試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁滬科版上學期八級數學第十一周測試題（15.4）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．在△ABC內確定一點到三邊的距離相等，則這一點在△ABC的（）A．兩個內角的平分線的交點處 B．兩邊高線的交點處C．兩邊中線的交點處 D．兩邊的垂直平分線的交點處【答案】A【分析】根據三角形的三個內角的角平分線交于一點，這一點到三邊的距離相等，即可進行解答．【詳解】解：△ABC內確定一點到三邊的距離相等，則這一點是兩個內角平分線的交點．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形內角的角平分線的性質，熟練掌握三角形的三個內角的角平分線交于一點，這一點到三邊的距離相等是解題的關鍵．2．以下不是命題的是（）A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等 B．定理一定是真命題C．畫線段cm D．全等三角形對應角相等【答案】C【分析】利用命題的定義進行判斷即可確定正確的選項．【詳解】解：A、角平分線上的點到角兩邊的距離相等，是命題，不符合題意；B、定理一定是真命題，是命題，不符合題意；C、畫線段cm，沒有對事情作出判斷，不是命題，符合題意；D、全等三角形對應角相等，是命題，不符合題意；故選：C．【點睛】考查了命題的定義，解題的關鍵是了解“對一件事情作出判斷的句子”是命題，難度不大．3．如圖，BD平分∠ABC，BC⊥DE于點E，AB＝7，DE＝4，則S△ABD＝（）A．28 B．21 C．14 D．7【答案】C【分析】作DH⊥BA于H，根據角平分線的性質，得出DH＝DE＝4，從而可以計算S△ABD．【詳解】解：作DH⊥BA于H．∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥AB，∴DH＝DE＝4，∴S△ABD＝×7×4＝14，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．4．在中，是邊上的高，平分交于點，，，則的面積是（

）A．24 B．12 C．16 D．11【答案】B【分析】作于，根據角平分線的性質得到，根據三角形面積公式計算即可．【詳解】解：作于，平分，，，，的面積，故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解答本題的關鍵．5．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面積列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB?DE＝×10?DE＝15，解得DE＝3，∴CD＝3．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，三角形的面積，熟記性質是解題的關鍵．6．在中，，若，平分交于點，且：：，則點到線段的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的長度，根據角平分線的性質即可求出答案．【詳解】解：，：：，，，平分，，∠C=90°，，故選：B．【點睛】本題考查角平分線，解題的關鍵是求出的長度，本題屬于基礎題型．7．如圖，是的角平分線，若，則點的距離是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】過D作于E，則DE是點D到AC的距離，根據角平分線性質得出BD＝DE，代入求出即可．【詳解】解：過D作DE⊥AC于E，則DE是點D到AC的距離，∵AD是∠BAC的角平分線，，，∴BD＝DE，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面積列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB?DE＝×10?DE＝15，解得：DE＝3，∴CD＝3.故選：B.【點睛】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質，能熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解此題的關鍵．9．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，且交AD于P，如果AP＝2，則AC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據題意易得△AEP的等邊三角形，則AE＝AP＝2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性質來求EB的長度，然后在等腰△BEC中得到CE的長度，則易求AC的長度．【詳解】解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵BE是∠ABC的平分線，∴∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，∴∠AEP＝60°，BE＝EC，又AD⊥BC，∴∠CAD＝∠EAP＝60°，則∠AEP＝∠EAP＝60°，∴△AEP的等邊三角形，則AE＝AP＝2，在直角△AEB中，∠ABE＝30°，則EB＝2AE＝4，∴BE＝EC＝4，∴AC＝CE+AE＝6，故選：C．【點睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質、角平分線的性質以及等邊三角形的判定與性質，利用三角形外角性質得到∠AEB＝60°是解題的關鍵．10．如圖，在等腰直角△ABC中，＝90°，AB＝AC，BD平分交AC于點D，DE⊥BC于點E，下面結論：①AB＝EB；②AD＝DC；③；④AD＝EC，正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據角平分線的性質得到AD=ED，證明Rt△ABD≌Rt△EBD得到AB=EB，即可判斷①；根據直角三角形中斜邊大于直角邊即可判斷②；只需要證明△DEC的周長=AC+CE，再由AB=AC=BE即可判斷③；證明△DEC是等腰直角三角形即可判斷④；【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴AD=ED，又∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB=EB，故①正確；在Rt△DEC中，CD＞DE，∴CD＞AD=DE，故②錯誤；∵AB=AC，∴△DEC的周長=DE+CD+EC=AD+CD+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC，故③正確；∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，∴∠C=45°，∴∠EDC=∠C=45°，∴DE=CE=AD，故④正確；故選C．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定等等，證明Rt△ABD≌Rt△EBD是解題的關鍵．二、填空題11．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，BD＝7，則點D到AB的距離為______．【答案】3【分析】過D作DE⊥AB于E，根據角平分線性質求出DE＝CD，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過D作DE⊥AB于E，∵BC＝10，BD＝7，∴CD＝BC﹣BD＝3，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，故答案為：3．【點睛】本題考查了角平分線性質，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．12．如圖，在中，，是角平分線，若，，則的面積為______．【答案】18【分析】過點P作于點D，由角平分線的性質定理可知，再根據三角形面積公式計算即可．【詳解】如圖，過點P作于點D．∵是的平分線，，，∴，∴．故答案為：18．【點睛】本題主要考查角平分線的性質定理．正確的作出輔助線是解題關鍵．13．如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=10，BD=8，則點D到AB的距離為_____．【答案】2【分析】過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質可得DE=CD=BC-BD=10-8=2，即可求解．【詳解】解：過點D作DE⊥AB于點E．∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴CD=DE，∵BD=8，BC=10，∴DE=CD=BC-BD=10-8=2，即點D到AB的距離為2，故答案為：2．【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．14．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．＝10，DE＝2，AB＝6，則AC長是_____．【答案】4【分析】根據角平分線的性質可得DF＝DE＝2，根據建立方程即可求解．【詳解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F，∴DF＝DE＝2．又∵，AB＝6，∴10＝×6×2+×AC×2，∴AC＝4，故答案為：4【點睛】本題考查了角平分線的性質，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．三、解答題15．尺規作圖：如圖，在兩條公路和之間，要建一個加油站，使加油站到兩村莊、的距離相等，且到兩條公路的距離相等．保留作圖痕跡，不寫作圖步驟．【答案】見解析【分析】作∠AOB的平分線，再作線段MN的垂直平分線，兩線的交點P就是所求點．【詳解】解：如圖所示：點P即為所求．【點睛】此題主要考查了角平分線的性質、線段垂直平分線的性質的應用以及作法，關鍵是熟練掌握角平分線、線段垂直平分線的基本作圖方法．16．如圖，在中，是的中點，，，垂足分別是點、，．求證：平分．【答案】證明見解析【分析】根據HL可證Rt△BED≌Rt△CFD，根據全等三角形的性質可得DE＝DF，再根據角平分線的判定即可求解．【詳解】證明：∵D是BC的中點，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED與Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∴AD是△ABC的角平分線．【點睛】本題主要考查角平分線的判定：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，全等三角形的判定與性質等知識點的靈活運用，關鍵是證明Rt△BED≌Rt△CFD．17．如圖，在中，平分，，于點，點在上，．(1)求證：．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）根據角平分線的性質“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，可得點D到AB的距離＝點D到AC的距離即DE＝CD，再根據HL證明Rt△CDF≌Rt△EBD，從而得出CF＝EB；（2）設CF＝x，則AE＝12?x，再根據題意得出Rt△ACD≌Rt△AED，進而可得出結論．（1）證明：平分，，于，．在Rt△CDF與Rt△EBD中，，Rt△CDF≌Rt△EBD（HL），．（2）解：設，則，平分，，．在Rt△ACD和Rt△AED中，，Rt△ACD≌Rt△AED（HL），，即，解得，即．【點睛】本題考查的是角平分線的性質，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解答此題的關鍵．18．如圖，在中，，．(1)作的平分線交于點E，過B作的垂線，垂足為點F；(2)請寫出圖中兩對全等三角形（不添加任何字母），并選擇其中一對加以證明．【答案】(1)見解析(2)兩對全等三角形是△ACE≌△ADE和△ACE≌△CBF，證明見解析【分析】（1）根據作已知角的平分線和過已知點作已知直線的垂線的作法，即可求解；（2）根據平分，可得，可得到；再由，BF⊥CD，可得∠ACD=∠CBF，然后根據，可得∠AEC=∠AED=90°，可證得．（1）解：如圖，AE和BF即為所求；（2）解：選擇，證明：∵平分，∴，在和中，，∴；選擇，∵，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵BF⊥CD，∴∠CFB=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∴∠ACD=∠CBF，∵，∴∠AEC=∠AED=90°，∴∠AEC=∠BFC=90°，∵AC=BC，∴．【點睛】本題主要考查了尺規作圖，全等三角形的判定和性質，熟練掌握作已知角的平分線和過已知點作已知直線的垂線的作法，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．19．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．(1)求證：BE＝CF；(2)如果AB＝5，AC＝3，求BE的長．【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）連接BD、CD，先由垂直平分線性質得BD=CD，再由角平分線性質得DE=CF，然后證Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出結論；（2）證明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，則CF=AF-AC=AE-AC，又因為BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，則AB-AE=AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE長，繼而求得BE長．（1）證明：如圖，連接BD、CD，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BED與Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△AED與Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∴CF=AF-AC=AE-AC，由（1）知：BE=CF，∴AB-AE=AE-AC即5-AE=AE-3，∴AE=4，∴BE=AB-AE=5-4=1，【點睛】本題考查角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握角平分線的性質定義和線段垂直平分線的性質定理是解題的關鍵．20．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．(1)證明：BE＝DF．(2)連接EF，則AC、EF之間有何關系．【答案】(1)見解析(2)AC垂直平分EF【分析】（1）由“HL”可證Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出BE＝DF；（2）由“HL”可證Rt△ACE≌Rt△ACF，得AF＝AE，再由等腰三角形的性質即可得出結論．（1）證明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，在Rt△CDF和Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴BE＝DF；（2）解：AC垂直平分EF，理由如下：如圖，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF＝AE，∵AC平分∠BAD，∴AC垂直平分EF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的性質以及等腰三角形的性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．21．如圖，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于點H，連接CH．(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)求證：CH平分∠AHE．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE可得∠ACD＝∠BCE，再用SAS可證明△ACD≌△BCE；（2）過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，再用△ACD≌△BCE推導∠MDC=∠NEC，從而運用AAS判定△CDM≌△CEN，從而推出CM＝CN，最后用角平分線的判定定理即可得證．（1）解：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，則∠CMD=∠CNE=90°∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，即∠MDC=∠NEC在△CDM與△CEN中，，∴△CDM≌△CEN∴CM＝CN，∵CM⊥AD，CN⊥BE，CM＝CN∴CH平分∠AHE．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，掌握SAS和AAS判定三角形全等的方法和角平分的判定定理是解題的關鍵．22．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，F在AC上，BD=DF．(1)求證：CF=EB．(2)求證：AB=AF+2EB．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）通過HL證明Rt△CDF≌Rt△EBD，即可得出結論；（2）通過HL證明Rt△ACD≌Rt△AED，得AC=AE，再進行等量代換即可．（1）證明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∴DE=DC，在Rt△CDF與Rt△EBD中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF=EB；（2）證明：在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∵CF=BE，∴AB=AC+EB=AF+2EB．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質等知識，熟記角平分線的性質是解題的關鍵．23．如圖（1）~（3），已知的平分線OM上有一點P，的兩邊與射線OA、OB交于點C、D，連接CD交OP于點G，設，．(1)如圖（1），當時，試猜想PC與PD，與的數量關系（不用說明理由）；(2)如圖（2），當，時，（1）中的兩個猜想還成立嗎？請說明理由．(3)如圖（3），當時，你認為（1）中的兩個猜想是否仍然成立，若成立，請直接寫出結論；若不成立，請說明理由．【答案】(1)，(2)成立，理由見詳解(3)，【分析】（1）過P點作PE⊥OB于點E，作PF⊥OA于點F點，延長DP交OA于點N，根據角平分線的性質可得PF=PE，先證明∠EPF=∠CPD，再證明∠CPE=∠EPD，即可證明△FPC≌△EPD，則有PC=PD，∠PDC=∠PCD，則有2∠PDC=∠CPN，根據∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即問題得解；（2）解答方法同（1）；（3）解答方法同（2）．（1），，證明：過P點作PE⊥OB于點E，作PF⊥OA于點F點，延長DP交OA于點N，如圖，∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四邊形OCPD的內角和為360°，同理，四邊形OFPE的內角和為360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，結論得證；（