高斯公式斯托克斯公式一、高斯公式平面上封閉曲線的曲線積分與其圍成的平面區域上的二重積分之間的關系可用格林公示來表示.下面要介紹的高斯公式則揭示了封閉曲面上的曲面積分與其所圍成的空間閉區域上的三重積分之間的關系.可以認為高斯公式是格林公式在三維空間中的推廣.一、高斯公式定理7設空間區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數Px,y,z，Qx,y,z，Rx,y,z在Ω上具有一階連續偏導數，則有(10-13)

這里Σ是Ω的整個邊界曲面的外側，式(10-13)稱為高斯公式.證先證明一、高斯公式設閉區域Ω在xOy面上的投影區域為Dxy.假設穿過Ω內部且平行于z軸的直線與Ω的邊界曲面Σ的交點恰好是兩個，即其邊界曲面Σ由曲面Σ1：z=z1x,y,x,y∈Dxy，Σ2：z=z2x,y,x,y∈Dxy

及以垂直于Dxy邊界的柱面Σ3組成(見圖10-14)，其中Σ1取下側，Σ2取上側，Σ3取外側，z1x,y≤z2x,y.于是按三重積分的計算方法，有圖10-14一、高斯公式一、高斯公式一、高斯公式對于一般的空間有界閉區域高斯公式均成立.若曲面Σ與平行于坐標軸的直線的交點多于兩個，則用有限個光滑的曲面將Ω分為有限個滿足條件的小閉區域來討論.注一、高斯公式【例20】一、高斯公式【例21】二、斯托克斯公式平面上封閉曲線的曲線積分與其圍成的平面區域上的二重積分之間的關系可用格林公示來表示，沿空間封閉曲面的曲面積分與其所圍成的空間閉區域上的三重積分之間的關系可用高斯公式來表示，而斯托克斯公式則建立了沿空間曲面Σ的曲面積分與沿Σ的邊界曲線Γ的曲線積分之間的聯系.在給出斯托克斯公式之前，先對有向曲面Σ的側與其邊界曲線Γ滿足右手法則規定如下：當右手除拇指外的四指依Γ的繞行方向時，拇指所指的方向與Σ上法向量的指向相同，這時稱Γ是有向曲面Σ的正向邊界曲線.二、斯托克斯公式定理8設Γ為分段光滑的空間有向閉曲線，Σ是以Γ為邊界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向與Σ的側符合右手規則，函數Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在曲面Σ(連同邊界Γ)上具有一階連續偏導數，則有式(10-14)稱為斯托克斯公式.斯托克斯公式還可寫為其中n=cosαi+cosβj+cosγk為有向曲面Σ在點(x,y,z)處的單位法向量.(10-14)二、斯托克斯公式證先證明(10-15)假定Σ與平行于z軸的直線相交不多于一點，并設Σ為曲面z=fx,y的上側，Σ的正向邊界曲線Γ在xOy面上的投影為平面有向曲線C，C所圍成的閉區域為Dxy.由第二類曲線積分的定義及格林公式,有(10-16)二、斯托克斯公式(10-17)二、斯托克斯公式如果Σ取下側，Γ也相應地改成相反的方向，那么式(10-15)兩端同時改變符號，因此式(10-15)仍成立.同樣可證將式(10-15)、式(10-18)和式(10-19)相加即得式(10-14).若曲面與平行于z軸的直線交點多于一個，則可用一些光滑曲線把Σ分成若干小塊，使每小塊能用這種形式來表示，因而這時式(10-14)也成立.(10-18)(10-19)三、空間曲線積分與路徑無關的條件在第三節中，得到了平面曲線積分與路徑無關的一些等價條件，在這里可借助于斯托克斯公式得到空間曲線與路徑無關的等價條件.三、空間曲線積分與路徑無關的條件定理9設空間區域G是一維單連通區域，函數Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在G內具有一階連續偏導數，則下列條件等價：(1)在G內處處成立.(2)對G內任一分段光滑的封閉曲線Γ，有空間曲線積分∮ΓPdx+Qdy+Rdz=0.(3)對G內任一分段光滑的曲線Γ，曲線積分∫ΓPdx+Qdy+Rdz與路徑無關，僅與起點、終點有關.(4)Pdx+Qdy+Rdz在G內成為某一函數ux,y,z的全微分,即

du=Pdx+Qdy+Rdz.證明略.三、空間曲線積分與路徑無關的條件G為空間一維單連通區域是指G內任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面.注三、空間曲線積分與路徑無關的條件當條件(4)滿足時，函數u(不計一常數之差)可用