專題離散型隨機變量及其分布列(三)課后練習主講老師：王春輝數學高級老師如圖所示是某學校一名籃球運動員在五場競賽中所得分數的莖葉圖，則該運動員在這五場競賽中得分的方差為_________.(注：方差，其中為x1，x2，…，xn的平均數)某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優質品，現用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：A配方的頻數分布表指標值分組頻數B配方的頻數分布表指標值分組頻數(Ⅰ)分別估量用A配方，B配方生產的產品的優質品率；(Ⅱ)已知用B配方生產的一件產品的利潤y(單位：元)與其質量指標值t的關系式為從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X(單位：元)，求X的分布列及數學期望.(以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率)某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產品都符合相應的執行標準.(Ⅰ)已知甲廠產品的等級系數X1的概率分布列如下所示：5678p0.4ab0.1且X1的數字期望EX1=6，求a，b的值；(Ⅱ)為分析乙廠產品的等級系數X2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估量總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2的數學期望.(Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的條件下，若以“性價比”為推斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由.注：(1)產品的“性價比”=；(2)“性價比”大的產品更具可購買性.如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：時間(分鐘)10202030304040505060的頻率的頻率0現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．(Ⅰ)為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？(Ⅱ)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對(Ⅰ)的選擇方案，求X的分布列和數學期望.某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業務所需的時間相互獨立，且都是整數分鐘，對以往顧客辦理業務所需的時間統計結果如下：辦理業務所需的時間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開頭辦理業務時計時.(Ⅰ)估量第三個顧客恰好等待4分鐘開頭辦理業務的概率.(Ⅱ)表示至第2分鐘末已辦理完業務的顧客人數，求的分布列及數學期望.某花店每天以每枝元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，假如當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.(1)若花店一天購進枝玫瑰花，求當天的利潤(單位：元)關于當天需求量(單位：枝，)的函數解析式.(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率.(i)若花店一天購進枝玫瑰花，表示當天的利潤(單位：元)，求的分布列，數學期望及方差；(ii)若花店方案一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由.如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0，1，0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(假如選取的3個點與原點在同一個平面內，此時“立體”的體積V=0).(1)求V=0的概率.(2)求V的分布列及數學期望.一個均勻的正四周體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數字，現隨機投擲兩次，正四周風光朝下的數字分別為x1，x2，記ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2.(1)分別求出ξ取得最大值和最小值時的概率；(2)求ξ的分布列．專題離散型隨機變量及其分布列(三)課后練習參考答案6.8詳解：，.(Ⅰ)A配方生產的產品的優質品率的估量值為0.3，B配方生產的產品的優質品率的估量值為0.42(Ⅱ)X-224P0.040.540.42X的分布列為X的數學期望2.68詳解：(Ⅰ)由試驗結果知，用A配方生產的產品中優質的頻率為，所以用A配方生產的產品的優質品率的估量值為0.3.由試驗結果知，用B配方生產的產品中優質品的頻率為，所以用B配方生產的產品的優質品率的估量值為0.42(Ⅱ)用B配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區間的頻率分別為0.04，,0.54,0.42，因此X的可能值為-2,2,4P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,X-224P0.040.540.42即X的分布列為X的數學期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68(Ⅰ)(Ⅱ)4.8(Ⅲ)乙廠的產品更具可購買性.詳解：(Ⅰ)由于＝6,所以即，又由的概率分布列得即.由解得(Ⅱ)由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估量總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數的概率分布列如下：345678P0.30.20.20.10.10.1所以，即乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8.(Ⅲ)乙廠的產品更具有可購買性，理由如下：由于甲廠產品的等級系數的數學期望等于6,價格為6元/件，所以其性價比為.由于乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8,價格為4元/件，所以其性價比為所以乙廠的產品更具可購買性.(Ⅰ)甲應選擇路徑,乙應選擇路徑．(Ⅱ)X的分布列為012P0.040.420.54數學期望為.詳解：(Ⅰ)表示大事“甲選擇路徑時，40分鐘內趕到火車站”，表示大事“乙選擇路徑時，50分鐘內趕到火車站”，，．用頻率估量相應的概率，則有：，；∵，∴甲應選擇路徑；，；∵，∴乙應選擇路徑．(Ⅱ)用A，B分別表示針對(Ⅰ)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由(Ⅰ)知，，又大事A，B相互獨立，的取值是0，1，2，∴，，∴X的分布列為012P0.040.420.54∴．(Ⅰ)0.22.(Ⅱ)X012P0.50.490.01期望是0.51.詳解：設Y表示顧客辦理業務所需的時間，用頻率估量概率，得Y的分布列如下：12345P0.10.40.30.10.1(Ⅰ)A表示大事“第三個顧客恰好等待4分鐘開頭辦理業務”，則大事A對應三種情形：①第一個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘，且其次個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘，且其次個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘；③第一個和其次個顧客辦理業務所需的時間均為2分鐘.所以.(Ⅱ)X全部可能的取值為0，1，2.對應第一個顧客辦理業務所需的時間超過2分鐘，所以；對應第一個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘且其次個顧客辦理業務所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業務所需的時間為2分鐘，所以；X=2對應兩個顧客辦理業務所需的時間均為1分鐘，所以,所以X的分布列為X012P0.50.490.01∴.(1).(2)的分布列為期望76，方差44.(ii)應購進17枝.詳解：(1)當時，.當時，，得：.(2)(i)可取，，，.的分布列為..(ii)購進17枝時，當天的利潤為y=(14×5－3×5)×0.1+(15×5－2×5)×0.2+(16×5－1×5)×0.16+17×5×0.54=76.4，76.4>76得：應購進17枝.(1)(2)的分布列為VP期望詳解：(1)從6個點中隨機選取3個點總共有種取法，選取的3個點與原點在同一個平面內的取法有種，因此的概率為(2)V的全部可能取值為，因此的分布列為VP由V的分布列可得(1)eq\f(1,16)；eq\f(1,16).(2)ξ的分布列為：ξ012458Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)詳解：(1)擲出點數x可能是：1,2,3,4.則x－3分別得：－2，－1,0,1.于是(x－3)2的全部取值分別為：0,1,4.因此ξ的全部取值為：0,1,2,4,5,8.當x1＝1且x2＝1時，ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最大值8，P(ξ＝8)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)；當x1＝3且x2＝3時，ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最小值0，P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16).(2)由(1)知ξ的全部取值為：0,1,2,4,5,8.P(ξ＝0)＝P(ξ＝8)＝eq\f(1,16)；當ξ＝1時，(x1，x2)的全部取值為(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)．即P(ξ＝1)＝eq\f(4,16)；當ξ＝2時，(x1，x2)的全部取值為(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)．即P