第15講綜合除法和余數定理（教師版）一、第15講綜合除法和余數定理（例題部分）1.求多項式除以x+2，所得的商和余式．【答案】解:先用一般的豎式除法計算所以，商式為3x-1，余數為-5．從運算中我們可以發現上述運算實際上是它們系數之間的運算，所以我們可以省去字母，將上面的除法用下面的簡便方式來表示．

商式為3x-1．，余數為-5．【解析】【分析】在除式為一次式x-a時，可以采用這種簡便的除法，稱為綜合除法．演算過程如下：(1)被除式按x的降冪排列好，依次寫出各項的系數，遇到缺項，必須用“0”補足．(2)將(-a的相反數)a寫在上述系數的左邊，彼此用豎線隔開．(3)將被除式的第一個系數作為第二行的第一個數．用它乘a，加上第二個系數，得到第二行的第二個數．再把這第二個數乘a，加上第三個系數，得到第二行的第三個數……依此類推．最后得到的數為余數，把它用線隔開，線外就是商式的系數．x的代數式常用記號f(x)或g(x)等表示，例如，用f(x)表示代數式，可記為f(x)=這時，f(1)就表示x=1時，代數式的值，即f(1)=同樣地，有,等等．f(x)可以代表x的任一個代數式．但在同一個問題中，不同的代數式要用不同的記號表示，如f(x)、g(x)、q(x)、(rx)等.采用上述記號，在除法中，我們有

①其中，f(x)表示被除式，g(x)表示除式，q(x)表示商式，r(x)表示余式，余式r(x)的次數小于除式g(z)的次數．如果g(x)是一次式x-a，那么r(x)的次數小于1，因此，r(x)只能為常數(0或非零常數).這時．余式也叫余數，記為r，即有

②在②中令x=a得f(a)=r因此，我們有以下重要定理：余數定理：多項式f(x)除以x-a所得的余數等于f(a)。如除以x+2的余數為這與我們前面用綜合除法求得的余數相同.又由②式．如果能被x-a整除，那么必有r=0．反之，如果r=0，那么能被x-a整除．因此，我們有：因式定理：如果多項式能被x-a整除，亦即有一個因式x-a，那么，反之，如果，那么x-a必為如果多項式的一個因式。2.求除以所得的商式和余數．【答案】解：用綜合除法計算如下：所以，商式為，余數為5.【解析】【分析】綜合法過程如下：(1)被除式按x的降冪排列好，依次寫出各項的系數，遇到缺項，必須用“0”補足．(2)將(-a的相反數)a寫在上述系數的左邊，彼此用豎線隔開．(3)將被除式的第一個系數作為第二行的第一個數．用它乘a，加上第二個系數，得到第二行的第二個數．再把這第二個數乘a，加上第三個系數，得到第二行的第三個數……依此類推．最后得到的數為余數，把它用線隔開，線外就是商式的系數．

由此計算即可得出答案.3.求多項式除以x-2所得的商式和余數．【答案】解：先將按降冪排列，=用綜合除法，計算如下：

所以，商式為，余數為7．【解析】【分析】說明注意先將按降冪排列，如果有缺項，應該用零補足；再根據綜合法的步驟：(1)被除式按x的降冪排列好，依次寫出各項的系數，遇到缺項，必須用“0”補足．(2)將(-a的相反數)a寫在上述系數的左邊，彼此用豎線隔開．(3)將被除式的第一個系數作為第二行的第一個數．用它乘a，加上第二個系數，得到第二行的第二個數．再把這第二個數乘a，加上第三個系數，得到第二行的第三個數……依此類推．最后得到的數為余數，把它用線隔開，線外就是商式的系數．

由此計算即可得出答案.4.用綜合除法計算【答案】解：，先用除以。所以，我們有===因此．所求的商式為；余數為9．【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系數不為1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(這時可用綜合除法)，得到f(x)=(x+)?q(x)+r；

從而f(x)=a(x+)??q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x)，余數仍為r．5.

（1）求x-1除所得的余數；（2）求2x-2除所得的余數.【答案】（1）解：由余數定理，所求的余數為：

f(1)=7×15?4×14?6×12+5=2.

∴所得余數為2.

（2）解：由例4的說明，我們知道，除以ax+b的余數和除以的余數是相同的，

所以除以2x-2的余數和除以x-1的余數相同，

∴所求的余數為．【解析】【分析】（1）余數定理：多項式f(x)除以x-a所得的余數等于f(a)，由此計算即可.

（2）如果除式是一次式，但x的系數不為1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(這時可用綜合除法)；得到f(x)=(x+)?q(x)+r．

從而f(x)=a(x+)?1a?q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x)，余數仍為r．由此計算即可.6.多項式除以x-1，x-2，所得的余數分別為3和5．求除以(x-1)(x-2)所得的余式．【答案】解：根據題意，由余數定理知：

f(1)=3，f(2)=5；

設f(x)除以(x-1)(x-2),所得商式為q(x)，余式為cx+d，(因為除式是二次的，所以余式至多是一次的)，則f(x)=(x?1)(x?2)?q(x)+(cx+d)，所以，有由①、②解得因此，所求的余式為2x+1．【解析】【分析】本題余式cx+d的系數是待定的，可以利用余數定理來定出c、d．一般地，對于不相等的常數a、b，設f(x)除以(x?a)(x?b)，所得商式為q(x)，余式為cx+d，則f(x)=(x?a)(x?b)q(x)+(cx+d)③；所以解得即余式為.7.a、b是不相等的常數．若多項式f(x)被x-a和x-b整除，證明f(x)也被(x-a)(x-b)整除．【答案】證明：∵f(x)被x-a，x-b整除，由余數定理可知：

f(a)=0，f(b)=0，

設f(x)除以(x-a)(x-b)，所得商式為q(x)，余式為cx+d，(因為除式是二次的，所以余式至多是一次的)，則f(x)=(x?a)(x?b)?q(x)+(cx+d)，

∴，

∵a、b是不相等的常數，

∴解得：c=d=0，

∴余式為cx+d=0，

即f(x)被(x-a)(x-b)整除．【解析】【分析】根據余數定理，結合題意可知f(a)=0，f(b)=0，設f(x)除以(x-a)(x-b)，所得商式為q(x)，余式為cx+d，(因為除式是二次的，所以余式至多是一次的)，則f(x)=(x?a)(x?b)?q(x)+(cx+d)，代入可得方程組，由于a、b是不相等的常數可得c=d=0，余式為cx+d=0，即得證.8.試確定a和b的值，使f(x)=2x4?3x3+ax2+5x+b被(x+1)(x-2)整除．【答案】解：∵f(x)被(x+1)(x-2)整除，

∴f(x)被x+1和x-2整除，

根據因式定理，有

f(?1)=2×(?1)4?3×(?1)3+a×(?1)2+5×(?1)+b=a+b=0，

f(2)=2×24?3×23+a×22+5×2+b=4a+b+18=0，

即，

解得：.

∴a=-6，b=6.【解析】【分析】根據因式定理，結合題意可得f(?1)=0，f(2)=0，即得到一個關于a、b的二元一次方程組，解之即可.

9.證明：a3+b3+c3?3abc有因式a+b+c．【答案】證明：用綜合除法：∵a+b+c除a3+b3+c3?3abc，余數為0，

∴a3+b3+c3?3abc有因式a+b+c，

并