第2節用樣本的數字特征估計總體A級(基礎應用練)1．(2022·山東菏澤模擬)數據1，2，3，4，5，6的60%分位數為()A．3 B．3.5C．3.6 D．4答案：D解析：由于6×60%＝3.6，所以數據1，2，3，4，5，6的60%分位數是第四個數，故選D.2．(2022·太原月考)若數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均數和方差分別為()A.eq\o(x,\s\up6(－))和s2 B．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2C．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和s2 D．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2＋12s＋9答案：B解析：法一：平均數為eq\f(1,n)(2x1＋3＋2x2＋3＋…＋2xn＋3)＝eq\f(1,n)[2(x1＋x2＋…＋xn)＋3n]＝2eq\o(x,\s\up6(－))＋3；方差為eq\f(1,n){[(2x1＋3)－(2eq\o(x,\s\up6(－))＋3)]2＋[(2x2＋3)－(2eq\o(x,\s\up6(－))＋3)]2＋…＋[(2xn＋3)－(2eq\o(x,\s\up6(－))＋3)]2}＝eq\f(1,n)[4(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋4(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋4(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝4s2.法二：原數據乘以2加上3得到一組新數據，則由平均數、方差的性質可知，得到的新數據的平均數和方差分別是2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2.3．(2021·榆林模擬)為了反映各行業對倉儲物流業務需求變化的情況，以及重要商品庫存變化的動向，中國物流與采購聯合會和中儲發展股份有限公司通過聯合調查，制定了中國倉儲指數．根據2019年1月至2020年7月的調查數據得出的中國倉儲指數，繪制出如下折線圖．根據該折線圖，下列結論正確的是()A．2019年各月的倉儲指數最大值是在3月份B．2020年1月至7月的倉儲指數的中位數為55C．2020年1月與4月的倉儲指數的平均數為52D．2019年1月至4月的倉儲指數相對于2020年1月至4月，波動性更大答案：D解析：2019年各月的倉儲指數最大值是在11月份，所以A錯誤；由題圖可知，2020年1月至7月的倉儲指數的中位數約為53，所以B錯誤；2020年1月與4月的倉儲指數的平均數為eq\f(51＋55,2)＝53，所以C錯誤；由題圖可知，2019年1月至4月的倉儲指數比2020年1月至4月的倉儲指數波動更大，故選D.4．(2022·安徽模擬)已知樣本甲：x1，x2，x3，…，xn與樣本乙：y1，y2，y3，…，yn，滿足yi＝2xeq\o\al(3,i)＋1(i＝1，2，…，n)，則下列敘述一定正確的是()A．樣本乙的極差等于樣本甲的極差B．樣本乙的眾數大于樣本甲的眾數C．若某個xi為樣本甲的中位數，則yi是樣本乙的中位數D．若某個xi為樣本甲的平均數，則yi是樣本乙的平均數答案：C解析：∵yi＝2xeq\o\al(3,i)＋1，∴yi關于xi單調遞增，而甲樣本極差為xn－x1，乙樣本極差為yn－y1＝2(xeq\o\al(3,n)－xeq\o\al(3,1))＝2(xn－x1)(xeq\o\al(2,n)＋xnx1＋xeq\o\al(2,1))，兩個數據大小關系不定，∴樣本乙的極差不一定等于樣本甲的極差，A錯誤；樣本乙的眾數不一定大于樣本甲的眾數，B錯誤；若xi為樣本甲的平均數，yi不一定是樣本乙的平均數，D錯誤；若xi為樣本甲的中位數，則yi一定是樣本乙的中位數，C正確．5．已知樣本x1，x2，…，xn的平均數為x，樣本y1，y2，…，ym的平均數為y(x≠y)，若樣本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均數z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜eq\f(1,2)，則n，m(n，m∈N*)的大小關系為()A．n＝m B．n≥mC．n＜m D．n＞m答案：C解析：由題意得z＝eq\f(1,n＋m)(nx＋my)＝eq\f(n,n＋m)x＋(1－eq\f(n,n＋m))y，∴a＝eq\f(n,n＋m)，∵0＜a＜eq\f(1,2)，∴0＜eq\f(n,n＋m)＜eq\f(1,2)，又n，m∈N*，∴2n＜n＋m，∴n＜m.故選C.6．(多選題)(2022·海南一模)甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數經統計計算后填入下表：班級參加人數中位數方差平均數甲55149191135乙55151110135下列結論中，正確的是()A．甲、乙兩班學生成績的平均水平相同B．乙班優秀的人數多于甲班優秀的人數(每分鐘輸入漢字數≥150個為優秀)C．甲班的成績波動情況比乙班的成績波動大D．甲班成績的眾數小于乙班成績的眾數答案：ABC解析：甲、乙兩班成績的平均數都是135，故兩班成績的平均水平相同，∴A正確；seq\o\al(2,甲)＝191＞110＝seq\o\al(2,乙)，∴甲班成績不如乙班穩定，即甲班成績波動較大，∴C正確；甲、乙兩班人數相同，但甲班成績的中位數為149，乙班成績的中位數為151，從而易知乙班每分鐘輸入漢字數≥150個的人數要多于甲班，∴B正確；由題表看不出兩班學生成績的眾數，∴D錯誤．7．(多選題)(2022·濰坊模擬)某籃球愛好者在一次籃球訓練中，需進行五輪投籃，每輪投籃5次．統計各輪投進球的個數，獲知其前四輪投中的個數分別為2，3，4，4，則第五輪結束后，下列數字特征有可能發生的是()A．平均數為3，極差是3B．中位數是3，極差是3C．平均數為3，方差是0.8D．中位數是3，方差是0.56答案：BCD解析：2＋3＋4＋4＝13，①若平均數為3，則第五輪投中的個數為2，所以極差為4－2＝2，方差為eq\f(1,5)×[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0.8，即選項A錯誤，C正確；②若中位數為3，則第五輪投中的個數為0或1或2或3，當投中的個數為0時，極差為4，平均數為2.6，方差為eq\f(1,5)×[(0－2.6)2＋(2－2.6)2＋(3－2.6)2＋(4－2.6)2×2]＝2.24；當投中的個數為1時，極差為3，平均數為2.8，方差為eq\f(1,5)×[(1－2.8)2＋(2－2.8)2＋(3－2.8)2＋(4－2.8)2×2]＝1.36；當投中的個數為2時，極差為2，方差為0.8；當投中的個數為3時，極差為2，平均數為3.2，方差為eq\f(1,5)×[(2－3.2)2＋(3－3.2)2×2＋(4－3.2)2×2]＝0.56，即選項B和D均正確．故選B，C，D.8．已知一組數據按從小到大的順序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位數為5，則這組數據的平均數為________，方差為________．答案：5eq\f(74,3)解析：∵－1，0，4，x，7，14的中位數為5，∴eq\f(4＋x,2)＝5，∴x＝6，∴這組數據的平均數是eq\f(－1＋0＋4＋6＋7＋14,6)＝5，這組數據的方差是eq\f(1,6)×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝eq\f(74,3).9．(2022·成都月考)學校開展“書香校園”活動以來，受到同學們的廣泛關注．學校為了解全校學生課外閱讀的情況，隨機調查了部分學生在一周內借閱圖書的次數，并制成如圖不完整的統計圖表．若該組數的平均數、眾數、中位數依次為a，b，c，則a，b，c的大小關系為________．答案：a＜b＝c解析：依題意，調查人數n＝eq\f(13,0.26)＝50(人)，并有次數0次1次2次3次4次人數7人13人17人10人3人∴共統計了50人，眾數為2，中位數為2，平均數為eq\f(0×7＋13×1＋17×2＋10×3＋3×4,50)＝eq\f(89,50)＜2，∴a＜b＝c.10．(2022青島模擬)已知某省二、三、四線城市數量之比為1∶3∶6，2019年8月份調查得知該省二、三、四線所有城市房產均價為1.2萬元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產均價分別為2.4萬元/平方米，1.8萬元/平方米，0.7萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為10，8，則二線城市的房價的方差為________．答案：117.98解析：設二線城市的房價的方差為s2，由題意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(2.4－1.2)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)×[10＋(1.8－1.2)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)×[8＋(0.7－1.2)2]，解得s2＝117.98，即二線城市的房價的方差為117.98.B級(綜合創新練)11．(2022·泰安模擬)某經銷商從外地一水殖廠購進一批小龍蝦，并隨機抽取40只進行統計，按重量分類統計結果，如圖：(1)估計這批小龍蝦重量的第10百分位數與第90百分位數；(2)該經銷商將這批小龍蝦分成三個等級，如表：等級三等品二等品一等品重量/克[5，25)[25，45)[45，55]試估計這批小龍蝦劃為幾等品比較合理？解：(1)因為40×10%＝4，所以第10百分位數為第4項與第5項的平均數，在[5，15)范圍內約為eq\f(5＋15,2)＝10.因為40×90%＝36，所以第90百分位數為第36項與第37項的平均數，在[35，55]范圍內，約為eq\f(35＋55,2)＝45，所以估計這批小龍蝦重量的第10百分位數為10，第90百分位數為45.(2)由(1)知，這批小龍蝦重量集中在[10，45]范圍內，所以劃為二等品比較合理．12．(2022·濰坊市月考)某快遞網點收取快遞費用的標準：重量不超過1kg的包裹收費10元，重量超過1kg的包裹，除收費10元之外，超過1kg的部分，每超出1kg(不足1kg，按1kg計算)需要再收費5元．該公司近60天每天攬件數量的頻率分布直方圖如下圖所示(同一組數據用該區間的中點值作代表)．(1)求這60天每天包裹數量的平均數和中位數．(2)該快遞網點負責人從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為工作人員的工資和網點的利潤，剩余的作為其他費用．已知該網點有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該網點每天的利潤有多少元？解：(1)每天包裹數量的平均數為0.1×50＋0.1×150＋0.5×250＋0.2×350＋0.1×450＝260(件)，因為(0，200)的頻率為0.2，[200，300)的頻率為0.5，中位數為200＋eq\f(0.5－0.2,0.5)×100＝260(件)，所以該網點每天包裹的平均數和中位數都為260件．(2)由(1)可知平均每天的攬件數為260件，利潤為260×5－3×100＝1000(元)，所以該網點平均每天的利潤有1000元．13．(2022·吉林長春模擬)某學校對男、女學生進行有關“習慣與禮貌”的評分，記錄如下：男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，52；女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74.(1)分別計算和比較男、女生得分的平均數和方差；(2)分別計算男、女生得分的四分位數．解：男生的數據按從小到大的排序：35，38，44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94.女生的數據按從小到大的排序：51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100.(1)男生的平均得分為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,20)×(35＋38＋44＋…＋94)≈61(分)，男生的方差是seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,20)×[(35－61)2＋(38－61)2＋…＋(94－61)2]＝256.2