福建省南平市第七中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知i為虛數(shù)單位，，若是純虛數(shù)，則的值為A．-1或1 B．1 C．-1 D．3參考答案：C2.已知點(diǎn)P（x，y）為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則3x+4y的最小值為（）A．5 B．1 C．0 D．﹣5參考答案：D【考點(diǎn)】圓方程的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；規(guī)律型；方程思想；直線(xiàn)與圓．【分析】利用三角變換化簡(jiǎn)所求表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求出最小值．【解答】解：點(diǎn)P（x，y）為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，令x=cosα，y=sinα，3x+4y=3cosα+4sinα=5（cosα+sinα）=5sin（α+θ），其中tanθ=．5sin（α+θ）≥﹣5．可得3x+4y的最小值為：﹣5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．3.設(shè)a、b、c為非零實(shí)數(shù)，且，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】取，計(jì)算知錯(cuò)誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計(jì)算知錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.4.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，的值介于0到之間的概率為

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略5.若函數(shù)f（x）=x3+f′（1）x2﹣f′（2）x+3，則f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線(xiàn)的傾斜角為(

)A． B． C． D．π參考答案：D【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可知函數(shù)圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)的斜率值即為其點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，再根據(jù)k=tanα，結(jié)合正切函數(shù)的圖象求出傾斜角α的值．【解答】解析：由題意得：f′（x）=x2+f′（1）x﹣f′（2），令x=0，得f′（0）=﹣f′（2），令x=1，得f′（1）=1+f′（1）﹣f′（2），∴f′（2）=1，∴f′（0）=﹣1，即f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線(xiàn)的斜率為﹣1，∴傾斜角為π．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用正切函數(shù)的圖象、直線(xiàn)的傾斜角等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．6.已知函數(shù)，記（∈N*），若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則的取值范圍是A．<

B．≥

C．>

D．≤參考答案：C略7.在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中，設(shè)=，=，=，則?﹣?+?=(

)A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專(zhuān)題】平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量數(shù)量積定義即可得出．【解答】解：如圖所示，==﹣1×1×cos60°=﹣，同理可得：=﹣=，∴?﹣?+?=﹣．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積定義的應(yīng)用、向量的夾角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8.已知直線(xiàn)和直線(xiàn)，則下述關(guān)于直線(xiàn)關(guān)系的判斷正確的是（

）A.通過(guò)平移可以重合

B.不可能垂直

C.可能與軸圍成等腰直角三角形

D.通過(guò)繞上某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以重合參考答案：D試題分析：直線(xiàn)的斜率;直線(xiàn)的斜率.(1)因?yàn)椴怀闪?所以直線(xiàn)不可能平行,即通過(guò)平移也不可能重合,故A不正確;(2)當(dāng)時(shí),,此時(shí).故B不正確;(3)當(dāng)時(shí),此時(shí).直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為.直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為.解得直線(xiàn)的交點(diǎn).,.當(dāng)時(shí)直線(xiàn)均過(guò)原點(diǎn),與軸構(gòu)不成三角形.當(dāng)時(shí),,即軸構(gòu)成的直角三角形兩直角邊不相等;(4)因?yàn)椴怀闪?即,則兩直線(xiàn)必相交.則繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)兩直線(xiàn)可以重合.故D正確.考點(diǎn)：1直線(xiàn)的斜率;2兩直線(xiàn)平行垂直于斜率的關(guān)系.9.在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)（，）有n條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最小弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)，最大弦長(zhǎng)為，若公差為d∈[，]，那么n的取值集合為A.{4,5,6,7}

B.{4,5,6}

C.{3,4,5,6}

D.{3.4.5,6,7}參考答案：A圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑，則最大的弦為直徑，即，當(dāng)圓心到弦的距離為時(shí)，即點(diǎn)（，）為垂足時(shí)，弦長(zhǎng)最小為4，即，所以由得，，因?yàn)椋裕矗裕矗xA.10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，已知，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．，

B．，

C.，

D．，參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a是從集合{1，2，3，4}中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，b是從集合{1，2，3}中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)基本事件（a，b）．記“在這些基本事件中，滿(mǎn)足logba≥1為事件A，則A發(fā)生的概率是

．參考答案：【考點(diǎn)】等可能事件的概率．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】先求出基本事件的總數(shù)，然后例舉出滿(mǎn)足logba≥1的基本事件，最后根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：由已知得基本事件（a，b）共有4×3=12（個(gè)）滿(mǎn)足logba≥1，即a≥b＞1的基本事件有（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，2）共5個(gè)，故．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等可能事件的概率，以及古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．12.設(shè)、，且，若定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)是奇函數(shù)，則的取值范圍是________________．參考答案：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，所以，，即，由得，所以，所以，所以，即，所以的取值范圍是。13.定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿(mǎn)足f（x0）=，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)．例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函數(shù)”，0就是它的均值點(diǎn)．給出以下命題：①函數(shù)f（x）=cosx﹣1是[﹣2π，2π]上的“平均值函數(shù)”；②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，則它的均值點(diǎn)x0≥；③若函數(shù)f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈（0，2）；④若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，則lnx0＜．其中的真命題有

．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）參考答案：①③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專(zhuān)題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】直接利用定義判斷①的正誤；利用反例判斷②的正誤；利用定義推出m的范圍判斷③的正誤；利用分析法直接證明結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可證明④的正誤．【解答】解：①容易證明正確．函數(shù)f（x）=cosx﹣1是[﹣2π，2π]上的“平均值函數(shù)”；﹣1就是它的均值點(diǎn)．②不正確．反例：f（x）=x在區(qū)間[0，6]上．③正確．由定義：得，又x0∈（﹣1，1）所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈（0，2）．④正確．理由如下：由題知．要證明，即證明：，令，原式等價(jià)于．令，則，所以得證．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及分析法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．14.《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有圓窖周五丈四尺，深一丈八尺，問(wèn)受粟幾何？”其意思為：“有圓柱形容器，底面圓周長(zhǎng)五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圓周率π=3），則該圓柱形容器能放米斛．參考答案：2700【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】由底面圓周長(zhǎng)五丈四尺求出圓柱底面半徑，根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的體積，除以1.62得答案．【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則2πr=54，r=9，故米堆的體積為π×92×18=4374立方尺，∵1斛米的體積約為1.62立方尺，∴4374÷1.62≈2700斛，故答案為2700．15.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______;參考答案：216.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動(dòng)（如圖所示），若，其中λ，μ∈R．則2λ﹣μ的取值范圍是__________．參考答案：[﹣1，1]考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專(zhuān)題：綜合題；平面向量及應(yīng)用．分析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用參數(shù)進(jìn)行表示，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，即可得出結(jié)論．解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范圍是[﹣1，1]．故答案為：[﹣1，1]．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確利用坐標(biāo)系是關(guān)鍵．17.已知的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為32，各項(xiàng)系數(shù)和為243，則m=

．參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（08年大連24中）（12分）

如圖，已知直線(xiàn)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線(xiàn)上的射影依次為點(diǎn)D，K，E.

（1）若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；

（2）對(duì)于（1）中的橢圓C，若直線(xiàn)L交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，求的值；

（3）連接AE，BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線(xiàn)AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由.

參考答案：解析:（1）易知

…………2分

（2）

設(shè)

…………4分

又由

同理

……6分

（3）

先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線(xiàn)L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱(chēng)性知，AE與BD相交FK中點(diǎn)N，且

猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)……8分

證明：設(shè)

當(dāng)m變化時(shí)首先AE過(guò)定點(diǎn)N

A、N、E三點(diǎn)共線(xiàn)

同理可得B、N、D三點(diǎn)共線(xiàn)

∴AE與BD相交于定點(diǎn)……12分19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求證：時(shí)，恒成立；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間．參考答案：（Ⅰ）時(shí)，，

，令，解得：當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增。∴所以，，．

……5分（Ⅱ）的定義域?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得：ⅰ）當(dāng)時(shí)，，令，解得：令，解得：或此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；ⅱ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上，時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)增區(qū)間。

………………13分略20.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)．（I）求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線(xiàn)x=2與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，P點(diǎn)位于第一象限，A，B是橢圓上位于直線(xiàn)x=2兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．（i）若直線(xiàn)AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；（ii）當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足∠APQ=∠BPQ，問(wèn)直線(xiàn)AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題．分析：（I）設(shè)橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），由條件利用橢圓的性質(zhì)求得b和a的值，可得橢圓C的方程．（Ⅱ）（i）設(shè)AB的方程為y=x+t，代入橢圓C的方程化簡(jiǎn)，由△＞0，求得t的范圍，再利用利用韋達(dá)定理可得x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐標(biāo)，根據(jù)四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ=?PQ?|x1﹣x2|，計(jì)算求得結(jié)果．（ii）當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程為y﹣1=k（x﹣2），把它代入橢圓C的方程化簡(jiǎn)求得x2+2=．再把直線(xiàn)PB的方程橢圓C的方程化簡(jiǎn)求得x2+2的值，可得x1+x2以及x1﹣x2的值，從而求得AB的斜率K的值．解答：解：設(shè)橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)（0，），∴b=．再根據(jù)離心率===，求得a=2，∴橢圓C的方程為+=1．（Ⅱ）（i）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程為y=x+t，代入橢圓C的方程化簡(jiǎn)可得x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韋達(dá)定理可得x1+x2=﹣2t，x1+x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ=?PQ?|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故當(dāng)t=0時(shí)，四邊形APBQ的面積S取得最小值為4．（ii）當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)，PA、PB的斜率之和等于零，設(shè)PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，PA的方程為