極限存在準則兩個重要極限一、極限存在準則夾逼準則1.定理18(數列極限夾逼準則)如果數列{xn}，{yn}及{zn}滿足下列條件：(1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3,…)；

一、極限存在準則證因yn→a，zn→a，故對于ε>0，正整數N1與N2，當n>N1時恒有yn－a<ε，當n>N2時，恒有zn－a<ε.取N=max{N1,N2}，則當n>N時，有yn－a<ε，zn－a<ε,

即a－ε<yn<a+ε，a－ε<zn<a+ε,

從而，當n>N時，恒有a－ε<yn≤xn≤zn<a+ε,

即xn－a<ε，所以limn→∞

xn=a.

一、極限存在準則利用定理18求極限，關鍵是構造出極限相同且易求的兩個數列yn與zn.注一、極限存在準則【例29】一、極限存在準則上述關于數列極限的存在準則可以推廣到函數極限的情形.一、極限存在準則定理19(函數極限夾逼準則)如果(1)當0<x－x0<δ(或x>M)時,有g(x)≤f(x)≤h(x)；一、極限存在準則單調有界準則2.定義13若數列{xn}滿足條件x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…，則稱數列{xn}是單調增加的；若數列{xn}滿足條件x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…，則稱數列{xn}是單調減少的.單調增加和單調減少的數列統稱為單調數列.一、極限存在準則定理20(單調有界準則)單調有界數列必有極限.

設數列{xn}單調增加，且xn≤M.從圖2-9可以看出，因為數列單調增加又不能大于M，故該數列某項以后的所有項必然集中在某數a(a≤M)的附近，即對ε>0，必然存在正整數N與數a，使當n>N時，恒有xn－a<ε，從而數列{xn}的極限存在.

圖2-9一、極限存在準則在第一節中曾證明：收斂的數列必定有界.但也指出有界的數列不一定收斂.而定理20表明，若一數列不僅有界，而且單調，則該數列一定收斂.值得注意的是，定理20中給出的單調有界的條件是數列收斂的充分條件，而不是必要條件.一、極限存在準則【例30】一、極限存在準則二、兩個重要極限數學中常常會對一些重要且有典型意義的問題進行研究并加以總結，以期通過對該問題的解決帶動一類相關問題的解決，下面介紹的重要極限就體現了這樣的一種思路，利用它們并通過函數的恒等變形與極限的運算法則就可以使得兩類常用極限的計算問題得到解決.

二、兩個重要極限1.證在圖2-10所示的單位圓中,設∠AOB=x,先假設0<x<,點A處的切線與OB的延長線相交于點D，又BC⊥OA，故

sinx=CB,x=AB,

tanx=AD.圖2-10二、兩個重要極限易見，三角形AOB的面積<扇形AOB的面積<三角形AOD的面積，所以二、兩個重要極限二、兩個重要極限【例31】二、兩個重要極限【例32】【例33】二、兩個重要極限2.證先考慮x取正整數n而趨于+∞的情形.二、兩個重要極限同樣的，二、兩個重要極限比較xn與xn+1的展開式的各項可知，除前兩項相等外，從第三項起，xn+1的各項都大于xn的對應項，而且xn+1還多了最后一個正項，因而xn+1>xn,即{xn}為單調增加數列.因為二、兩個重要極限故xn有上界.根據定理20，limn→∞

xn存在，常用字母e表示該極限值，即下面考慮x取任意正實數而趨于+∞的情形.二、兩個重要極限對于任何正實數x，總可找到正整數n，使得n≤x<n+1，當x→+∞時，有n→∞，因為二、兩個重要極限所以，由定理18得二、兩個重要極限利用復合函數的極限運算法則，若令y=1x，則第二個重要極限變為注二、兩個重要極限【例34】【例35】三、柯西極限存在準則定理21(柯西極限存在準則)數列{xn}收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數ε，存在正整數N，使得當m>N，n>N時，恒有xm－xn<ε.

證必要性.設limn→∞

xn=a，則對于ε>0，由數列極限的