專題14構造函數法解決導數問題一、單選題1．函數的定義域為，，對任意，，則的解集為()A． B． C． D．【解析】令，因為對任意，，所以，即在上單調遞減，又因為，所以，由，可得，即，所以，即不等式的解集為．故選：A．2．定義在上的函數的導函數為.若對任意實數，有，且為奇函數，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【解析】設，則，因為，所以，為定義在上的減函數，因為為奇函數，所以，，，，即，，，故選：C.3．設是奇函數，是的導函數，．當時，，則使得成立的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】令，所以，當當時，，所以，所以可知的在的單調遞增，又是奇函數且，所以，則，由，所以函數為的偶函數且在單調遞減，，當時，的解集為，當時，的解集為，綜上所述：的解集為：，故選：D4．已知定義域為的函數滿足，，其中為導函數，則滿足不等式的解集為（）A． B． C． D．【解析】設，則，故在上單調增，又，所以的解為，則不等式的解集，故答案為：A5．已知定義在上的函數的導函數為，且滿足，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【解析】令，則，因為，所以，所以在上為增函數，因為，所以，由（），得，所以，所以且，所以，所以不等式的解集為，故選：B6．已知函數的定義域為，且，，則不等式解集為（）A． B． C． D．【解析】由得,即，令,則，因為,即,且,所以,故函數在上單調遞減,由,故，即的解集是.故選：C.7．設是定義在上的函數，其導函數為，若，，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集為（）A． B．C． D．【解析】設函數，，因為，所以，函數單調遞增，，所以，即，不等式的解集是.故選：D8．設實數，若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】因為，不等式成立，即成立，即，進而轉化為恒成立，構造函數，可得，當，，單調遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，進而轉化為恒成立，設，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當，函數取得最大值，最大值為，所以，即實數m的取值范圍是.故選：B.二、多選題9．已知函數是定義在上的可導函數，其導函數為，若，且，則使不等式成立的的值不可能為（）A． B． C． D．【解析】設，則.，，，即函數在定義域上單調遞減.，，不等式等價于，即，解得.故不等式的解集為.故選：.10．已知定義在上的奇函數連續且可導，若（為的導函數），則（）A． B．C． D．【解析】是定義在上的奇函數，.在中，令，得，即，A正確；是定義在上的奇函數，，即，，，，B錯誤；在中，令，得，又，，C正確；構造函數，則，當時，，在上單調遞增，，，，，D正確.故選：ACD11．已知函數的導函數為，若對恒成立，則下列不等式中，一定成立的是（）A． B．C． D．【解析】設，，，則，.因為對恒成立，所以，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，，即，即.故選：BD.12．已知定義在上的函數的導函數為，且，，則下列判斷中正確的是（）A． B．C． D．【解析】令，，因為，則，故在，上單調遞減，因為，則，結合選項可知，，從而有，即，故錯誤，因為，結合在在，上單調遞減可知，從而有，由可得，故錯誤；，從而有，且，即．故正確；，從而有即．故正確．故選：．三、填空題13．已知函數的定義域為，且.若對任意，，則的解集為____【解析】令，則，因為對任意，，所以，所以在上為增函數，又，所以，所以時，即，，可得，所以的解集為14．已知定義在實數集R上的函數f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導數在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.【解析】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因為，所以g(x)在R上為減函數.由解得：x>1.故答案為：.15．已知函數的導函數為，且滿足，當時，．若，則實數m的取值范圍是______．【解析】令，則，當時，，∴在上遞減，而，，所以，所以是奇函數且在上單調遞減，若，則，所以∴，即．16．已知函數的定義域為，且，對于，有成立，則不等式：的解集為___________.【解析】令，則，，，，在R單調遞增，，，即，即，又在R單調遞增，，不等式的解集為.四、解答題17．已知函數．（1）若函數在點處的切線方程為，討論函數的單調性；（2）若，對任意，，當，不等式恒成立，求實數的取值范圍．【解析】（1）由題意可知函數的定義域為，因為，所以，，解得a=1，則，所以，令，解得，，所以當時，，當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，（2）當a=1，，不等式，即變形為，令，則，（x>0），不等式可化為，因為對任意[1，10]，當時，不等式恒成立，則可知在[1，10]上單調遞減，因為，所以在[1，10]上恒成立，則在[1，10]上恒成立，即令，則，所以在[1，10]上單調遞減，所以，所以，所以實數m的取值范圍為.18．已知函數，，其中是的導函數.（1）求函數（為常數）的單調區間；（2）若時，恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）∵，.∴（），∴.當時，，在上單調遞減；當時，由，得，時，.時，.在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，的單調遞減區間是；當時，的單調遞減區間是，單調遞增區間是.（2）當時，不等式恒成立，即恒成立，設，則，當時，，僅當，時，等號成立；在上遞增；∴；恒成立；當時，由，得，當時，，在上遞減，有，即使，綜上所述，的取值范圍是.19．設函數，.（1）判斷的單調性，并求極值；（2）若不等式對任意實數恒成立，求的取值范圍.【解析】（1），令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）因為不等式對任意實數恒成立，所以，對任意實數恒成立，即對任意實數恒成立，令，則，因為，所以，即在上單調遞減，所以，即，則.20．已知函數，.（1）證明：；（2）若時，恒成立，求實數a的取值范圍；（3）求的最小值.【解析】（1）∵，∴證明即證明即證明.設，∴，∴時，單調遞增；時，單調遞減.∴，∴即成立.（2）時，即，由（1）知，當時，成立，當時，顯然時不成立，綜上，.（3）.設，，∴在上單調遞增，∵，，∴存在使，且時即，遞減；時即，遞增，∴，∵，∴，∴，∴，∵在是單調遞增，∴，∴，∴.21．已知函數，.（1）若，求的極值；（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）時，，函數的定義域是，，令，解得，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增，故的極小值是，無極大值；（2）存在，使得成立，等價于，成立，設，則，令，解得（舍），；①當，在遞減，∴，令，解得；②當時，在遞減，在遞增，∴與矛盾，綜上，實數的取值范圍為.22．已知函數．（1）當時，求的單調區間；（2）設，若存在正數，使不等式成立，求的取值范