第20講奇數和偶數一、第20講奇數和偶數（練習題部分）1.有一個班的學生，每人都參加了數學、語文或外語三個興趣小組中的一個.參加數學興趣小組的學生比參加語文興趣小組的學生多3人.參加語文興趣小組的學生又比參加外語興趣小組的學生多5人.參加外語興趣小組的人數是偶數.這個班的人數是奇數還是偶數?

2.求正整數中前10個奇數的和.一般地，求正整數中前n個奇數的和.

3.如圖是一條淺水河的平面圖.圖中曲線為河岸.人在河中走，下水時脫鞋，上岸時穿鞋.某人從水中的A點走到某個點B時，他脫鞋與穿鞋的次數相同.問B點是在水中還是岸上?4.七個連續奇數的和是399.求這七個數.

5.三個連續偶數的乘積是一個六位數8****2，求這三個偶數.

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6.兩人通一次電話，就認為這兩個人都打了一次電話.問全世界打電話的次數是奇數的人，人數是奇數還是偶數?

7.A、B、C、D、E五盞燈，開始時都是關的.小明順次拉動這五盞燈的開關，即從A到E拉動開關，再從A到E拉動開關……問小明拉動189次開關后，有哪幾盞燈是開的?

8.桌上放著四個杯子，杯口都朝上.每次翻動三個杯子.能否翻動若干次后，將杯口全部朝下?9.能否在下式的每個方框中，填入加號或減號，使等式成立?10.能否找到自然數a和b，使a2=2002+b2.11.有9只杯子，杯口全朝上.每次翻動其中的四只杯子.能否經過若干次這樣的翻動，使杯口全部朝下?12.如圖是一所房子的示意圖.數字表示房間號碼.每個房間與隔壁的房間有門相通.小胖要從一號房間開始不重復地走遍這九間房間，最后回到一號房間.他能做到嗎?12345678913.平面上有9個點，每三點都不在同一條直線上.想從每一點都正好引出三條直線和其余點中的任意三個相連：這種想法能實現嗎?

14.中國象棋盤上有一只馬，跳了若干步后正好回到原來的位置.問這只馬所跳的步數是奇數還是偶數?為什么?

15.已知a、b、c中有一個是2001，一個是2002，一個是2003.試證明：(a+1)(b+2)和(c+3)的乘積一定是偶數.

答案解析部分一、第20講奇數和偶數（練習題部分）1.【答案】解：∵參加外語興趣小組的人數是偶數，

則設參加外語興趣小組的人數是2n，

∵參加語文興趣小組的學生又比參加外語興趣小組的學生多5人，

∴參加語文興趣小組的學生人數為2n+5，

∵參加數學興趣小組的學生比參加語文興趣小組的學生多3人，

∴參加數學興趣小組的學生人數為2n+5+3，

∴全班總人數為：2n+2n+5+2n+5+3=6n+13，

∵6n偶數，13是奇數，

∴6n+13是奇數，

即這個班的人數是奇數.

【解析】【分析】根據題意設參加外語興趣小組的人數是2n，從而得出參加語文、數學興趣小組的學生人數為2n+5，2n+5+3，列式，計算即可得出全班人數.2.【答案】解：∵正整數中前10個奇數為1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，

∴正整數中前10個奇數和為：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19，

=（1+19）+（3+17）+（5+15）+（7+13）+（9+11），

=20×5，

=100；

又∵正整數中前10個奇數為1、3、5、7、9……2n-1，

∴正整數中前n個奇數的和為：1+3+5+……+2n-1，

=（1+2n-1）+（3+2n-3）+……+（n-1+n+1）,

=2n×

=n2.

【解析】【分析】根據條件列式，找出規律，計算即可得出答案.3.【答案】解：∵人在河中走，下水時脫鞋，上岸時穿鞋，

∴從水中到岸上再到水中，穿鞋與脫鞋次數和為2的倍數，

即穿鞋與脫鞋次數相加為偶數時，某人一定在水中；穿鞋與脫鞋次數相加為奇數時，某人一定在岸上；

∵某人從水中的A點走到某個點B時，他脫鞋與穿鞋的次數相同，

即在B點時他脫鞋與穿鞋次數和為偶數，

∴B點在水中.

【解析】【分析】根據題意可知從水中到岸上再到水中，穿鞋與脫鞋次數和為2的倍數，即穿鞋與脫鞋次數相加為偶數時，某人一定在水中；穿鞋與脫鞋次數相加為奇數時，某人一定在岸上；由于脫鞋與穿鞋的次數相同，可知在B點時他脫鞋與穿鞋次數和為偶數，故在水中.4.【答案】解：∵七個連續奇數的和是399，

∴399÷7=57，

∴中間那個奇數為57，

∴七個連續奇數依次為：51，53，55，57，59，61，63.

答：七個連續奇數分別為：51，53，55，57，59，61，63.

【解析】【分析】根據題意總和除以7可求得中間那個奇數，根據奇數的性質可求得其余奇數.5.【答案】解：三個連續偶數相乘，個位是2的只有4×6×8，

∵積大于800000，

90×90×90＝729000＜800000，

100×100×100＝1000000＞800000

∴這三個數大于90，小于100，

∴滿足條件的三個連續偶數是：94，96，98.

【解析】【分析】根據偶數性質可得個位是2的只有4×6×8，又由于積大于800000，可得這三個數大于90，小于100，從而得出答案.6.【答案】解：依題可得：通1次電話的人數是2人，

∴通n（n自然數）次電話的次數是2n人，n是自然數時，2n是偶數，

即通話總數為偶數，

∴全世界打過奇數次電話的人數是偶數．

【解析】【分析】依題可得：通1次電話的人數是2人，由此可得通話總數為偶數，根據奇偶數性質：奇數×奇數=奇數；奇數×偶數=偶數；由此即可得出答案.7.【答案】解：一盞燈的開關被拉動奇數次后，改變狀態，即開的變成關的，關的變成開的；一盞燈的開關被拉動偶數次后，不改變狀態，即開的仍為開的，關的仍為關的.因此本題的關鍵是計算各盞燈被拉次數的奇偶性.

∵189=5×37+4，

∴A、B、C、D四盞燈的開關各被拉動了38次，而E一盞燈的開關被拉動了37次；

∴A、B、C、D四盞燈不改變狀態，E一盞燈改變狀態；

∵開始時A、B、C、D、E五盞燈是關著的，

∴最后E燈是開著的.

【解析】【分析】一盞燈的開關被拉動奇數次后，改變狀態，即開的變成關的，關的變成開的.一盞燈的開關被拉動偶數次后，不改變狀態，即開的仍為開的，關的仍為關的；因此本題的關鍵是計算各盞燈被拉次數的奇偶性.8.【答案】解：將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；∵由于四個杯子全朝上，

∴這四個數的和為0，是個偶數；又∵一個杯子每翻動一次，所記的數由0變為1或由1變為0，改變了奇偶性；每一次翻轉三個杯子，因此這四個數的和的奇偶性改變了三次，從而和的奇偶性仍與原來相同；

∴不論翻動多少次，這四個數的和與原來一樣，仍為偶數；當杯子全部朝下時，這四個數的和為4，是偶數.

∴經過若干次翻轉，能使所有的杯子口都朝下.

【解析】【分析】將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；根據題意一個杯子每翻動一次，所記的數由0變為1或由1變為0，改變了奇偶性；每一次翻轉四個杯子，因此這四個數的和的奇偶性改變了三次，從而和的奇偶性仍與原來相同；起初四個杯子全朝上，和為0，是個偶數；當杯子全部朝下時，和為4，是奇數；故能.9.【答案】解：不能，理由如下：

首先由奇偶數性質，在這個式子當中，我們可以知道，左邊有5個奇數，4個偶數，

∴5個奇數的和(差）是奇數，4個偶數的和(差)是偶數，

∴奇數+偶數=奇數(奇數－偶數=奇數），

又∵右邊10是偶數，

∴不管左邊怎么相加減，都不能等于(10）偶數.【解析】【分析】在這個式子當中，我們可以知道，左邊有5個奇數，4個偶數，由奇偶數性質可知5個奇數的和(差）是奇數，4個偶數的和(差)是偶數，奇數+偶數=奇數(奇數－偶數=奇數），而右邊又是偶數，個不能.10.【答案】解：不能，理由如下：

∵a2=2002+b2，

∴a2-b2=2002，

即（a+b）（a-b）=2×1001．

①如果a、b同為奇數或同為偶數，那么（a+b）×（a-b）必定是偶數×偶數=偶數；

②如果a、b為一奇一偶，那么（a+b）×（a-b）必定是奇數×奇數=偶數．

∴上述兩種情況均與等式右邊的偶數×奇數=奇數相矛盾．

答：找不到自然數a和b，使a2=2002+b2．【解析】【分析】根據題意將原式變形為：（a+b）（a-b）=2×1001，再分情況討論：

①如果a、b同為奇數或同為偶數，則左邊必定是偶數×偶數=偶數；

②如果a、b為一奇一偶，則左邊必定是奇數×奇數=偶數；而右邊是偶數×奇數=奇數，所以奇數不可能等于偶數，故不可能.11.【答案】解：將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；∵由于9個杯子全朝上，

∴這九個數的和為0，是個偶數；又∵一個杯子每翻動一次，所記的數由0變為1或由1變為0，改變了奇偶性；每一次翻轉四個杯子，因此這九個數的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同；

∴不論翻動多少次，這四個數的和與原來一樣，仍為偶數；當杯子全部朝下時，這九個數的和為9，是奇數.

∴不論經過多少次翻轉，都不可能使所有的杯子口都朝下.

【解析】【分析】將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；根據題意一個杯子每翻動一次，所記的數由0變為1或由1變為0，改變了奇偶性；每一次翻轉四個杯子，因此這九個數的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同；起初九個杯子全朝上，和為0，是個偶數；當杯子全部朝下時，和為9，是奇數；故不可能.12.【答案】解：他不能做到；

∵小胖從一號房間出發，走法必為：奇→偶→奇→偶→……

∴奇數數字房間的數目與偶數數字房間的數目相等或者相差一才可以走遍每個房間；

又∵圖中奇數數字房間5間，偶數數字房間4間，相差1間，

∴能走遍每個房間，但是不能走遍每一個房間而不重復的回到一號房間.

【解析】【分析】說明與整數可以分為奇數與偶數兩類一樣，分成兩類.幾個連續的整數，必然是奇偶相間，而且奇數個數與偶數個數相差至多為一個.因此，從本質上說，我們還是利用奇偶性來解決問題的。13.【答案】解：這種想法不能實現，理由如下：

假設這種想法能實現，

∵每個點都能引出三條線，

∴9個點能引出的直線為：9×3=27（條）；

又∵每條線其實連接兩個點，即重復計算了一次，

∴如果能實現就會有=13.5（條），

∴這是不可能的.

【解析】【分析】假設這種想法能實現，根據題意可得出9個點能引出的直線有27條；但是每條線其實連接兩個點，即重復計算了一次，故有條直線，但是這是不可能的.14.【答案】解：半張中國象棋盤，共有5×9=45個交匯點，將棋盤上的各點按黑白相間的方式染上黑白二色，

假如四個角的點都是黑色，共有23個黑色，22個白色，

由“馬步”的行走規則，當“馬”從黑點出發，下一步只能跳到白點，以后依次是黑、白、黑、白……，要回到原出發點（黑點），經過黑白點是承兌出現的，也就是說跳的步數是2的倍數，

∴這只馬所跳的步數是偶數.

【解析】【分析】根據中國象棋的特征可知：半張中國象棋盤，共有5×9=45個交匯點，將棋盤上的各點按黑白相間的方式染上黑白二色，假如四個角的點都是黑色，則共有23個黑色，22個白色，根據“馬步”的行走規則，當“馬”從黑點出發，下一步只能跳到白點，以后依次是黑、白、黑、白……，可知跳的步數是2的倍數，即為偶數.15.【答案】證明：①當a=2001時，

∴a+1=2001+1=2002，是偶數；

∴(a+1)(b+2)(c+3)的乘積是偶數；

②當a=2002時，

∴a+1=2002+1=2003，是奇數；

但是b、c分別為2001，2003，為奇數，

∴奇數+3一定為偶數，

∴(a+