…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2024年仁愛科普版高三數學上冊階段測試試卷542考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、從一堆產品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數和次品件數．則下列事件是互斥事件但不是對立事件的是（）A.恰好有1件次品和恰好有2件次品B.至少有1件次品和全是次品C.至少有1件正品和至少有1件次品D.至少有1件次品和全是正品2、若集合A={y|y=2x}，B={x|x2-2x-3＞0，x∈R}，那么A∩B=（）A.（0，3]B.[-1，3]C.（3，+∞）D.（0，-1）∪（3，+∞）3、已知θ為第一象限角，設向量=（sinθ，），向量=（cosθ，3），且∥，則θ一定為（）A.B.+2kπ（k∈Z）C.+2kπ（k∈Z）D.+kπ（k∈Z）4、已知tanα=3，則=（）A.1B.2C.-1D.-25、下列四個個命題，其中正確的命題是（）A.函數y=cotx在其定義域內是減函數B.函數y=|sin（2x+）|的最小正周期是πC.函數y=cosx在每個區間[]（k∈z）上是增函數D.函數y=tan（x+）是奇函數6、己知函數f（x+1）是偶函數，當x∈（1，+∞）時，函數f（x）單調遞減，設a=f（-），b=f（3），c=f（0），則a，b，c的大小關系為（）A.b＜a＜cB.c＜b＜dC.b＜c＜aD.a＜b＜c7、取一根長度為5米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，則剪得兩段的長度都不小于1米，且以剪得的兩段繩為兩邊的矩形的面積都不大于6平方米的概率為（）A.B.C.D.8、拋物線頂點在原點，焦點在y軸上，其上一點P（m，1）到焦點距離為5，則拋物線方程為（）A.x2=8yB.x2=-8yC.x2=16yD.x2=-16y9、某人上午7：00乘汽車以勻速υ1千米/時（30≤υ1≤100）從A地出發到距300公里的B地，在B地不作停留，然后騎摩托車以勻速υ2千米/時（4≤υ2≤20）從B地出發到距50公里的C地，計劃在當天16：00至21：00到達C地．設乘汽車、摩托車行駛的時間分別是x、y小時，則在xOy坐標系中，滿足上述條件的x，y的范圍用陰影部分表正確的是（）A.B.C.D.評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)10、在△ABC中，=，=，D是BC的中點，點E在AB上，=，則=____．11、一個正三棱錐的底面邊長是6，高是，那么這個正三棱錐的體積為____．12、已知f（x）的圖象關于y軸對稱，且x＞0時，f（x）=-x3+1，則x＜0時，f（x）=____．13、以下四個命題：

①在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB，則B=；

②設，是兩個非零向量且，則存在實數λ，使得；

③方程sinx-x=0在實數范圍內的解有且僅有一個；

④a，b∈R且a3-3b＞b3-3a，則a＞b；

其中正確的是____．14、已知z∈C，且（z+2）（1+i）=2i，則z=____．15、設圓x2+y2=1的一條切線與x軸、y軸分別交于點A、B，則線段AB長度的最小值為____．16、【題文】對a,bR,記函數f（x）＝的單調遞減區間為________評卷人得分三、判斷題(共7題，共14分)17、函數y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數．____（判斷對錯）18、已知函數f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標是（1，5）____．（判斷對錯）19、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．20、函數y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數．____（判斷對錯）21、已知函數f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標是（1，5）____．（判斷對錯）22、空集沒有子集．____．23、任一集合必有兩個或兩個以上子集．____．評卷人得分四、計算題(共4題，共32分)24、已知i為虛數單位，則復數z=（x-3）+（x+3）i（x∈R）對應的點不可能位于第____象限．25、設a∈R，f（x）=-a是奇函數，則a的值為____．26、若曲線f（x）=x2（x＞0）在點（a，f（a））處的切線與兩條坐標軸圍成的三角形的面積為54，則a=____．27、已知定義在R上的函數y=f（x）滿足條件，且f（1）=2014，則f（2014）=____．評卷人得分五、作圖題(共4題，共20分)28、利用平移變換和對稱變換作出函數y=-sinx-2的簡圖．29、給出如下一個算法：

第一步：輸入x；

第二步：若x＞0，則y=2x2-1；否則執行第三步；

第三步：若x=0；則y=1，否則y=2|x|；

第四步：輸出y．

（1）畫出該算法的程序框圖；

（2）若輸出y的值為1，求輸入實數x的所有可能的取值．30、已知函數f（x）=2-x2，g（x）=x．若f（x）*g（x）=min{f（x），g（x）}，那么f（x）*g（x）的最大值是____．（注意：min表示最小值）31、現有四個函數：①y=x?sinx，②y=x?cosx，③y=x?|cosx|，④y=x?2x的部分圖象如圖，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應的函數序號正確的排列是____

評卷人得分六、綜合題(共4題，共40分)32、已知數列{an}滿足a0=0，an=（n∈N*）．

（Ⅰ）求證：0≤an＜an+1＜1（n∈N）；

（Ⅱ）在數列{an}中任意取定一項ak，構造數列{bn}，滿足b0=ak，bn=（n∈N*），問：數列{bn}是有窮數列還是無窮數列？并證明你的結論；

（Ⅲ）令cn=1-an（n∈N），求證：c+c++c＜1+（n∈N*）．33、已知在△ABC中，若AB⊥AC、AD⊥BC于D，則=+；那么在四面體ABCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AE⊥平面BCD，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想？寫出猜想并給予證明．

34、如圖，在三棱柱ABC-1B1C1中，已知AB⊥側面BB1CC1，BC=，AB=BB1=2，∠BCC1=，點E為棱BB1的中點。

（Ⅰ）求證：C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）求點E到平面ACC1的距離．35、已知函數；g（x）=alnx+a．

（1）a=1時；求F（x）=f（x）-g（x）的單調區間；

（2）若x＞1時，函數y=f（x）的圖象總在函數y=g（x）的圖象的上方，求實數a的取值范圍．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、A【分析】【分析】利用對立事件、互斥事件的定義求解．【解析】【解答】解：∵從一堆產品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件；觀察正品件數和次品件數；

∴在A中；恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同時發生，但能同時不發生；

∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是對立事件；故A成立；

在B中；至少有1件次品和全是次品，能同時發生；

∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件；故B不成立；

在C中；至少有1件正品和至少有1件次品能同時發生；

∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件；故C不成立；

在D中；至少有1件次品和全是正品不能同時發生，也不能同時不發生；

∴至少有1件次品和全是正品是對立事件；故D不成立．

故選：A．2、C【分析】【分析】根據指數函數的性質求出函數的值域化簡集合A，求解一元二次不等式化簡集合B，然后直接利用交集運算求解．【解析】【解答】解：集合A={y|y=2x}=（0，+∞），B={x|x2-2x-3＞0；x∈R}=（-∞，-1）∪（3，+∞）；

∴A∩B=（3；+∞）

故選C．3、B【分析】【分析】根據兩個向量共線的性質，求得tanθ的值，即可求解θ的值．【解析】【解答】解：∵向量=（sinθ，），向量=（cosθ，3），且∥，3sinθ=cosθ；

化簡可得tanθ=．

∴θ=+2kπ（k∈Z）

故選：B．4、B【分析】【分析】原式分子分母除以cosα，利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，將tanα的值代入計算即可求出值．【解析】【解答】解：∵tanα=3；

∴原式===2．

故選：B．5、C【分析】【分析】利用三角函數的性格性質進行判斷．【解析】【解答】解：A．函數y=cotx在其定義域內不單調性；所以A錯誤．

B．函數y=sin（2x+）的最小正周期是π，所以y=|sin（2x+）|的最小正周期是；所以B錯誤．

C．函數y=cosx在每個區間[]（k∈z）上是增函數；所以C正確．

D．因為函數y=tan（x+）是非奇非偶函數；所以D錯誤．

故選C．6、A【分析】【分析】先根據函數f（x+1）是偶函數，當x∈（1，+∞）時，函數f（x）單調遞減，確定當x∈（-∞，1）時，函數f（x）單調遞增，再結合函數的單調性，即可得到結論．【解析】【解答】解：∵函數f（x+1）是偶函數；當x∈（1，+∞）時，函數f（x）單調遞減；

∴當x∈（-∞；1）時，函數f（x）單調遞增；

∵b=f（3）=f（-1），-1＜-＜0＜1

∴f（-1）＜f（）＜f（0）

∴f（3）＜f（）＜f（0）

∴b＜a＜c

故選A．7、C【分析】【分析】本題考查的知識點是幾何概型的意義，設其中一段長為xm，關鍵是要找出剪得兩段的長度都不小于1米，且以剪得的兩段繩為兩邊的矩形的面積都不大于6平方米時，x點對應的圖形的長度，并將其代入幾何概型的計算公式，進行求解．【解析】【解答】解：記“剪得兩段的長度都不小于1米；且以剪得的兩段繩為兩邊的矩形的面積都不大于6平方米”為事件A；

∵繩子的總長為5米；設剪得的一段長為x米，則有：

；解得2≤x≤3；

∴如圖所示；只能在中間2米-3米的部分剪斷，才能使剪出的兩段符合條件；

根據幾何概型的概率公式，可得事件A發生的概率P（A）=

故選C．8、C【分析】【分析】先設拋物線方程，利用點P（m，1）到焦點距離為5，轉化為點到準線的距離為5．【解析】【解答】解：設拋物線方程為x2=2py（p＞0）；

由題意得，∴2p=16，∴拋物線方程為x2=16y；

故選C．9、B【分析】【分析】要作出滿足條件的x，y的范圍，要先分析題意，找出相關量之間的不等關系，即x，y滿足的約束條件，由約束條件畫出可行域．【解析】【解答】解：依題意得υ2=，υ1=，4≤υ2≤20，30≤υ1≤100．

∴3≤x≤10，≤y≤．①

由于乘汽車；摩托艇所需的時間和x+y應在9至14個小時之間；即9≤x+y≤14．②

因此；滿足①②的點（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界）．

故選B．二、填空題(共7題，共14分)10、略

【分析】【分析】首先，根據=，=，然后，根據向量的運算求解．【解析】【解答】解：∵=；

=

==（）；

∵=+

=+-

=-+；

故答案為：-+，11、略

【分析】【分析】運用體積公式求解即可．【解析】【解答】解：∵一個正三棱錐的底面邊長是6，高是；

∴這個正三棱錐的體積為×62×=3×=9；

故答案為：912、略

【分析】【分析】利用偶函數的性質即可得出．【解析】【解答】解：∵f（x）的圖象關于y軸對稱；

∴函數f（x）是偶函數．

設x＜0時；則-x＞0．

f（x）=f（-x）=-（-x）3+1=x3+1．

故答案為：x3+1．13、略

【分析】【分析】分別根據條件判別各命題的真假即可．①利用正弦定理化簡求角．②由得出向量的夾角，根據夾角判斷是否共線．③構造函數y=sinx-x，利用導數判斷函數是單調的即可．④利用作差法進行判斷．【解析】【解答】解：①在三角形中，根據正弦定理可知bsinA=acosB等價為sinAsinB=sinAcosB，所以sinB=cosB，即B=；所以正確．

②由，得|cos＜＞|=1，所以，的夾角為0或π，所以，共線，所以存在實數λ，使得；所以正確．

③設y=sinx-x；則y'=cosx-1≤0，所以函數y=sinx-x在定義域上單調遞減．因為f（0）=0，所以方程sinx-x=0在實數范圍內的解有且僅有一個，所以正確．

④因為a3-b3+3a-3b=，所以若a3-3b＞b3-3a，則必有a＞b成立；所以正確．

故答案為：①②③④．14、略

【分析】

設z=a+bi（a，b是實數）

∵（z+2）（1+i）=2i；

∴（a+2+bi）（1+i）=2i；

∴a-b+2+（a+b+2）i=2i

∴a-b+2=0；

a+b+2=2

∴a=-1，b=1；

∴z=-1+i；

故答案為：-1+i

【解析】【答案】設出要求的復數z，把設出的結果代入題目條件所給的式子中，根據復數乘法運算，整理成復數的標準形式，使得整理的結果同所給的2i進行比較，根據復數相等的條件寫出關于a和b的方程；解方程即可．

15、略

【分析】

設切點為D，則連接OD知OD⊥AB；

從而得到

∴線段AB=

∵sin2α∈（0.1]

∴線段AB長度的最小值為2．

故答案為：2

【解析】【答案】如圖的所示：AB=BD+AD，所以要分別求解，先設切點為D，連接OD，有OD⊥AB，從而建立線段AB長的模型為：AB=再由三角函數的最值求解．

16、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(開區間也正確)三、判斷題(共7題，共14分)17、×【分析】【分析】根據奇函數的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數y=sinx不是奇函數；

故答案為：×18、√【分析】【分析】已知函數f（x）=ax-1+4，根據指數函數的性質，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標為（1；5）；

故答案為：√19、√【分析】【分析】根據子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．20、×【分析】【分析】根據奇函數的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數y=sinx不是奇函數；

故答案為：×21、√【分析】【分析】已知函數f（x）=ax-1+4，根據指數函數的性質，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標為（1；5）；

故答案為：√22、×【分析】【分析】根據空集的性質，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根據題意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；則原命題錯誤；

故答案為：×．23、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個子集，故任一集合必有兩個或兩個以上子集錯誤．【解析】【解答】解：?表示不含任何元素；?只有本身一個子集，故錯誤．

故答案為：×．四、計算題(共4題，共32分)24、略

【分析】【分析】分別由復數的實部和虛部大于0（小于0）求解x的取值范圍得答案．【解析】【解答】解：∵z=（x-3）+（x+3）i；

∴當；即x＞3時，復數z=（x-3）+（x+3）i對應的點位于第一象限；

當時；x∈?，復數z=（x-3）+（x+3）i對應的點不可能位于第四象限；

當；即-3＜x＜3時，復數z=（x-3）+（x+3）i對應的點位于第二象限；

當；即x＜-3時，復數z=（x-3）+（x+3）i對應的點位于第三象限．

∴復數z=（x-3）+（x+3）i對應的點不可能位于第四象限．

故答案為：四．25、略

【分析】【分析】求出函數的定義域，再由奇函數的定義可得，f（-x）=-f（x），化簡整理即可求得a=-1．【解析】【解答】解：由2x-1≠0；可得x≠0；

函數的定義域為{x|x≠0}．

由f（x）為奇函數；則f（-x）=-f（x）；

即-a=-+a；

2a=+=-=-2；

解得；a=-1．

故答案為：-1．26、略

【分析】【分析】利用導數求出切線的斜率，可切線方程，根據切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為54，建立等式，解之即可求出a的值．【解析】【解答】解：∵y=f（x）=x2；

∴y′=2x；

∴切線的斜率為2a

∴曲線y=x2在點（a，a2）（a＞0）處的切線方程為y-a2=2a（x-a）；

即y=2ax-a2；

令x=0得y=-a2，令y=0得x=

∴切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為×a2×=54

解得a=．

故答案為：．27、略

【分析】【分析】由已知可得，f（x+3）=f（x），求出函數f（x）的一個周期，從而利用周期性可求得f（2014）的值．【解析】【解答】解：由已知可得，；

∴f（x+3）=f（（x+）+）=-f（x+）=-[-f（x）]=f（x）．

∴3是函數f（x）的一個周期．

∴f（2014）=f（671×3+1）=f（1）；

又f（1）=2014；

∴f（2014）=2014．

故答案為：2014．五、作圖題(共4題，共20分)28、略

【分析】【分析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可得解．【解析】【解答】解：如圖：

首先由五點作圖法可作出y=sinx的簡圖；

然后將圖象利用x軸對稱可得y=-sinx的簡圖；

再將y=-sinx的簡圖沿著y軸向下平移2個單位即可得到函數y=-sinx-2的簡圖．

29、略

【分析】【分析】（1）根據算法畫出程序框圖即可．

（2）根據算法有：由y=2x2-1=1，可得x=1或-1（舍去）．由y=2|x|=1可得x=-或x=（舍去），由x=0可得y=1，從而得解．【解析】【解答】解：（1）程序框圖如下：

5分。

（2）當x＞0時，由y=2x2-1=1；可得x=1或-1（舍去）．

當x＜0時，由y=2|x|=1可得x=-或x=（舍去）；

當x=0時；由x=0可得y=1．

所以輸入實數x的所有可能的取值為1，-，0．10分30、1【分析】【分析】在同一個坐標系中作出兩函數的圖象，橫坐標一樣時取函數值較小的那一個，如圖，由圖象可以看出，最大值是1【解析】【解答】解：由題意作出符合條件的函數圖象；如圖

故有f（x）*g（x）=

由圖象知；其最大值為1．

故答案為1．31、①④②③【分析】【分析】依據函數的性質與圖象的圖象對應來確定函數與圖象之間的對應關系，對函數的解析式研究發現，四個函數中有一個是偶函數，有兩個是奇函數，還有一個是指數型遞增較快的函數，由這些特征接合圖象上的某些特殊點判斷即可．【解析】【解答】解：研究發現①是一個偶函數；其圖象關于y軸對稱，故它對應第一個圖象。

②③都是奇函數；但②在y軸的右側圖象在x軸上方與下方都存在，而③在y軸右側圖象只存在于x軸上方，故②對應第三個圖象，③對應第四個圖象，④與第二個圖象對應，易判斷．

故按照從左到右與圖象對應的函數序號①④②③

故答案為：①④②③六、綜合題(共4題，共40分)32、略

【分析】【分析】（I）運用數學歸納法推理論證；

（II）根據遞推關系式得出bn==2-，（n∈N*），an-1=2-，判斷得出b1=═2-=ak-1，bk=2-=2=0；可以解決問題．

（III）cn=推證∴（）=放縮得出（）＜列出和即可證明．【解析】【解答】證明（I）（1）當n=0時，a1=，0≤a0＜a1＜1；

（2）假設n=k（k≥0，k∈N）時，ak＜ak+1＜1；

則n=k+1時，令f（x）=；f（x）在（0，1）上單調遞增；

∴f（ai）＜f（ai+1）＜f（1），即ak+1＜ak+2＜1；

∴n=k+1時命題成立；

綜上原命題成立；

（II）∵bn==2-，（n∈N*），an-1=2-

∴b1=═2-=ak-1，bk=2-=2=0；

∴數列{bn}沒有第k+1項及后繼項，即數列{bn}是有窮數列．

（III）∵an=（n∈N*）．∴=1；

∴cn=

∴（）==（）＜（）=

∴c+c++c＜1-++=1＜1+（n∈N*）．33、略

【分析】【分析】利用平面中的射影定理證明；將平面中的三角形類比成空間的三棱錐，三角形的兩邊垂直類比成三棱錐的三棱垂直，得到類比性質通過作輔助線將空間的證明問題轉化為三角形中的性質．【解析】【解答】解：類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：在四面體ABCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AE⊥平面BCD，則=++．

如圖；連接BE交CD于F，連接AF．

∵AB⊥AC；AB⊥AD

∴AB⊥平面ACD．

而AF?平面ACD；∴AB⊥AF．

在Rt△ABF中；AE⊥BF；

∴=+．

在Rt△ACD中；AF⊥CD；

∴=+．

∴=++，故猜想正確34、