四、二次曲面第三節一、曲面方程的概念二、旋轉曲面

三、柱面曲面及其方程第八章一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).例2.研究方程解:

配方得可見此方程表示一個球面說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為球心為一個球面,或點,或虛軌跡.定義2.一條平面曲線二、旋轉曲面

繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:建立yOz面上曲線C

繞

z

軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為當繞

z軸旋轉時,若點給定yOz

面上曲線

C:則有則有該點轉到思考：當曲線C繞y軸旋轉時，方程如何？例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yOz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方例4.

求坐標面xOz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞

x

軸旋轉繞

z

軸旋轉這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面（雙葉、單葉）.所成曲面方程為所成曲面方程為三、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在

xOy面上，表示圓C,沿圓周C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于z軸;準線為xOy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.

z軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C叫做準線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線xOz

面上的曲線l3.母線柱面,準線

xOy

面上的曲線l1.母線準線

yOz面上的曲線l2.母線四、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法、＊伸縮變形法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統稱為二次曲面.(二次項系數不全為0)1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數)2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)特別,當p=q時為繞z軸的旋轉拋物面.(2)雙葉雙曲面二者的區別:單葉雙曲面雙葉雙曲面P183.雙曲面(1)單葉雙曲面4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經x或y方向的伸縮變換得到,見P28)內容小結1.空間曲面三元方程球面旋轉曲面如,曲線繞z軸的旋轉曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y軸的直線平行于yOz