2024-2025學年天津市和平區高三上學期第二次月考數學檢測試卷一.選擇題(共9小題)1.已知集合A=x∣?5<A.{?1,0}B.{2,2.已知x∈R,則“x2>0”是A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.已知函數fx=x1+m1A.-2B.-1C.1D.24.已知a=30.1,b=3A.a<b<cB.c5.設α,β是兩個平面,m,A.若α⊥β,mB.若m?α,lC.若α∩β=mD.若m⊥α,l6.已知函數fx=?sin2ωxω>0的最小正周期為π,若將其圖象沿x軸向右平移aa>0個單位,A.πB.π3C.3π47.已知圓C:x?42+y2=4,點M在直線y=x上,過M作圓A.π2B.3π4C.2π8.設F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0A.3B.33C.3D.9.在三棱錐S?ABC中,∠BAC=3∠SCAA.25πB.256πC.1253π二.填空題(共6小題)10.若復數z=3+i1?311.2x3?12.過拋物線x2=4y上一點P作切線與y軸交于點Q,直線PQ被圓x2+y2=1截得的弦長為A,B,C,D,E已知乙選了A活動,他再選擇B活動的概率為_____.14.如圖,△ABC是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形,若AD=4,BD=2,那么BE?CD=_____；點M為線段15.已知函數fx=ax2+2x2?ax三.解答題(共5小題)16.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a(I)求角B的大小;(II)若c=3,a+b(III)若b=2a,求17.如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3(I)求證:A1F//平面(II)求平面ACC1A1與平面(III)求點A1到平面BDE18.已知橢圓C:x2a2+y2?b2=1a>b>0過點H3,1,離心率為63,斜率為?13的直線(1)求橢圓C的方程；(2)若MN=10,P為橢圓的上頂點,求△(3)記直線HM,HN的斜率分別為k1,k2,證明:k19.已知數列an,bn,Sn是數列an的前n項和,已知對于任意n∈N?,都有3an=(1)求數列an和bn(2)記dn=bn+2?1bnbn+1(3)記c求20.已知函數fx(1)若a=1,求函數fx在(2)若fx≤2x?1(3)求證:對任意正整數nn≥2,都有2024-2025學年天津市和平區高三上學期第二次月考數學檢測試卷一.選擇題(共9小題)1.已知集合A=x∣?A.{?1,0}B.{2,【分析】根據已知條件,結合交集的定義,即可求解.解:集合A=?3則A∩故選:A.【點評】本題主要考查交集及其運算,屬于基礎題.2.已知x∈R,則“x2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【分析】根據題意,分別驗證充分性與必要性即可得到結果.解:由題意可得,“x2>0故“x2>0故選:C.【點評】本題主要考查充分條件、必要條件的定義,屬于基礎題.3.已知函數fx=xA.-2B.-1C.1D.2【分析】由已知結合偶函數的定義可得f?x=解:由題意得f?即?x所以?1?m整理得m=?故選:A.【點評】本題主要考查了偶函數定義的應用,屬于基礎題.4.已知a=30.1A.a<b<cB.c【分析】由指數函數的單調性,及中間量1,即可求解.解:a=由指數函數y=b=33=3∴c故選:D.【點評】本題考查指數函數的單調性等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.5.設α,β是兩個平面,A.若α⊥β,m//α,C.若α∩β=m,l//【分析】根據題意,由線面平行性質依次分析選項,綜合可得答案.解:根據題意,依次分析選項:對于A,直線m,l可能平行,相交或異面,故對于B,平面α,β可能相交或平行,故對于C,由直線與平面平行性質,分析可得C正確;對于D,平面α,β可能相交或平行,故故選:B.【點評】本題考查平面與平面的位置關系,涉及平面與平面、直線與平面平行的性質和應用,屬于基礎題.6.已知函數fx=?sin2ωxω>0的最小正周期為π,若將其圖象沿A.πB.π3C.3π4【分析】由題意利用三角恒等變換化簡函數的解析式,再利用余弦函數的圖象的對稱性,求得實數a的最小值.解:函數fx=?sin2ωx若將其圖象沿x軸向右平移aa>0再根據所得圖象關于x=π3對稱,可得2×π3?故選:B.【點評】本題主要考查三角恒等變換,余弦函數的圖象的對稱性,屬于中檔題.7.已知圓C:x?42+y2=4,點M在直線A.π2B.3π4C.2π【分析】由題意作圖,根據相似三角形以及勾股定理,建立所求圓的半徑與CM的等量關系,利用數形結合,可得答案.解:由圓C:x?42由題意可作圖如下:∵MA,MB與圓C設AB∩CM=易知△ADC～△MDA,則ADMD=在Rt△ADC中,AD2+CD2由圖可知MD+CD=整理可得R2由圖易知當CM垂直于直線y=x時,CM取得最小值,則由函數R2=4?16以AB為直徑的圓的面積S=πR故選:C.【點評】本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用,是中檔題.8.設F1,F2是雙曲線C:x2a2A.3B.33C.3D.【分析】先根據點到直線的距離公式求出MF1,在Rt△MOF1中,求出cos∠解:F1在Rt△MOF1在△MF1即3b所以2c2=所以e=c故選:A.【點評】本題考查了雙曲線的性質,屬于中檔題.9.在三棱錐S?ABC中,∠BACA.25πB.256πC.1253π【分析】先證明AB⊥平面SAC,再根據正弦定理求解△解:∵∠BAC又∵SA⊥AB在Rt△SAB中,SB又∵∠SCA=30°,則取BC,AC的中點D,E,△SAC的外心為F,過過F作平面SAC的垂線交l于點O,即為球心,連接DE,EF,則FA=∴OA即三棱錐S?ABC外接球的半徑為∴三棱錐S?ABC外接球的體積為故選:D.【點評】本題考查球的體積計算,關鍵是求出球的半徑,屬于中檔題.二.填空題(共6小題)10.若復數z=3+i1【分析】運用復數乘法進行化簡計算,再根據實部虛部概念計算即可.解:復數z=則z的實部與虛部之積為23故答案為:?4【點評】本題考查復數的運算,屬于基礎題.11.2x3【分析】寫出二項展開式的通項公式,令k=解:2x3k=令k=則T4故第四項的系數為-160.故答案為:-160.【點評】本題主要考查二項式定理的應用,屬于基礎題.12.過拋物線x2=4y上一點P作切線與y軸交于點Q,直線PQ被圓x2+y2【分析】由題意,利用導數求出拋物線的切線方程,再結合點到直線的距離以及弦長進行求解.解:因為x2即y=可得y′設切點Px此時切線斜率為k=x所以切線方程為yx即2x令x=解得y=所以Q0因為直線PQ被圓x2+y所以圓心到直線PQ的距離d=此時?x即x0解得x02=所以點Q坐標為(0,-1).故答案為:(0,-1).【點評】本題考查直線與拋物線的位置關系,考查了邏輯推理和運算能力,屬于基礎題.13.A,B,C,D,E五種活動,甲、乙都要選擇三個活動參加,甲選到A的概率為【分析】設事件A表示“選到A”,事件B表示“選到B”,則甲從中選3個.甲選到A的概率為PA=C11C解:設事件A表示“選到A”,事件B表示“選到B”,則甲從中選3個.甲選到A的概率為PAP∴乙選了A活動,他再選擇B活動的概率為:P故答案為:35【點評】本題考查條件概率等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.14.如圖,△ABC是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形,若AD=4,BD=2,那么BE?CD=_____-【分析】由平面向量的數量積運算,結合余弦定理求解即可.解:在△ABD中,AD=4則BE×2由余弦定理可得:AB=在△ABD中,由余弦定理可得:則cos∠ACE設CM=則MA?即當λ=58時,MA故答案為:-6;-254【點評】本題考查了平面向量的數量積運算,重點考查了余弦定理,屬中檔題.15.已知函數fx=ax2+【分析】根據函數gx=2x2?ax+1是否有零點進行分類討論:當Δ<0時,gx≥0恒成立,結合題意求解即可;當解:設gx=2(1)當Δ=a2?8≤x2因為fx有兩個零點,所以a≠?2且a2?綜上所述,當?22≤a≤22(2)當Δ=a2?8設gx=2x2?ax+1當a<?22時,關于x因為?a>2,可知a4<0,所以當x∈?∞,m時,y=?ax2所以y=?ax因此,要使方程?ax2即方程2?ax2?結合?2?2綜上所述,滿足條件的實數a的取值范圍為?2故答案為:?2【點評】本題主要考查二次函數的圖象與性質、一元二次方程根的判別式、方程的根與函數的零點及其應用,屬于中檔題.三.解答題(共5小題)16.已知△ABC的內角A,B,C(I)求角B的大小;(II)若c=3,(III)若b=2a【分析】(I)由正弦定理,三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得cosB=32,結合(II)由題意利用余弦定理可得a2?b2+(III)由題意利用正弦定理可得sinA解:(I)由正弦定理得:2sin可得2sin顯然sinA則cosB=3又B∈故B=π(II)∵B=π∴由余弦定理可得cosB=a2+又a+b=∴SΔABC(III)由正弦定理得:sinB則sinA∵b=2a,即則B>故A為銳角,cosA=1∴sin2cos2∴sin2A【點評】本題主要考查了正弦定理,三角函數恒等變換,余弦定理以及三角形的面積公式的綜合應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.17.如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC⊥BC,AC(I)求證:A1F//(II)求平面ACC1A(III)求點A1到平面BDE【分析】(I)取BE中點G,連接FG、DG,即可得到FG//A1D且FG=A1(II)建立空間直角坐標系,利用向量法求出平面ACC1A(III)利用向量法點A1到平面BDE(I)證明:取BE的中點G,連接FG,DG,則因為F為B1所以FG=C所以FG//A1所以四邊形A1所以A1又A1F?平面BDEA1F//(II)解:直三棱柱ABC?A1以C為原點,以CA,CB,CC1的方向為x軸、y所以BE=設平面BDE的一個法向量為n=則n?BE=0n?BD易知平面ACC1A設平面ACC1A1與平面則cosθ所以平面ACC1A1與平面(III)解:因為A1所以點A1到平面BDE的距離d【點評】本題考查了線面平行的證明以及平面與平面所成的角的計算,屬于中檔題.18.已知橢圓C:x2a2+y2?b2=1a>b>0過點H(1)求橢圓C的方程；(2)若MN=10,P為橢圓的上頂點,求(3)記直線HM,HN的斜率分別為k1,k2,證明:【分析】(1)由題意列方程,求出a,(2)借助弦長公式計算可得m=2或m=?2,再利用點到直線的距離公式計算點(3)設出直線的方程,與橢圓聯立后可得與交點橫坐標有關一元二次方程,結合韋達定理表示出k1解:(1)由題可得9a2+故橢圓C的方程為x2(2)由題,設直線l的方程為y=1聯立y=13則Δ=6m2所以x1因為直線HM,HN均不與x軸垂直,所以x1≠3則MN==10解得:m=2或當m=2時,直線l的方程y=1當m=?2時,點P0,2到直線l故△PMN的面積S=(3)證明:由(2)可得,k=====13,故【點評】本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系,屬于難題.19.已知數列an,bn,Sn是數列an的前n項和,已知對于任意n∈(1)求數列an和b(2)記dn=bn+2?(3)記c【分析】(1)首先根據an與Sn的關系得到an(2)利用裂項相消法即可得結果;(3)將分組求和與錯位相減法相結合即可得結果.解:(1)當n=1時,3a當n≥2時,所以3a即an是以首先a1=因為b1所以b4+1解得d=所以