第一章解三角形§1.2應用舉例(二)1.會運用測仰角(或俯角)解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題.2.會用測方位角解決立體幾何中求高度問題.3.進一步培養學習數學、應用數學的意識．學習目標題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學思考

知識點一測量仰角(或俯角)求高度問題如圖，AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，如果能測出點C，D間的距離m和由C點，D點觀察A的仰角，怎樣求建筑物高度AB？(已知測角儀器的高是h)答案在Rt△AEC中，AE＝ACsin

α，AB＝AE＋h.問題的本質如圖，已知∠AEC為直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的長，所得結果再加上h.梳理知識點二測量方位角求高度思考

如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側遠處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.后到達B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，怎樣求此山的高度CD?答案梳理問題本質是：如圖，已知三棱錐

D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的長．題型探究命題角度1仰角例1

如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點的仰角分別為30°和45°，則A點離地面的高AB等于類型一測量仰角(或俯角)求高度問題答案解析

方法一設AB＝xm，則BC＝xm.方法二∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.(1)底部可到達，此類問題可直接構造直角三角形.(2)底部不可到達，但仍在同一與地面垂直的平面內，此類問題中兩次觀測點和所測垂線段的垂足在同一條直線上，觀測者一直向“目標物”前進.反思與感悟跟蹤訓練1

某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35°，沿傾斜角為20°的斜坡前進1000m后到達D處，又測得山頂的仰角為65°，則山的高度為_____m.(精確到1m)811答案解析

如圖，過點D作DE∥AC交BC于E，因為∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811(m).所以山的高度約為811m.命題角度2俯角例2

如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角α＝54°40′，在塔底C處測得A處的俯角β＝50°1′.已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD.(精確到1m)解答

在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.解Rt△ABD，

CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m).答山的高度約為149m.反思與感悟利用正弦、余弦定理來解決實際問題時，要從所給的實際背景中，進行加工、提煉，抓住本質，抽象出數學模型，使之轉化為解三角形問題.跟蹤訓練2

江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_____m.

設兩條船所在位置分別為A、B兩點，炮臺底部所在位置為C點，30所以AB＝30(m).答案解析類型二測量方位角求高度問題例3

如圖所示，A、B是水平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D點是點C到水平面的垂足，求山高CD.解答

由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，反思與感悟此類問題特點：底部不可到達，且涉及與地面垂直的平面，觀測者兩次觀測點所在直線不經過“目標物”，解決辦法是把目標高度轉化為地平面內某量，從而把空間問題轉化為平面內解三角形問題.跟蹤訓練3

如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是答案解析

在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，當堂訓練1.一架飛機在海拔8000m的高度飛行，在空中測出前下方海島兩側海岸俯角分別是30°和45°，則這個海島的寬度為________m.(精確到0.1m)123答案解析

5856.41232.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂的仰角為60°，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則甲、乙兩樓的高分別是________________.答案解析

1233.為測量某塔的高度，在A，B兩點進行測量的數據如圖所示，求塔的高度.解答

在△ABT中，∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m).規律與方法1.在研究三角形時，靈活根據兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁瑣，如何找到最優的