第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶市渝北區松樹橋中學高二（上）第三次段考數學試卷（12月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知橢圓x2m+y24=1A.17 B.5 C.5或3 D.2.拋物線y=16x2A.y=124 B.y=?124 C.3.已知數列{an}滿足2an=an?1+aA.6 B.7 C.8 D.94.已知空間向量a=(1,1,1),b=(1,0,?2)，則下列結論正確的是A.向量a在向量b上的投影向量是(?15,0,25)B.a5.《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、驚墊、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種.這十二個節氣，立竿測影，得其最短日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，春分日影長為7.5尺，則這十二個節氣中后六個(春分至若種)日影長之和為(

)A.8.5尺 B.30尺 C.66尺 D.96尺6.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1,(a>0,b>0)與直線y=2x+1相交于A、B兩點，若弦ABA.y=±6x B.y=±6x C.y=±17.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1A.12B.22

C.18.點M是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點，以M為圓心的圓與x兩點，若△PQM是直角三角形，則該橢圓的離心率為(

)A.2?3 B.5?12 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a6=10A.{an}是遞增數列 B.{an}的前n項和中S2最小

C.a310.已知點O為坐標原點，直線y=x+1與拋物線C：x2=4y相交于A、B兩點，焦點為F，則下列選項正確的是(

)A.|AB|=8 B.OA⊥OB

C.1|AF|+1|BF|=1 D.線段11.在棱長為2的正方體ABCD?A′B′C′D′中，M為BC邊的中點，下列結論正確的有(

)A.AM與D′B′所成角的余弦值為1010

B.過A，M，D′三點的正方體ABCD?A′B′C′D′的截面面積為3

C.當P在線段A′C上運動時，|PB′|+|PM|的最小值為3

D.若Q為正方體表面BCC′B′上的一個動點，E，F分別為AC′的三等分點，則|QE|+|QF|三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數列{an}滿足a1=12，an+1=13.過點A(?2,?1)向圓C：(x?1)2+(y?2)2=4作切線，切點為B14.如圖①，橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．如圖②，雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．如圖③，一個光學裝置由有公共焦點F1，F2的橢圓C1與雙曲線C2構成，已知C1與C2的離心率之比為2：5.現一光線從右焦點F2發出，依次經C1與C2的反射，又回到了點F2，歷時3×10?8秒．將裝置中的C2去掉，如圖④，此光線從點F四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的頂點坐標分別為A(?2,4)，B(?1,3)，C(2,6)．

(1)求邊AB的垂直平分線l的方程；

(2)求三角形ABC的外接圓方程．16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=AD=12CD=2，PD=2，M為棱PC的中點．

(1)證明：BM//平面PAD；

(2)求平面PDM和平面DMB17.(本小題15分)

已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且an和Sn滿足：4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…)．

(1)求證：數列18.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形ACC1A1是邊長為2的菱形，∠A1AC=60°，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，平面ACC1A1上平面ABC，點D，E分別是CC1，BC的中點．19.(本小題17分)

已知點N(3,0)，點P是圓M：(x+3)2+y2=16上任意一點，線段PN的垂直平分線l1與半徑PM的交點為Q，記點Q的軌跡是曲線W，設經過點D(1,0)的直線l與曲線H的交點為A，B．

(Ⅰ)求曲線W的方程；

(Ⅱ)求|DA|?|DB|的取值范圍；

(Ⅲ)已知點參考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.B

6.A

7.D

8.D

9.ABD

10.AC

11.AC

12.15

113.1414.10?715.解：(1)因為A(?2,4)，B(?1,3)，可得AB的中點D(?32,72)，

AB=(1,?1)，由點法式方程可得AB的中垂線l的方程為：1×(x+32)+(?1)(y?72)=0，

整理可得：x?y+5=0；

(2)BC的中點E(12,92)，BC=(3,3)，

由點法式方程可得BC的中垂線方程為3(x?12)+3(y?92)=0，

16.解：(1)證明：取PD中點N，連接AN，MN，

在△PCD中，M，N分別為PC，PD的中點，則MN/?/DC，MN=12DC，

因為AB//DC，AB=12DC，則AB/?/MN，AB=MN，

可知四邊形ABMN為平行四邊形，則BM/?/AN，

且BM?平面PAD，AN?平面PAD，

所以BM/?/平面PAD．

(2)因為PD⊥平面ABCD，AD，DC?平面ABCD，

則PD⊥AD，PD⊥DC，且AD⊥DC，

以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系D?xyz，如圖所示，

取CD的中點E，連接BE，

因為AB//DC，AB=12DC，則AB//DE，AB=DE，

又因為AD⊥DC，所以四邊形ABED為矩形，

且AB=AD=2，可知四邊形ABED是以邊長為2的正方形，

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，P(0,0,2)，M(0,2,1)，

可得DA=(2,0,0)，DM=(0,2,1)，DB=(2,2,0)，

設平面BDM的法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥DMn⊥DB，即n?DM=2y+z=0n?DB=2x+2y=0，

令y=?1，則x=1，z=2，

所以平面17.解：(1)證明：正項數列{an}的前n項和為Sn，且an和Sn滿足：4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…)，

可得4a1=4S1=(a1+1)2，解得a1=1；

當n≥2時，由4Sn=(an+1)2，可得4Sn?1=(an?1+1)2，

相減可得4an=(an18.(1)證明：連接A1C，∵四邊形ACC1A1是邊長為2的菱形，∠A1AC=60°，

∴△A1AC是等邊三角形．

取AC的中點O，連接A1O，OE，則A1O⊥AC，

又平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，

∴A1O⊥平面ABC．

又BC?平面ABC，∴A1O⊥BC．

∵O，E分別為AC，BC的中點，∴OE/?/AB，OE=12AB．

∵∠ABC=90°，∴BC⊥OE．

又A1O∩OE=O，∴BC⊥平面A1OE．

∵A1E?平面A1OE，∴BC⊥A1E．

(2)延長A1D與AC相交于點M，則點M即為平面A1DE與棱AC的延長線的交點．點D是CC1的中點，

∴△A1C1D≌△MCD，則CM=C1A1=2．

如圖，連接OB，以O為坐標原點，OB，OC，OA19.解：(Ⅰ)連接QN，

此時|QN|=|QP|，

設Q(x,y)，

因為圓M的圓心M(?3,0)，半徑為4，

所以|QM|+|QN|=|QM|+|QP|=4，|MN|=23，

因為4>23，

所以點Q軌跡是以M，N為焦點的橢圓，長軸長2a=4，焦距2c=23，

解得a=2，c=3，

則b=a2?c2=1，

故曲線W的方程為x24+y2=1；

(Ⅱ)當直線l的斜率不存在