第1頁/共1頁2023北京初三二模數學匯編新定義（第28題）一、解答題1.（2023·北京東城·統考二模）已知線段是的弦，點在直線上．對于弦和點，給出如下定義：若將弦繞點逆時針旋轉得到線段，恰好也是的弦，則稱弦關于點中心映射，點叫做映射中心，叫做映射角度．（1）如圖1，點是等邊的中心，作交于點．在三點中，弦關于點_________中心胦射；（2）如圖2，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，的角平分線交軸于點．若與線段相交所得的弦關于點中心映射，直接寫出的半徑的取值范圍；（3）在平面直角坐標系中，的半徑為2，線段是的弦．對于每一條弦，都有相應的點，使得弦關于點中心映射，且映射角度為．設點到點的距離為，直接寫出的取值范圍．2.（2023·北京西城·統考二模）在平面直角坐標系中，給定圓C和點P，若過點P最多可以作出k條不同的直線，且這些直線被圓C所截得的線段長度為正整數，則稱點P關于圓C的特征值為k．已知圓O的半徑為2，（1）若點M的坐標為，則經過點M的直線被圓O截得的弦長的最小值為___________，點M關于圓O的特征值為___________；（2）直線分別與x，y軸交于點A，B，若線段上總存在關于圓O的特征值為4的點，求b的取值范圍；（3）點T是x軸正半軸上一點，圓T的半徑為1，點R，S分別在圓O與圓T上，點R關于圓T的特征值記為r，點S關于圓O的特征值記為s．當點T在x軸正軸上運動時，若存在點R，S，使得，直接寫出點T的橫坐標t的取值范圍．3．（2023·北京西海淀·統考二模）在平面直角坐標系xOy中，對于△OAB和點P（不與點O重合）給出如下定義：若邊OA，OB上分別存在點M，點N，使得點O與點P關于直線MN對稱，則稱點P為△OAB的“翻折點”．（1）已知A（3，0），B（0，）．①若點M與點A重合，點N與點B重合，直接寫出△OAB的“翻折點”的坐標；②P是線段AB上一動點，當P是△OAB的“翻折點”時，求AP長的取值范圍；（2）直線（b＞0）與x軸，y軸分別交于A，B兩點，若存在以直線AB為對稱軸，且斜邊長為2的等腰直角三角形，使得該三角形邊上任意一點都為△OAB的“翻折點”，直接寫出b的取值范圍．4.（2023·北京朝陽·統考二模）在平面直角坐標系中，對于圖形M給出如下定義；將M上的一點變換為點，M上所有的點按上述變換后得到的點組成的圖形記為N，稱N為M的變換圖形．（1）①點的變換點的坐標為______；②直線的變換圖形上任意一點的橫坐標為______；（2）求直線的變換圖形與y軸公共點的坐標；（3）已知⊙O的半徑為1，若的變換圖形與直線有公共點，直接寫出k的取值范圍．5.（2023·北京房山·統考二模）在平面直角坐標系xOy中，有圖形W和點P，我們規定：若圖形W上存在點M、N（點M和N可以重合），滿足，其中點是點P關于x軸的對稱點，則稱點P是圖形W的“對稱平衡點”。（1）如圖28-1所示，已知，點A（0，2），點B（3，2）。①在點P1（0，1），P2（1，-1），P3（4，1）中，是線段AB的“對稱平衡點”的是___________；②線段AB上是否存在線段AB的“對稱平衡點”？若存在，請求出符合要求的“對稱平衡點”的橫坐標的范圍，若不存在，請說明理由；圖28-1圖28-2（2）如圖28-2，以點A（0，2）為圓心，1為半徑作⊙A．坐標系內的點C滿足AC=2，再以點C為圓心，1為半徑作⊙C，若⊙C上存在⊙A的“對稱平衡點”，直接寫出C點縱坐標的取值范圍。6.（2023·北京豐臺·統考二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點T（m，0），點M（m，-1），以點T為圓心，TM的長為半徑作⊙T，點N為⊙T上的任意一點（不與點M重合）．（1）當m=0時，若直線y=x+t上存在點在MN關于⊙T的“關聯正方形”上，求t的取值范圍；（2）若點A在MN關于⊙T的“關聯正方形”上，點B（-m+2，3）與點A的最大距離為d，當d取最小值時，直接寫出此時m和d的值.7.（2023·北京門頭溝·統考二模）在平衡直角坐標系中，線段，點，在線段上，且，為的中點，如果任取一點，將點繞點順時針旋轉得到點，則稱點為點關于線段的“旋平點”．（1）如圖1，已知，，，知果為點關于線段的“旋平點”，畫出示意圖，寫出的取值范圍；（2）如圖，的半徑為，點，在上，點，如果在直線上存在點關于線段的“旋平點”，求的取值范圍．8．（2023·北京順義·統考二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點P，直線l與圖形G，連接點P與圖形G上任意一點Q，取PQ的中點M，點M關于直線l的對稱點為N，所有的對稱點組成的圖形W稱為圖形G關于點P及直線l的“對應圖形”．已知點A（4，0）．（1）對于直線l:x=a，若直線y=-2x-4關于點A及直線l的“對應圖形”與直線y=-2x-4的交點在x軸的上方，求a的取值范圍；（2）已知點B（0，4），C（-4，0），D（6，4），直線l:x=-1，⊙T的圓心T（t，0），半徑為2．若存在⊙T關于點D及直線l的“對應圖形”與△ABC的邊有交點，直接寫出t的取值范圍．9．（2023·北京燕山·統考二模）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2．對于直線l和線段BC，給出如下定義：若將線段BC關于直線l對稱，可以得到⊙O的弦B'C'(B′，C′分別是B，C的對應點)，則稱線段BC是以直線l為軸的⊙O的“關聯線段”．例如，圖1中線段BC是以直線l為軸的⊙O的“關聯線段”．((圖1)(圖2)(1)如圖2，點B1，C1，B2，C2，B3，C3的橫、縱坐標都是整數．①在線段B1C1，B2C2，B3C3中，以直線：y＝x＋4為軸的⊙O的“關聯線段”是；②在線段B1C1，B2C2，B3C3中，存在以直線：y＝－x＋b為軸的⊙O的“關聯線段”，求b的值；(2)已知直線：(m＞0)交x軸于點A．在△ABC中，AB＝6，BC＝2，若線段BC是以直線為軸的⊙O的“關聯線段”，直接寫出m的最大值與最小值，以及相應的AC的長．

參考答案1.（1）根據中心映射的定義，若將弦繞點逆時針旋轉得到線段，恰好也是的弦，則稱弦關于點中心映射，點叫做映射中心．由于是等邊三角形，因此直線繞A點逆時針旋轉，可使弦落在弦上．但直線繞B點、C點逆時針旋轉后，弦無法與再相交成弦．故只有點A符合映射中心的條件，如下圖．（2）如下圖，的角平分線交軸于點，過D作，垂足為G．則與線段EF相交所得的弦關于點E中心映射，此時的半徑r的取值范圍是．在中，平分，過D作x軸的平行線，與EF交于H，則，又，所以，則．由得，，所以即，。在直角三角形OEF中，．∴，解得．∵，∴在直角與直角相似．∴，即．因此，．所以，的半徑r的取值范圍是．即．（3）考慮到對稱性與不失一般性，為了研究問題的方便，設弦繞點H逆時針旋轉得到線段，恰好也是的弦，且與交于x軸，見下圖．作與交于點F，再過F作的平行線，是的切線．則滿足條件的弦最大為直徑，最小應大于0，所以，．當O與H重合時，，此時弦為直徑；當H與E重合時，，此時弦長度為0．故d的取值范圍是：．由已知條件知．又因，故．在直角中，，則．故d的取值范圍是：．2.【答案】（1），3（2）b的取值范圍是或；（3）【分析】（1）設經過點M的直線與交于E、F兩點，過點O作于H，連接，利用垂徑定理得到，由勾股定理可得當最大時，最小，即此時最小，求出，再由，得到當點H與點M重合時，有最大值，即可求出的最小值為，則被圓O截得的弦長取值范圍為，再由被圓O截得的弦長為3的弦有2條，被圓O截得的弦長為4的弦只有1條，可得點M關于圓O的特征值為3；（2）根據題意得，關于圓O的特征值為4的所有點都在以O為圓心，為半徑的圓周上，分當時和當時，兩種情況討論即可求解；（3）由于同一平面內，對于任意一點Q，經過O、Q的直線與圓O截得的弦（直徑）都為4，則點Q關于圓O的特征值不可能為0，由此可得，則或；經過點S且弦長為4（最長弦）的直線有1條，弦長為3（最短弦）的直線有1條，由（2）可知點S一定在以O為圓心，以為半徑的圓上，同理點R一定在以T為圓心，以為半徑的圓上，則當滿足以O為圓心，2為半徑的圓與以T為圓心，為半徑的圓有交點，且同時滿足以O為圓心，為半徑的圓與以T為圓心，1為半徑的圓有交點時t的值符合題意，由此求解即可．【小問1詳解】解：設經過點M的直線與交于E、F兩點，過點O作于H，連接，∴，在中，由勾股定理得，∴當最大時，最小，即此時最小，∵點M的坐標為，∴，又∵，∴當點H與點M重合時，有最大值，∴此時有最小值，∴的最小值為∵過點M的直線被圓O截得的弦長的最大值為4（直徑），∴被圓O截得的弦長取值范圍為，∴被圓O截得的弦長為正整數的只有是3或4，∵被圓O截得的弦長為3的弦有2條，被圓O截得的弦長為4的弦只有1條，∴點M關于圓O的特征值為3，故答案為：，3；【小問2詳解】解：設點G是圓O的特征值為4的點，由（1）可知經過一點G且弦長為4（最長弦）的直線有1條，弦長為3的直線有2條，∵特征值要保證為4，∴經過點G且弦長為2的直線有且只有1條，∴經過點G的直線被圓O截得的弦長的最小值為2，∵，∴由（1）可知，關于圓O的特征值為4的所有點都在以O為圓心，為半徑的圓周上，∵直線分別與x，y軸交于點A，B，∴，，∴，∴當時，∵線段上總存在關于圓O的特征值為4的點，∴線段與以O為圓心，為半徑的圓有交點，當線段與以O為圓心，為半徑的圓相切時，將切點設為H，連接OH，則，∴，∴，將以O為圓心，為半徑的圓與y軸正半軸的交點記為，則，當線段與以O為圓心，為半徑的圓相交，且過點時，可得，∴；同理可求當時，；綜上，b的取值范圍是或；【小問3詳解】：∵同一平面內，對于任意一點Q，經過O、Q的直線與圓O截得的弦（直徑）都為4，∴點Q關于圓O的特征值不可能為0，∴，∵，且r、s都是整數，∴或；當時，∴經過點S且弦長為4（最長弦）的直線有1條，弦長為3（最短弦）的直線有1條，∴由（2）可知點S一定在以O為圓心，以為半徑的圓上，同理當時，點R一定在以T為圓心，以為半徑的圓上，∴當滿足以O為圓心，2為半徑的圓與以T為圓心，為半徑的圓有交點，且同時滿足以O為圓心，為半徑的圓與以T為圓心，1為半徑的圓有交點時t的值符合題意；如圖3-1所示，當以O為圓心，為半徑的圓與以T為圓心，1為半徑的圓外切時，此時；如圖3-2所示，當以O為圓心，2為半徑的圓與以T為圓心，為半徑的圓外切時，此時；綜上所述，當時，存在點R，S，使得．3.【答案】（1），3（2）b的取值范圍是或；（3）【分析】（1）設經過點M的直線與交于E、F兩點，過點O作于H，連接，利用垂徑定理得到，由勾股定理可得當最大時，最小，即此時最小，求出，再由，得到當點H與點M重合時，有最大值，即可求出的最小值為，則被圓O截得的弦長取值范圍為，再由被圓O截得的弦長為3的弦有2條，被圓O截得的弦長為4的弦只有1條，可得點M關于圓O的特征值為3；（2）根據題意得，關于圓O的特征值為4的所有點都在以O為圓心，為半徑的圓周上，分當時和當時，兩種情況討論即可求解；（3）由于同一平面內，對于任意一點Q，經過O、Q的直線與圓O截得的弦（直徑）都為4，則點Q關于圓O的特征值不可能為0，由此可得，則或；經過點S且弦長為4（最長弦）的直線有1條，弦長為3（最短弦）的直線有1條，由（2）可知點S一定在以O為圓心，以為半徑的圓上，同理點R一定在以T為圓心，以為半徑的圓上，則當滿足以O為圓心，2為半徑的圓與以T為圓心，為半徑的圓有交點，且同時滿足以O為圓心，為半徑的圓與以T為圓心，1為半徑的圓有交點時t的值符合題意，由此求解即可．【小問1詳解】解：設經過點M的直線與交于E、F兩點，過點O作于H，連接，∴，在中，由勾股定理得，∴當最大時，最小，即此時最小，∵點M的坐標為，∴，又∵，∴當點H與點M重合時，有最大值，∴此時有最小值，∴的最小值為∵過點M的直線被圓O截得的弦長的最大值為4（直徑），∴被圓O截得的弦長取值范圍為，∴被圓O截得的弦長為正整數的只有是3或4，∵被圓O截得的弦長為3的弦有2條，被圓O截得的弦長為4的弦只有1條，∴點M關于圓O的特征值為3，故答案為：，3；【小問2詳解】解：設點G是圓O的特征值為4的點，由（1）可知經過一點G且弦長為4（最長弦）的直線有1條，弦長為3的直線有2條，∵特征值要保證為4，∴經過點G且弦長為2的直線有且只有1條，∴經過點G的直線被圓O截得的弦長的最小值為2，∵，∴由（1）可知，關于圓O的特征值為4的所有點都在以O為圓心，為半徑的圓周上，∵直線分別與x，y軸交于點A，B，∴，，∴，∴當時，∵線段上總存在關于圓O的特征值為4的點，∴線段與以O為圓心，為半徑的圓有交點，當線段與以O為圓心，為半徑的圓相切時，將切點設為H，連接OH，則，∴，∴，將以O為圓心，為半徑的圓與y軸正半軸的交點記為，則，當線段與以O為圓心，為半徑的圓相交，且過點時，可得，∴；同理可求當時，；綜上，b的取值范圍是或；【小問3詳解】：∵同一平面內，對于任意一點Q，經過O、Q的直線與圓O截得的弦（直徑）都為4，∴點Q關于圓O的特征值不可能為0，∴，∵，且r、s都是整數，∴或；當時，∴經過點S且弦長為4（最長弦）的直線有1條，弦長為3（最短弦）的直線有1條，∴由（2）可知點S一定在以O為圓心，以為半徑的圓上，同理當時，點R一定在以T為圓心，以為半徑的圓上，∴當滿足以O為圓心，2為半徑的圓與以T為圓心，為半徑的圓有交點，且同時滿足以O為圓心，為半徑的圓與以T為圓心，1為半徑的圓有交點時t的值符合題意；如圖3-1所示，當以O為圓心，為半徑的圓與以T為圓心，1為半徑的圓外切時，此時；如圖3-2所示，當以O為圓心，2為半徑的圓與以T為圓心，為半徑的圓外切時，此時；綜上所述，當時，存在點R，S，使得．4.（1）解：①按定義操作：，，∴點的變換點的坐標為，故答案為：；②設直線的圖像上任意一點坐標為，按定義操作：，∴直線的變換圖形上任意一點的橫坐標為，故答案為：；（2）直線上任意一點的坐標可以表示為，則該點的變換點坐標為，∵點在y軸上，∴∴∴∴直線的變換圖形與y軸公共點的坐標為；（3）解：設⊙O上點的坐標為，∵⊙O的半徑為1，∴點到原點的距離為1，∴，∵⊙O上的點的變換點坐標為，∴其變換點到原點的距離為：，∴的變換圖形是以原點為圓心，半徑為的圓，又∵直線，∴直線恒過點，如圖，點，直線與y軸交于點C，當直線與的變換圖形相切于點B時，可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴此時直線過點，∴，解得：，同理，當直線與的變換圖形相切于x軸的下方時，可得，∴若的變換圖形與直線有公共點，k的取值范圍為且．5.（1）①，；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分②不存在。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分設P為線段AB上任意一點，則它與線段AB上點的距離最小值為0，最大值為PA和PB中的較大值；顯然PA≤3點P關于x軸的對稱點為P'，它到線段AB上任意一點的距離即若是線段AB上的任意兩點，pM≤3，P'∴線段AB上不存在線段AB的“對稱平衡點”。。。。。。。。。。。。。。。3分（2）0≤yC≤2.6.解：（1）如圖，MN關于⊙T的“關聯正方形”上的所有點在以C（-1，0）和D（1，0）為圓心，為半徑，以E（-1，-1），F（1，-1）和O（0，0）為圓心，1為半徑的五個圓上及圓內.由直線y=x+t上存在點在MN關于⊙T的“關聯正方形”上，可知：當直線與⊙C相切時，設切點為G，交x軸于點H，交y軸于點I，由CG=，得CH=2，∴OH=OI=3，此時t=3；當直線與⊙F相切時，設切點為J，交y軸于點K，由OJ