規范答題系列四

立體幾何類解答題

例

（2020?新高考卷I）（12分）如圖，四棱錐尸-ABCO的底面為正方形,

底面4BCD.設平面PAD與平面PBC的交線為I.

⑴證明：LL平面P0C;

（2）已知尸。=AZ）=1,。為/上的點，求與平面。。所成角的正弦值的

最大值.

解題思路（1）先證4?！ㄆ矫媸?C,從而得到4?！?,再由AO_LOC,AD1

PD,得到Z±DC,ILPD,結合線面垂直的判定定理，得到讓平面PDC；（2）建

立空間直角坐標系，得到P8的坐標，設。（機，0,1）,求出平面QCO的一個法向

量〃，寫出與平面QC。所成角的正弦值關于m的表達式，結合基本不等式求

解.

解⑴證明：在正方形A8CO中，ADHBC,

因為AOT平面PBC,BCu平面PBC,

所以A?！ㄆ矫鍼BC,（1分）

又因為ADu平面以。，平面%0n平面PBC=/,

所以A?！?.（2分）

因為在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是正方形，所以AO_LOC,所以LLOC,

又PO_L平面ABCO,所以AO_LPO,所以/_LPD（4分）

因為。cnpo=。，所以/j_平面POC(5分)

⑵如圖，建立空間直角坐標系。9z,

因為尸0=43=1,則有。(()，0,0),C(0,1,0),因為0,0),因0,0,1),

8(1,1,0),

設。(加,0,1),則有少C=(0,1,0),DQ=(m,0,1),P5=(l,1,-1).(6

分)

設平面QC。的法向量為〃=(x,y,z),

[DCH=0,

y=os

則即

mx+z=0,

^DQ,zi=0,

令工=1,貝ljz=-m,

所以平面QCO的一個法向量為〃=(1,0,-〃z),(8分)

nPB1+0+w

則cos<n,PB>2

—?y[3Xyjm+1

\n\\PB\

根據直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平

面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于

|1+tn\正義+2m+nf

</i,PB〉|=

V3X^'m2+13*Vm2+1

《坐義勺1+1二半,

當且僅當"2=1時取等號，（11分）

所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為坐.（12分）

踩點得分

1.由線面平行的判定定理證明AO〃平面P8C給1分.

2.由線面平行的性質定理證明AO〃/給1分.

3.由直線與平面垂直證明直線與直線垂直給2分.

4.由線面垂直的判定定理證明/JL平面POC給1分.

5.由底面AU8為矩形，/7），底面4，。力，建立空間直角坐標系，并寫出

相關點及向量的坐標給1分.

6.求平面QCD的一個法向量給2分.

7.求直線與平面所成角的正弦值的最大值，給3分.

8.作答給出結論給1分.

答題啟示

1.寫全得分條件，證明線面平行時，一定要說明平面內的直線和平面外的直

線.

2.寫明得分關鍵，利用法向量求解空間角時，要構建恰當的空間直角坐標系,

準確求解相關點的坐標，賦值法求出平面的法向量，利用公式求出直線的方向向

量與平面的法向量夾角的余弦值或兩平面法向量的夾角，從而求出要求的線面角

或二面角的三角函數值.其中二面角要根據幾何體的結構特征判斷其取值范圍.

［跟蹤訓練1

（12分）如圖所示,在幾何體ABCDE中，△入水:是等邊三角形,AE1平面ABC,

CDIIAE,ELCD=2AE=2AC.

D

⑴試在線段B。上確定點”的位置，使平面BCD并證明；

⑵求二面角E-BC-D的余弦值.

解（1）當點M為的中點時，平面8CD（1分）

證明如下：取8c的中點F,連接MF,

：.MFIICD且MF=gcD.

又AE〃CD,AE=^CD,

/.M/7//AE且M/uAE,

四邊形AEMF為平行四邊形，

'EMIIAF.Q分）

又AE_L平面ABC,CDIIAE,8J__平面ABC,

又COu平面BCD,平面3co_L平面ABC,（3分）

?「△ABC是等邊三角形，「.A尸18C,

又平面ABCA平面BCD=8C,「.Abi平面BCD,（5分）

」.EMI平面8CD（6分）

⑵由⑴知，M,FB,尸M兩兩互相垂直，以尸為原點，FA,FB,尸M所在的

直線分別為工軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設4E=AC=2,貝ljCD=4,

.,.C(0,-1,0),B(0,1,0),E巾,0,2),

??.CE=(?1,2),BE=(6-1,2).(7分)

設平面E8C的法向量為界=(x,y,z),

?CE=0,小工+>+2z=0,

則，即1.解得y=0,

—?yj3x-y+2z=0,

n-BE=0,

32

令

則

X=z=--=仇

2_27,(9分)

由(1)知，平面8CO的一個法向量為次二(1,0,0