǎn)的坐標(biāo)計

算推理所得新結(jié)論“ADLAE”就與已知條件“OELCD”相呼應(yīng)，二者結(jié)合形成了推導(dǎo)角常用的“蝶形圖”，因而結(jié)論/

AEO=ZADC成立.

或者，根據(jù)兩組垂直“ADLAE”與“OELCD”，結(jié)合圓中直徑的相關(guān)定理，我們想到點(diǎn)A,點(diǎn)H在以DE為直

徑的圓上，同AH所對的圓周角相等，所以NAEH=/ADH,即^AEO=^ADC.

【解答】(1)因為拋物線y=黑刀-3尸-1與x軸交于A,B兩點(diǎn)，

2

解方程|(x-3)-1=0得%!=3-V2,%2=3+V2,

所以點(diǎn)4(3-V2-0),B(3+V2.0).

因為拋物線y=-3)2-1=一3x+:與y軸交于C點(diǎn)，

所以點(diǎn)

因為拋物線y=久久-3)2-1的頂點(diǎn)是D.

所以點(diǎn)D(3,-1),對稱軸為直線x=3.

⑵設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,

代入C(0<1).D(3--l),

得,b=5.解得「=

(3k+b=