2024-2025學年上海市嘉定區高三上學期第一次月考數學質量檢測試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分．其中第1～6題每題滿分4分，第7～12題每題滿分5分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果．1．已知集合，，若，則．2．已知等差數列中，，則數列的通項公式是.3．雙曲線的漸近線方程是.4．若圓錐的側面積為，高為4，則圓錐的體積為5．在的展開式中，的系數為.（用數字作答）6．x為實數，且不等式有解，則實數m的取值范圍是.7．若命題“對任意的，都有”為假命題，則實數的取值范圍為.8．已知正實數滿足,則的最小值為.9．用1～9這九個數字組成的無重復數字的四位數中，各個數位上數字和為偶數的奇數共有個10．已知不等式的解集為，則函數的單調遞增區間為.11．已知函數的表達式為，若對于任意，都存在，使得成立，則實數的取值范圍是.12．已知數列都是公差為1的等差數列，其首項分別為，且，是正整數，設則數列的前項和=.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．已知集合，，則下列結論正確的是（

）A．存在，使得B．當時，C．當時，D．對任意的，都有15．在區間上，若，則下列四個圖中，能表示函數的圖像的是（

）A．

B．

C．

D．

16．群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中.有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設是一個非空集合，“.”是上的一個代數運算，如果該運算滿足以下條件：①對任意的，有；②對任意的，有；③存在，使得對任意的，有稱為單位元；④對任意的，存在，使，稱與互為逆元.則稱關于“.”新構成一個群.則下列說法正確的有（

）A．關于數的乘法構成群B．自然數集關于數的加法構成群C．實數集關于數的乘法構成群D．關于數的加法構成群三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點，，直線與平面所成的角為.(1)求四棱錐的體積；(2)求異面直線與所成的角的大小.18．已知在中，所對的邊分別為，若且．(Ⅰ)求角A、B、C的大小；(Ⅱ)設函數，求函數的單調遞增區間，并指出它相鄰兩對稱軸間的距離．19．已知橢圓的右焦點為，直線.

(1)若到直線的距離為，求；(2)若直線與橢圓交于兩點，且的面積為，求；20．給定正整數，設集合．若對任意，，，兩數中至少有一個屬于，則稱集合具有性質．(1)分別判斷集合與是否具有性質；(2)若集合具有性質，求的值；(3)若具有性質的集合中包含6個元素，且，求集合．21．已知，，是自然對數的底數.(1)當時，求函數的極值；(2)若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；(3)當時，若滿足，求證.1．【分析】由交集定義可得答案.【詳解】因，，，則，故.故2．##【分析】設公差為d，由基本量代換列方程組，解出，即可得到通項公式.【詳解】設等差數列{an}解得：，所以.故答案為.3．【分析】直接由雙曲線的方程求解即可【詳解】因為雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為，即，故4．【分析】圓錐的半徑為r，母線長為l，高為h，則側面積為，再結合，可得的值.然后根據錐體體積公式計算即可.【詳解】設圓錐的半徑為，母線長為，高為，有，解得.故.5．40【分析】根據所給的二項式寫出通項，要求自變量的二次方的系數，只要使得指數等于2，得出式子中的系數的表示式，得到結果．【詳解】∵（2x+1）5的通項式式是C5r（2x）5﹣r＝?5r25﹣rx5﹣r當5﹣r＝2時，即r＝3時，得到含有x2的項，∴它的系數是C5322＝40故答案為40．本題考查二項式定理的應用，本題解題的關鍵是寫出二項式的通項.6．【分析】求出的最小值，只需m大于最小值即可滿足題意.【詳解】利用三角不等式，有，當時等號成立因為有解，只需即可,所以實數m的取值范圍是.故7．【分析】根據“存在，”為真命題，討論，，求解.【詳解】命題“對任意的，都有”為假命題，則“存在，”為真命題，當時，滿足；當時，滿足；當時，需，解得；綜上.故8．【分析】因為，展開利用基本不等式求解即可.【詳解】因為正實數滿足,所以,當且僅當即時等號成立,所以的最小值為.故答案為:.9．840【分析】根據題意先分類然后分步，進而結合排列、組合即可求解.【詳解】1～9這九個數字中由5個奇數和4個偶數，要使四位數滿足各個數位上數字和為偶數的奇數，則個位數字必須為奇數，前三位數字由1個奇數和2個偶數或3個奇數組成，所以，.故答案為.10．【分析】根據不等式的解集可知一元二次不等式所對應的一元二次方程的根，利用韋達定理可求出，的值，再根據復合函數求單調區間的方法，得出單調遞增區間.【詳解】解：因為不等式的解集為，所以和為方程的兩根且，所以，解得，則，令，解得，所以函數的定義域為，因為的單調遞增區間為，在定義域上單調遞增，所以的增區間為（開閉均正確）.故答案為.11．【分析】確定函數單調遞增，計算，得到，確定，解得答案.【詳解】在上單調遞增，當時，，，，，即，故是值域的子集，故，解得.故答案為.12．【分析】求出的通項公式，從而得到的通項公式，得到為首項為4，公差為1的等差數列，利用等差數列求和公式計算即可.【詳解】數列，，所以，則，，且，所以為首項為4，公差為1的等差數列，所以.故13．C【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因為函數在定義域上單調遞增，所以由推得出，故充分性成立；由推得出，故必要性成立，所以“”是“”的充要條件.故選：C14．D【分析】根據幾何含義可知A錯誤；通過求解兩直線交點可知B錯誤；分別討論和的情況，得到C錯誤；通過計算兩直線重合的情況可知D正確.【詳解】對于A，表示過定點，且斜率不為的直線，集合表示直線上所有的點，，A錯誤；對于B，當時，，，由得：，，B錯誤；對于C，當時，，滿足；當，即時，直線與平行，，解得：；綜上所述：當時，或，C錯誤；對于D，若，則且直線與重合，，方程組無解，，D正確.故選：D.15．A【分析】根據導數值與函數切線斜率的關系即可判斷.【詳解】根據導數值與切線斜率的關系可知，在區間上時，函數圖象在任意一點處的切線斜率恒大于1，則顯然BCD不合題意，對A選項，函數在處的切線斜率等于1，且在上，切線斜率不斷增大，則恒成立，故A正確.故選：A.16．D【分析】反例判斷A，B，C是否滿足④，對于D，對所有的，設，求出，依次看是否滿足要求.【詳解】A：由且，使，但，不存在，使，不正確；B：由且，都有，但，不存在，使，不正確；C：由且，使，但，不存在，使，不正確；D：對所有的，可設，則，①滿足加法結合律，即，有；②，使得，有；③，設，使，正確.故選：D.關鍵點點睛：對于D，對所有的，可設，求出.17．(1)；(2)．【分析】（1）根據直線與平面所成的角可求出，從而得出，再根據四棱錐的體積公式即可解出；（2）取中點，連接，（或其補角）即為異面直線與所成的角，解三角形即可求出．【詳解】（1）因為底面，所以直線與平面所成的角為，在中，，，所以，而，所以，因此四棱錐的體積．（2）如圖所示：取中點，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，即有，所以（或其補角）即為異面直線與所成的角．在中，，，所以，，所以，即異面直線與所成的角為．18．(Ⅰ),;(Ⅱ)單調遞增區間為.它的相鄰兩對稱軸間的距離為.【詳解】(Ⅰ)由題設及正弦定理知:,得，∴或,即或．當時,有,即,得,;當時,有,即，不符題設，∴,．(Ⅱ)由(Ⅰ)及題設知:；當時,為增函數，即的單調遞增區間為.它的相鄰兩對稱軸間的距離為.19．(1)8(2)2【分析】（1）根據到的距離為求解；（2）將直線與橢圓聯立，求得，及O到直線的距離，根據面積為求得值.【詳解】（1）因為，所以右焦點為，又因為，所以到直線的距離，解得；（2）設，由得，所以，即，且，所以，又因為O到直線的距離為，所以的面積為，解得滿足，所以；20．(1)集合不具有性質，集合具有性質(2)(3)，，或【分析】（1）根據性質的定義，即可判斷兩個集合是否滿足；（2）根據性質的定義，首先確定，再討論是否屬于集合，即可確定的取值，即可求解；（3）首先確定集合中有0，并且有正數和負數，然后根據性質討論集合中元素的關系，即可求解.【詳解】（1）集合中的，，所以集合不具有性質，集合中的任何兩個相同或不同的元素，相加或相減，兩數中至少有一個屬于集合，所以集合具有性質；（2）若集合具有性質，記，則，令，則，從而必有，不妨設，則，且，令，，則，且，且，以下分類討論：1）當時，若，此時，滿足性質；若，舍；若，無解；2）當時，則，注意且，可知無解；經檢驗符合題意，綜上；（3）首先容易知道集合中有0，有正數也有負數，不妨設，其中，，根據題意，且，從而或，1）當時，，并且，，由上可得，并且，綜上可知；2）當時，同理可得，據此，當中有包含6個元素，且時，符合條件的集合有5個，分別是，，或.關鍵點點睛：本題的關鍵是確定滿足性質的集合里面有0，再對其他元素進行討論.21．(1)極小值為0，無極大值.(2)(3)證明見解析【分析】（1）把代入函數中，并求出f′x，根據f′x的正負得到的單調性，進而求出的極值.（2）等價于與的圖象有兩個交點，求導得到函數y=gx的單調性和極值，畫出y=gx的大致圖象，數形結合求解即可.（3）求出f′x，并得函數y=fx在上單調遞減，在上單調遞增，可得則，，要證，只需證，只需證，即證，令，對?x求導證明即可.【詳解】（1）當時，，定義域為，求導可得，令，得，當時，f′x<0，函數在區間上單調遞減，當時，f′x>0，函數在區間0,+所以y=fx在處取到極小值為0，無極大值.（2）方程，當時，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個不等實根，即與的圖象有2個交點，，當或時，，在區間和