因動點產生的函數與面積問題復習講義

解題策略

割補法是代數、幾何綜合中最常用的求面積方法，所有圖形的面積都可以采用割補法進行求解，可以說它是求

面積的通法.本節重點講解用割補法求面積，通過恰當的割補圖形，可以使面積的計算變得更容易.

而"寬高公式”的應用，是求面積最好用的方法之一，其模型及原理前面的章節已講過.

對于求面積最大值問題，可以通過設定動點參數坐標，通過割補法等把面積用含參數的函數表示出來，然后利

用函數的性質進行求解.

三角形有一條邊在坐標軸三角形的三邊都不在坐標軸四邊形有兩邊在坐標軸

背景上：以在坐標軸上的邊為底邊，上：過其中一個頂點作平行于坐上：過不在坐標軸上的頂點作

坐標軸的垂線.

S四邊形COBP=S四邊

形BOBP+S&CEP

模型一割補法1

如圖，已知二次函數y=*_2比-3的圖象與x軸交于A,B兩點（點A在左側，點B在右側）,與y軸交于

點C,頂點為D.求.△BCD的面積.

思路分析：通過計算可知△BCD是直角三角形，可以直接求出兩條直角邊的長用三角形面積公式求解即可，

此處主要講述割補法求面積的方法，如圖，我們可以把ABCD補成梯形OBDK,則△BCD的面積等于梯形OBDK

的面積減去兩個灰色三角形的面積.

模型二割補法2

已知二次函數y=X2-2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點(A在左側，B在右側)，與y軸交于C點,如圖若

E(1,O),F(2,O),G(O,-1),P是第四象限內拋物線上一動點，求四邊形EFPG面積最大值，及此時點P的坐標.

思路分析：四邊形EFPG的四個頂點中有三個頂點是定點，另一個頂點在拋物線上，該點可以通過設未知數表

示出來，然后用代數式表示出四邊形的面積.由于四邊形EFPG不規則且形狀不固定，可通過割補法把四邊形EFP

G的面積轉化成幾個三角形面積的和差進行計算，如圖，=

四立形EFPG

已知二次函數y=X2-2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點(A在左側，B在右側),與y軸交于C點，頂點為

D.如圖，P為對稱軸上一點，若△BCP的面積為6,則點P的坐標為多少？

思路分析：此題應用割補法也可求解，此處只講解采用寬高公式求解的方法，在此部分的第一章“必備的應用

模型和法則”中講解了寬高公式，此處直接應用即可，應用寬高公式關鍵是確定水平寬和鉛錘高.如圖，點C在y

軸上，在△BCP的水平寬為0B，點P在對稱軸上，設對稱軸與BC的交點為點Q,則PQ就為△BCP的鉛垂高，

則.ABCP的面積就等于匏BXPQ從而可求出P點坐標.應用寬高公式時，一定要找好水平寬和鉛垂高，鉛垂高

中的兩個點一個為水平寬外的第三點，以及過第三點作x垂線與三角形另外兩點確定的邊(或其延長線)的交點.

模型四寬高公式——復雜應用

已知二次函數y=比2_2》-3的圖象與x軸交于A,B兩點(A在左側，B在右側)，與y軸交于C點，頂點

為D.如圖，P為拋物線上一點，若SB.P=^SBO,求出滿足條件的點P的橫坐標.

思路分析：此題我們依然采用寬高公式進行解答，由于題目中兩定點B、C相同，故兩三角形的"水平寬"相

等，都等于0B的長，因此只要使3CP的"鉛垂高"為ABCD的"鉛垂高"的一半即可.問題就轉化為確定3CP

的鉛垂高.如圖ABCD的鉛垂高為2,所以3CP的鉛垂高PQ等于1,注意點Q的位置.

精選例題

例1.在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B，拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經

過點A,B.

(1)求a,b滿足的關系式及c的值；.

⑵當x<0時，若y=a久2+bx+c(a<0)的函數值隨x的增大而增大,求a的取值范圍；

⑶如圖，當a=-l時，在拋物線上是否存在點P,使WAB的面積為1?若存在，請求出符//\\

合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.盧~Rp

解析/I\

(1)求出點A,B的坐標，即可求解；

⑵當x<0時若y=a-+bx+通<0)的函數值隨x的增大而增大，則函數對稱軸x=-￡>。，而b=2a+l,

即-竽20,即可求解；

⑶解法一:應用"寬高公式"，WAB的“水平寬”為A0,求“鉛垂高"即可；

解法二:過點P作直線IIIAB,作PQlly軸交BA于點Q,作PH±AB于點H,|x/IFxPH=|x2

V2xPQxy=1,則\yP-yQ\=1,即可求解.

解(l)y=x+2,令x=0廁y=2,令y=0廁x=-2.

故點A,B的坐標分別為(-2,0),(0,2),則c=2.

則函數解析式為y=ax2+bx+2.

將點A坐標代入上式并整理，得b=2a+l;

⑵當x<0時若y=aX^+bx+c(a<0)的函數值隨X的增大而增大,

則函數圖象的對稱軸尤=-520,而b=2a+l,

2a

即-2：+i>0.解得a>

2a2

故a的取值范圍為-

⑶當a=-l時，二次函數解析式為y=-X2_久+2.

解法一如答圖L過點P作PQlly軸交BA于點Q

易求得直線AB的解析式為y=x+2.

點A的坐標為(-2,0).

設點P的坐標為((m，-》-巾+2)點Q的坐標為(m,m+2).

PQ=|-m2-m+2-m-2|=|m2+2m|,OA=2.

22

SPAB=|xOXxPQ=|x2x|m+2m\=\m+2m\—1.

當m2+2m-1時，解得m=—1±V2;

當m2+2m=-1時，解得m=-l.

故點P的坐標為(-L2)或((-1+夜，1)或(-1一魚，-魚).

解法二:如答圖2,過點P作直線IIIAB,作PQlly軸交BA于點Q,作PH±AB于點H.

；OA=OB,..NBAO=NPQH=45°.

SPAB=|xXBxPH=1x2V2xPQx曰=1.

貝Uyp-y(2=L

在直線AB下方作直線m，使直線m和I與直線AB等距離，

則直線m與拋物線兩個交點坐標，分別與點AB組成的三角形的面積也為1,

故\yP-yQ\=L

設點P的坐標為((%，--_乂+2)則點Q的坐標為(x,x+2).

即—X2—x+2-X—2=±1.

解得x=-l或％=-1±V2,答圖2

故點P的坐標為(-L2)或((-1+91)或-V2).

例2.如圖，已知拋物線y=儲+|久+4的對稱軸是直線x=3,且與x軸相交于A,B兩點(B點在A點右側),

與y軸交于C點.

(1)求拋物線的解析式和A,B兩點的坐標；

(2)若點P是拋物線上B,C兩點之間的一個動點(不與B、C重合)，則是否存在一點P,使△PBC的面積最

大.若存在，請求出APBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

(3)若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N,當.MN=3時，求M點的坐

標.

圖1圖2

解析

(1)利用對稱軸公式即可求出a;

(2)初中與函數相結合的求面積最大值的方法有4種，各有特點，詳細方法見解答過程;

⑶設點M的坐標為+|爪+4),則點N的坐標為(7?1，-如+4),則MN=|--^m2+|m+4-

-|m+4^)|=4,求解即可.

解⑴.?拋物線y=ax2+lx+4的對稱軸是直線x=3,

3

—~T-=3,解得a=一；.

2a4

,拋物線的解析式為y=-；x2+|x+4.

當y=0時，—1/+|刀+4=0,

解得M=—2,七=8,

:點A的坐標為((-2,0),點B的坐標為(8,0);

(2)當x=0時，y=—2*2+|x+4=4.

:點C的坐標為(0,4).

設直線BC的解析式為.y=kx+b(k^0).

將B(8,0)((0,4)代入.y=kx+b,得

產解得仁：

，直線BC的解析式為y=—3久+4.

假設存在，設點P的坐標為(卜，—滓+)+4).

解法一：利用寬高公式.

如答圖L過點P作PDlly軸,交直線BC于點D.

則點D的坐標為卜,-1+4).

/。=一步+齊+4-(一齊+4)=-泮+2萬

Srnc=—PD-OB=-x8,(——+2x)=一久2+8%=—(%—4/+16.

二當x=4時,SBC的面積最大，最大面積是16.

?.0<x<8,

二存在點P,使APBC的面積最大，最大面積是16.

解法二:割補法.

如答圖2,過P點作PEJL與x軸與x軸交于點E(x,0).

Spmc-$可逆eanrc^anc~+S/mp—^aac~￡(°。+PE)XOE+2

后面同解法一類似，求出函數解析式，再利用函數的性質進行解答即可，過程略.

解法三：三角函數轉化法.

如答圖3,過P點作PE1久軸與x軸交于點E(x,O),交BC于點F(x,-1+4)作PG1BC于點G.

易證得NP=4B。為定角.

求△PBC的面積就是求PG的最大值，即轉化為求PF最大時點P的位置./"J

PF=-[/+Tx+4—(一號"+4).答圖3

再利用函數的性質進行解答即可，過程略.

解法四：平行線法.卡」p

求WBC的面積最大就是求BC邊上的高最大，設過點P與BC平行的直線的解析式為y

=—?+6,然后與y=—#+|x+4聯立得—#+|x+4=—3+6,令判別式等于0,求出/

b的值，也就是此時兩個函數有一個交點，求出該點坐標就是為APBC的面積最大時點P的位置，'\'

過程略.答圖4

(3)設點M的坐標為771,-"2+|w+4),則點N的坐標為(m，-)+4).

MN=|—^m2+jm+4—jm+4)|=|一^m2+2m|.

又?.MN=3,

/.|--m2+2m\=3.

當0<m<8時，有—工血2+2m—3=0.

4

解得=2,m2=6.

.?點P的坐標為(2,6)或(6,4).

當m<0或m>8時，有—工zu?+2m+3=0.

4

解得m3=4-2幣,％=4+2V7.

，點P的坐標為(4-2"夕-1)或(4+2V7--V7-1).

綜上所述，點M的坐標為((4-2"b-1)或(2,6)或(6,4)或((4+2V7--V7-1).

例3如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為A(1,4),與坐標軸交于B,C,D三點，且點B的坐標為(-L0).

⑴求二次函數的解析式；

(2)在二次函數圖象位于x軸上方部分有兩個動點M,N,且點N在點M的左側，過M,N作x軸的垂線交

x軸于點G,H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；

(3)當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數圖象上找到一點P,使△PNC的面積是矩形MNHG面積

的白?若存在，求出該點的橫坐標；若不存在，請說明理由.

16

(1)已知二次函數的頂點坐標，設解析式為頂點式y=a(x-1/+4,代入點B坐標求出a即可；

(2)四邊形MNHG為矩形，設直線NM為.y=以，然后分別用n表示出矩形的各邊長，相加得到周長的函數

解析式，然后利用函數的知識解答即可；

⑶由(2)可求出矩形MNHG的面積，進一步得到△PNC的面積，此時已知APNC的"水平寬"CH,然后利

用"寬高公式"轉化為求"鉛垂高"，從而問題得解.

解Q)設拋物線的解析式為y=a(x-1尸+4.

把8(—1，0)代入解析式，得4a+4=0.解得a=-l.

y=—(%—1)2+4=—x2+2x+3;

⑵?.四邊形MNHG為矩形，

.-.MN||x軸，設MG=NH=n,0<n<4,

把y=n代入y——x2+2x+3,即n=—x2+2.x+3.

x2—2x+n—3=0.

由根與系數關系，得=2,XM，=九—3.

22

???-xN)=(xM+xN)-4XM?xNf

???—%N)2=4—4(n-3)=16—4n.

...MN=J(%,一二汽尸—2A/4—n.

設矩形MNHG周長為C,

貝[JC=2(MN+MG)=2(2V4^n+n)=4V4^n+2n

令V4—n=貝!]n=4—t2,0<t<2.

**.C=-212+4t+8=—2(t—1)?+10.

-t=l時，周長有最大值，最大值為10;

(3)在(2)的條件下，當矩形周長最大時t=l,

??.V4—n=l,n=3,MN=2V4—n=2.

??點D的坐標為(0,3)〃?.此時點N與點D重合.

SMNHG=2X3=6*

927

SpNC==J.

2

又丫當y=0又0=-x+2x+3,解得Xi=-l,x2=3,

，點C的坐標為(3,0).

?.點D的坐標為(0,3),直線CD的解析式為y=-x+3,

，過點P做y軸的平行線,交直線CD于點Q.

設點P的橫坐標為m,則點P的坐標為((m，-m2+26+3)點Q的坐標為((m，-m+3).

PQ—|m2+2m+3)—(―m+3)|.

當點P在點Q的上方時，PQ=-m2+3m.

127o9

SPNC=-,PQ，0C=—m+3m=

解得m=|.

當點P在點Q的下方時，PQ=m2-3m,BPm2-3m=

4

解得_3-3V2_3+3V2(舍去).

一2一2

，點p的橫坐標為I或上尹.

精選練習

22

1.如圖，兩條拋物線為=-%+4,y2=-lx+bx+c經過A,B兩點點A在x軸負半軸上，且為拋物線y2

的最高點.丫2

(1)求拋物線y2的解析式和點B的坐標；

⑵點C是拋物線力上A,B之間的一點，過點C作x軸的垂線交yz于點D,當線段CD取得最為yz大值

2.如圖1(注：與圖2完全相同)所示，拋物線y=-之/+.+°經過B,D兩點與x軸的另一個交點為A,與

y軸相交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設拋物線的頂點為M,求四邊形ABMC的面積(請在圖1中探索)；

(3)設點Q在y軸上，點P在拋物線上.要使以點A,B,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足

條件的點P的坐標(請在圖2中探索).

3如圖,拋物線y=a/+比過點B(l，-3),對稱軸是直線.x=2,,且拋物線與x軸的正半軸交于點A.

(1)求拋物線的解析式，并根據圖象直接寫出當yW0時，自變量x的取值范圖；

(2)在第二象限內的拋物線上有一點P,當.PA1時，求△P4B的面積.

精選練習

1.解:⑴當y=o時代入V1=-X2+4得，0=-%2+4,解得x=±2.

丁點A在x軸的負半軸,

.\A(-2,0).

2

,點A是拋物線y2=-1%+bx+c的最高點，

?,-,2=一2+=-1%2

VB是兩個函數圖象的另一個交點，

%=-%2+4,

聯立

72=_1%244

——5X——5

“:藍或%=3,

解得

y=-5.

二點B的坐標為(3,-5).

???拋物線y2的解析式為％=-學-卜-徜B的坐標是(3,-5);

⑵如圖，設點。(01，一/+4)廁點

:點C是拋物線yi±A,B之間的一點，

2<m<3.

.?.CD=—m2+4—(--m2--m—

I5557

42?4,24

——m+-

55

4

當爪=一*=胡寸,CD有最大值,

2

,41,24廣

即CO=-|x+-X-+—=5.

I.525

過點B作BELCD,垂足為點E.

???點c的橫坐標為1點B的橫坐標為3,

???BE=3-

.：SRXD=^CD-BE=1x5x1=^.

2.解:⑴把B(3,0)和。(一2,一習代入拋物線的解析式，得

9

-----F3b+c=0,(b=1,

2解得c=m.

—2—2b+c=--

2

..?拋物線的解析式為y=-|x2+x+|；

⑵令x=0,得y=-|x2+x+|=|.

..?點C的坐標為((0,|).

3

令y=0,得y=--1X2+I%+,-=0,解得