第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省廣州市某校高二（上）期末數學模擬試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知直線a，b與平面α，β，下列四個命題中正確的是(

)A.若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α

B.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b

C.若a//α，b//β，α//β，則a//b

D.若直線a上存在兩點到平面α的距離相等，則a//α2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a3+aA.52 B.54 C.56 D.583.到直線3x?4y?11=0的距離為1的直線方程為(

)A.3x?4y?1=0 B.3x?4y?6=0或3x?4y?16=0

C.3x?4y+1=0或3x?4y?1=0 D.3x?4y+16=0或3x?4y?3=04.雙曲線C：x2a2?y2b2A.233 B.2 C.45.已知直線m：ax+y+3=0與直線n：3x+(2b?1)y?1=0，(a,b>0)，且m⊥n，則2a+1bA.12 B.8+43 C.15 6.在空間中，“經過點P(x0,y0,z0)，法向量為e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一點的坐標(x,y,z)滿足的關系)是：A(x?x0)+B(y?yA.73 B.63 C.7.某家庭打算為子女儲備“教育基金”，計劃從2021年開始，每年年初存入一筆專用存款，使這筆款到2027年底連本帶息共有40萬元收益.如果每年的存款數額相同，依年利息2%并按復利計算(復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息)，則每年應該存入約(????)萬元.(參考數據：1.027≈1.149，1.02A.5.3 B.4.6 C.7.8 D.68.已知圓C：(x+1)2+y2=2，點P在直線l：x?y?3=0上運動，直線PA，PB與圓C相切，切點為AA.|PA|的最小值為2

B.|PA|最小時，弦AB長為6

C.|PA|最小時，弦AB所在直線的斜率為?1

D.四邊形PACB的面積最小值為二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是2，且它們彼此的夾角都是60°，P為A1D與ADA.CP=?a?12b+12c

10.已知直線l的方程為ax?y+1=0，a∈R，則下列說法正確的是(

)A.l與直線x+ay+1=0有唯一的交點

B.l與橢圓x22+y2=1一定有兩個交點

C.l與圓(x?1)2+y11.某市為了改善城市中心環境，計劃將市區某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內一個高塔，施工單位在某平臺O的北偏東45°方向402m處設立觀測點A，在平臺O的正西方向240m處設立觀測點B，已知經過O，A，B三點的圓為圓C，規定圓C及其內部區域為安全預警區.以O為坐標原點，O的正東方向為x軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系.經觀測發現，在平臺O的正南方向200m的P處，有一輛小汽車沿北偏西45°方向行駛，則(

)A.觀測點A，B之間的距離是280mB.圓C的方程為x2+y2+240x?320y=0

C.12.已知橢圓x29+y2b2=1(0<b<3)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線l交橢圓于A.橢圓的短軸長為6B.|AF2|+|BF2|最大值為8

C.離心率為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.石城永寧橋，省級文物保護單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮.永寧橋建筑風格獨特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當石拱橋拱頂離水面1.6m時，水面寬6.4m，當水面下降0.9m時，水面的寬度為______m；該石拱橋對應的拋物線的焦點到準線的距離為______m.

14.經過點P(0,?1)作直線l，若直線l與連接A(1,?2)，B(3,2)兩點的線段總有公共點，則直線l的傾斜角α15.已知點M是圓x2+y2=1上的動點，點N是圓(x?5)2+(y?2)16.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，BC=CC1=2，M，N分別為BC，CC1的中點，點P在矩形BCC1四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知△ABC的頂點A(3,2)，邊AB上的中線所在直線方程為x?3y+8=0，邊AC上的高所在直線方程為2x?y?9=0．

(1)求頂點C的坐標；

(2)求直線BC的方程．18.(本小題12分)

已知O為坐標原點，雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3，且過點(2,2)．

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)圓x2+y2=4的切線l與雙曲線C相交于A19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，BD⊥PC，∠BAD=120°，四邊形ABCD是菱形，PB=2AB=2PA，E是棱PD上的動點，且PE=λPD．

(1)證明：PA⊥平面ABCD．

(2)是否存在實數λ，使得平面PAB與平面20.(本小題12分)

已知數列{an}是遞增的等差數列，數列{bn}是等比數列，且a1=3，a1?1、a2?1、a3+1成等比數列，b1=1，a5?2b221.(本小題12分)

假設某市2023年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中、低價房.預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上年增長8%.另外，每年新建住房中，中、低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.求：

(1)截至到2032年底，該市所建中、低價房的面積累計(以2023年為累計的第一年)為多少萬平方米？

(2)哪一年底，當年建造的中、低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？22.(本小題12分)

已知動點M在x2+y2=4上，過M作x軸的垂線，垂足為N，若H為MN中點．

(1)求點H的軌跡方程；

(2)過A(0,12)作直線l交H的軌跡于P、Q兩點，并且交x軸于B點.若參考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.B

6.A

7.A

8.B

9.AC

10.AC

11.BCD

12.BCD

13.8

3.2

14.[0,π15.14916.3417.解：(1)因為邊AC上的高所在直線方程為2x?y?9=0，設直線AC的方程為x+2y+a=0，

又因為直線AC過點A(3,2)，則a=?7，

得到直線AC的方程為x+2y?7=0，

聯立2x?y?9=0x+2y?7=0，解得C的坐標為(1,3)；

(2)設B(a,b)，因為邊AB上的中線所在直線方程為x?3y+8=0，

邊AC上的高所在直線方程為2x?y?9=0，

可得2a?b?9=0且a+32?3?b+22+8=0，解得a=8b=7，即B的坐標為(8,7)18.解：(1)由題意得ca=3，將(2,2)代入雙曲線中得4a2?4b2=1，

又c2=a2+b2，解得a2=2，b2=4，

故雙曲線C的標準方程為x22?y24=1；

(2)證明：(i)當切線l的斜率為0時，方程為y=±2，

不妨設y=2，此時x22?224=1，解得x=±2，不妨設A(?2,2)，B(2,2)，

則OA?OB=(?2,2)?(2,2)=?4+4=0，所以OA⊥OB；

當切線斜率不為0時，設為x=my+t，

由圓心到直線距離可得|t|1+m2=2，故t2=4+4m2，

聯立x=my+t與x22?y24=1得，(2m2?1)y2+4mty+2t2?4=0，

則2m2?1≠0Δ=16m2t2?4(2t2?4)(2m2?1)>0年t2=4+4m2，

解得m≠±22，

設A(x19.解：(1)證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

因為BD⊥PC，AC，PC?平面PAC，且AC∩PC=C，

所以BD⊥平面PAC，

因為PA?平面PAC，所以BD⊥PA，

因為PB=2AB=2PA，所以PB2=AB2+PA2，即AB⊥PA，

因為AB，BD?平面ABCD，且AB∩BD=B，

所以PA⊥平面ABCD．

(2)取棱CD的中點F，連接AF，因為四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

所以△ACD為等邊三角形，故AF⊥CD，

又PA⊥平面ABCD，AB，AF?平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AF，故AB，AF，AP兩兩垂直，

故以A為原點，分別以AB，AF，AP的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，

設AB=2，則A(0,0,0)，C(1,3,0)，D(?1,3,0)，P(0,0,2)，

故AC=(1,3,0)，PD=(?1,3,?2)，AP=(0,0,2)，

所以AE=AP+PE=AP+λPD=(?λ,3λ,2?2λ)，

設平面ACE的法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥ACn⊥AE，則n?AC20.解：(1)由a1=3，a1?1、a2?1、a3+1成等比數列，設公差為d，

可得(a2?1)2=(a1?1)(a3+1)，即(3+d?1)2=(3?1)(3+2d+1)，解得d=±2，

∵{an}遞增，∴d=2，∴an21.解：(1)假設某市2023年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中、低價房，

預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上年增長8%，

另外，每年新建住房中，中、低價房的面積均比上一年增加50萬平方米，

設中、低價房面積構成數列{an}，由題意可知{an}是等差數列，

其中a1=250，d=50，則Sn=250n+n(n?1)2×50=25n2+225n，所以S10=4750，

所以截止2032年底，預計該市所建中、低價房的累計面積為4750萬平方米；

(2)